上海市2023届高三第三次模拟考试数学试卷（含解析）

上海市2023届高三第三次模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、填空题

1．已知，则_________

2．不等式的解集为____________.

3．二项式展开中的系数为___________.

4．若一个球的表面积为，则该球的半径为____________

5．直线被圆所截得的弦长为______．

6．已知方程的两个虚根满足，则的值是___________.

7．若直线与直线平行，则实数a的值为_________.

8．定义集合．若对任意的，有恒成立，且存在，使得成立，则实数的取值范围为___．

9．函数，，若在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a的取值范围是_______．

10．甲和乙等六名志愿者参加进博会，，，，五个不同的岗位服务，每个人一个岗位，且每个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则不同的参加方法的种类为_____________.（结果用数字表示）

11．如图所示在中，边上的中垂线分别交、于点、，若，，则______

12．已知函数f（x）的定义域为R，当x∈（0，2]时，f（x）＝x（2﹣x），且对任意的x∈R，均有f（x+2）＝2f（x），若不等式f（x）在x∈（﹣∞，a]上恒成立，则实数a的最大值为_____．

二、单选题

13．直线（t是参数）与圆（是参数）的位置关系是（　　）

A．相交 B．相切 C．相离 D．与实数k的值有关

14．“”是“方程表示椭圆”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

15．已知数据,,，是上海普通职(，)个人的年收入，设这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确（    ）

A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变

B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大

C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变

D．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差可能不变

16．已知公差小于零的等差数列的前项和为，且，则使成立的最大正整数为（    ）

A． B． C． D．

三、解答题

17．设台体上、下底面积分别为和，上下底面的距离为.求证：

18．已知函数．

(1)当时，求此函数在R上的最大值，并写出取最大值时相应自变量的值；

(2)写出此函数的单调增区间（不需要证明）；

(3)设函数的图象与x轴交于不同的两点A、B，与y轴交于点C，是否存在实数a，使得的面积为？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

19．某小区拟用一块半圆形地块（如图所示）建造一个居民活动区和绿化区．已知半圆形地块的直径千米，点O是半圆的圆心，在圆弧上取点C、D，使得，把四边形ABCD建为居民活动区，并且在居民活动区周围铺上一条由线段AB，BC，CD和DA组成的塑胶跑道，其它部分建为绿化区．设，且；

(1)当时，求四边形ABCD的面积；

(2)求塑胶跑道的总长l关于的函数关系式；

(3)当为何值时，塑胶跑道的总长l最短，并求出l的最小值．（答案保留2位小数）

20．已知椭圆C的方程为，点P(a，b)的坐标满足，过点P的直线l与椭圆交于A､B两点，点Q为线段AB的中点，求：

（1）点Q的轨迹方程；

（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.

21．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数.

(1)已知，，判断和是不是倒函数，并说明理由；

(2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由；

(3)若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数.记，证明：是的充要条件.

参考答案：

1．

【分析】利用正切的二倍角公式即可求解.

【详解】因为，所以，

故答案为：.

2．

【分析】由一元二次不等式的解法求解，

【详解】恒成立，原不等式可化为，即，

解得，

故答案为：

3．

【分析】利用二项式定理，写出展开式的通项即可求解.

【详解】二项式的展开式为，

令，解得，

所以展开中的系数为，

故答案为：

4．

【分析】设球的半径为，代入球的表面积公式得答案．

【详解】解：设球的半径为，

则，得，即或（舍去）．

故答案为：．

5．

【分析】根据所给圆，确定圆心以及半径，再结合点线距离即可求解.

【详解】依据题意得圆心为，半径，圆心到直线的距离.

则直线被圆截得的弦长为.

故答案为：

6．

【分析】由题意设，，利用根与系数的关系结合，求得与的值，则可求．

【详解】方程程的两个虚根为、，

可设，．

，，

因为，，

联立解得：，．

．

故答案为：．

7．

【解析】根据两直线平行的条件列方程求得的值，然后检验，排除两直线重合的情况.

【详解】由题意得,即,解得或.

当时，两直线方程都为：，两直线重合;

当时，两直线方程分别为：,两直线平行.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用两直线的平行求参数，属基础题，易错点是忽视重合的情况的排除.

8．

【分析】画出可行域，由斜率型和截距型目标函数进行求解即可.

【详解】二元一次不等式组表示的可行域如图：

则集合为表示图中阴影区域（含边界）的点集，

∴，∴，

∴若恒成立，则恒成立，

∵表示过阴影区域（含边界）内一点与定点的直线的斜率，即，

∴当与重合时，取最小值，∴；

又∵存在，使得成立，∴的最小值，

设，则，当时，画出，平移即得到，

当目标函数与边界重合时，在轴的截距取最大值，即取最小值，

∴的最小值，∴，

综上所述，的取值范围为．

故答案为：．

9．

【分析】因为函数没有奇偶性，所以一次项系数不为零；因为函数在定义域上不单调，所以二次项系数不为零，且对称轴在区间内；又因为二次函数在开区间上有最大值，所以二次项系数小于零，求出a的取值范围.

【详解】因为函数没有奇偶性，所以，即；

又因为函数在上不单调，所以且；

又因为二次函数在开区间上有最大值，所以，

综上，解得.

故答案为：.

10．1680

【分析】先求出没有条件限制的分配方法种数，再求出甲和乙在同一个岗位服务的分配方法种数，利用间接法，即可得解.

【详解】依题意得，有且只有2人分到一组，然后再分到五个不同的岗位，则有种方法，

甲和乙在同一个岗位服务的分配方法有种，

所以甲和乙不在同一个岗位服务的方法有种，

故答案为：1680.

11．

【分析】选取为基底，其他向量用基底表示再运算．

【详解】由题意

，

∴，∴．

故答案为：

12．

【分析】由,即可得,则,因为当时,值域为,则当时,值域为,则当,,由恒成立进而求得即可

【详解】由题,,令,则,则,即,令,则,则,以此类推,则,设,则,

因为当时,易得值域为,则当时,值域为.

所以,令,则,，

因为在恒成立,所以

故答案为：

【点睛】本题考查换元法对值域和解析式的应用,考查转化思想,考查二次函数的图象与性质的应用

13．A

【解析】把参数方程化为普通方程后再利用点在圆内可得两者的位置关系.

【详解】直线（t是参数）过点，

圆的普通方程为：，

因为，故直线与圆相交，

故选：A.

【点睛】思路点睛：参数方程化为普通方程，关键是消去参数，消参的方法有反解消参、平方消参、交轨法等，注意根据参数的形式合理选择方法.

14．B

【分析】根据方程表示椭圆，且2，再判断必要不充分条件即可.

【详解】解：方程表示椭圆满足 ，解得，且2

所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.

故选：B

15．B

【分析】根据题意，结合平均数，中位数，方差的定义，即可判断出结果.

【详解】因为数据,,，是上海普通职(，)个人的年收入，

而是世界首富的年收入，则会远大于,,，，

故这个数据的平均值大大增加，但中位数可能不变，有可能稍微变大，

但由于数据的集中程度也受到比较大的影响，数据更加离散，则方差变大.

故选B

【点睛】本题主要考查平均数、中位数、以及方差，熟记概念及其意义即可，属于常考题型.

16．D

【分析】利用等差数列的前项和公式及一元二次不等式的解法即可求解.

【详解】设等差数列的首项为，公差为，则

由，得，解得，

所以等差数列的前项和为，

因为，，

所以，解得，又，

所以使成立的最大正整数为.

故选：D.

17．证明见解析

【分析】设顶点P到平面的距离为，根据相似得出，即可根据计算化简证明.

【详解】如图所示：棱台可以看作由棱锥截成，

设顶点P到平面的距离为，

根据平行四边形ABCD与相似可得：，

则，

则，

，

，

，

，

故棱台的体积.

18．(1)当时，函数在R上有最大值为

(2)时函数的单调增区间为，时函数的单调增区间为

(3)存在，此时，理由见解析

【分析】（1）时，利用配方法可得答案；

（2）分、讨论，结合抛物线的性质可得答案；

（3）令得点坐标，设，令利用求出的范围，

利用韦达定理求出，求出可得答案.

【详解】（1）当时，，

函数的图象为开口向下对称轴为的抛物线，

所以当时，函数在R上有最大值为；

（2）函数图象的对称轴为，

当时，函数的单调增区间为，

当时，函数的单调增区间为；

（3）令得，所以，

因为函数的图象与x轴交于不同的两点A、B，设，

令，所以，解得或，

，，

所以，

所以，

解得，，符合题意，所以存在，此时.

19．(1)（平方千米）

(2)

(3)时，塑胶跑道的总长l最短，最小值千米．

【分析】（1），，由三角形面积公式求得三个三角形面积后可得四边形面积；

（2），，利用等腰三角形的性质求得底边长，从而得的表达式；

（3）利用二倍角公式化简函数式为关于的二次函数，结合二次函数性质、正弦函数性质得最小值．

【详解】（1）连接，因为，又，则，所以，

，，

所以（平方千米）；

（2）由（1）知，，，

所以（千米）．

（3），

，，所以，即时，．

时，，

，

时，，

所以时，取得最小值千米．

20．（1）；（2）答案见解析.

【解析】（1）先把两点和点的坐标设出来，再分两点的横坐标相等和不相等两种情况分别设出直线的方程，再利用两点既在直线上又再椭圆上，可以找出两点坐标之间的关系，最后利用中点公式，即可求得点的轨迹方程（注意要反过来检验所求轨迹方程是否满足已知条件）；

（2）先找到曲线与轴的交点以及与轴的交点，再对的取值分别讨论，分析出与坐标轴的交点的个数（注意点的坐标满足）.

【详解】（1）设点A､B的坐标分别为(x1，y1)､(x2，y2)，点Q的坐标为Q(x，y)，

当时，设直线斜率为k，则l的方程为y=k(x-a)+b，

由已知 ①，， ②

y1=k(x1-a)+b   ③，y2=k(x2-a)+b，   ④

①②得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0.⑤③+④得y1+y2=k(x1+x2)-2ka+2b，   ⑥

由⑤､⑥及，

得点Q的坐标满足方程2x2+y2-2ax-by=0，  ⑦

当x1=x2时，k不存在，此时l平行于y轴，因此AB的中点Q一定落在x轴，

即Q的坐标为(a，0)，显然点Q的坐标满足方程 ⑦

综上所述，点Q的坐标满足方程2x2+y2-2ax-by=0，

设方程⑦所表示的曲线为l.

则由得(2a2+b2)x2-4ax+2-b2=0，

因为Δ=8b2(a2+-1)，由已知，

所以当a2+=1时，Δ=0，曲线l与椭圆C有且只有一个交点P(a，b)；

当a2+<1时，Δ<0，曲线l与椭圆C没有交点，

因为(0，0)在椭圆C内，又在曲线l上，所以曲线l在椭圆C内，

故点Q的轨迹方程为2x2+y2-2ax-by=0；

（2）由，得曲线l与y轴交于点(0，0)､(0，b)；

由，得曲线l与x轴交于点(0，0)､(a，0)；

当a=0，b=0，即点P(a，b)为原点时，(a，0)､(0，b)与(0，0)重合，曲线l与x轴只有一个交点(0，0)；

当a=0且0<|b|≤时，即点P(a，b)不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时，点(a，0)与(0，0)重合，曲线l与坐标轴有两个交点(0，b)与(0，0)；

同理，当b=0且0<|a|≤1时，即点P(a，b)不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时，曲线l与坐标轴有两个交点(a，0)与(0，0)；

当0<|a|<1且0<|b|<时，即点P(a，b)在椭圆C内且不在坐标轴上时，曲线l与坐标轴有三个交点(a，0)､(0，b)与(0，0).

【点睛】解答圆锥曲线问题的策略：

1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；

2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

21．(1)是倒函数，不是倒函数，理由见解析

(2)没有，理由见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）利用“倒函数”的定义判断函数、，可得出结论；

（2）分析可知当时，，则方程若存在整数解，则，构造函数，利用零点存在定理可得出结论；

（3）推导出函数为上的奇偶性、单调性，再利用函数的单调性、奇偶性结合充分条件、必要条件的定义证明可得结论.

【详解】（1）解：函数的定义域为，对任意的，，

所以，函数为倒函数，

函数的定义域为，该函数的定义域不关于原点对称，故函数不是倒函数.

（2）解：当时，则，由倒函数的定义可得，

由满足倒函数的定义，

当时，函数、均为增函数，故函数在上为增函数，

故当时，，当时，，

若函数有整数解，则，

设，则函数在上单调递增，

因为，，

所以，存在，使得，即，

故方程无整数解.

（3）解：因为函数是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数，

所以，，

任取、且，则，所以，，，

所以，

，

所以，函数为上的增函数，

因为，故函数为上的奇函数.

当时，即，则，所以，，

即“”“”；

若，则，所以，，即.

所以，“”“”.

因此，是的充要条件.

【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：

（1）定义法：一般步骤：设元作差变形判断符号得出结论；

（2）图象法：如果函数是以图象的形式给出或者函数的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；

（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；

（4）复合函数法：先将函数分解为内层函数和外层函数，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定.