江苏省南京市2023届高三下学期第一次模拟考试数学试卷（含解析）

江苏省南京市2023届高三下学期第一次模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．下列集合中不同于另外三个集合的是（    ）

A．{x|x＝1} B．{x|x﹣1＝0} C．{x＝1} D．{1}

2．已知函数是奇函数，则曲线在点(0，0)处的切线斜率为（    ）

A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1

3．已知随机变量X服从正态分布，若，则（    ）

A． B． C． D．

4．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

5．已知的顶点都在球的表面上，若，球的表面积为，则点到平面的距离为（    ）

A．1 B． C． D．2

6．已知等差数列的公差不为0，若成等比数列，则这个等比数列的公比是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．下列关于曲线的结论正确的是（    ）

A．曲线是椭圆 B．y的取值范围是

C．关于直线对称 D．曲线所围成的封闭图形面积大于6

8．已知则（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．2021年7月15日国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，面对复杂多变的国内外环境，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，我国经济发展呈现稳中加固、稳中向好态势．初步核算，上半年国内生产总值532167亿元，市场销售逐步改善，消费升级类商品快速增长，上半年，社会消费品零售总额211904亿元，同比增长23.0%．根据下图国家统计局发布的数据，以下说法正确的（    ）

A．近年来中国社会消费品零售总额逐年攀升

B．2019年中国社会消费品零售总额达40.8万亿元，较2018年增加了3.02万亿元，同比增长7.99%

C．2020年受新冠肺炎疫情影响，中国社会消费品零售总额同比增长率首次出现下滑

D．2020年上半年社会消费品零售总额约172279.7亿元

10．已知正六边形的中心为，则（    ）

A． B．

C．存在， D．

11．一般地，对终边不在坐标轴上的角，在平面直角坐标系中，设角的终边上异于原点的任意一点P的坐标为，它到原点的距离为规定：比值分别叫做角的余切、余割、正割，分别记作，我们把分别叫做余切函数、余割函数、正割函数，则下列叙述一定正确的是（    ）

A．

B．

C．当时， 单调递增

D．设的终边过点时，

12．已知，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

三、填空题

13．某校航模队甲组有10名队员，其中4名女队员，乙组也有10名队员，其中6名女队员.现从甲、乙两组中各抽取2名队员进行技术考核，则从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的概率为______.

14．已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为__________.

15．已知，若满足且，则___________.

16．已知曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围为________________．

四、解答题

17．已知数列满足，，．

(1)求的值并求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

18．已知函数，，若，的最小值为

(1)求在区间上的值域；

(2)若，，求的值．

19．如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.

(1)设平面平面，证明：；

(2)设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长.

20．近日，某调查公司在一家大型超市进行了顾客使用移动支付情况的调查．调查人员从年龄在20岁到60岁的顾客中随机抽取了200人，得到如下数据：

(1)现从这200人中随机依次抽取2人，已知第1次抽到的人使用移动支付的条件下，求第2次抽到的人不使用移动支付的概率；

(2)在随机抽取的200人中对使用移动支付的人群采用分层随机抽样的方式抽取25人做进一步的问卷调查，再从这25人中随机选出3人颁发参与奖，设这3人中年龄在之间的人数为X，求X的分布列．

21．已知双曲线：的离心率为，直线：与双曲线C仅有一个公共点.

(1)求双曲线的方程

(2)设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上.

22．已知函数．

(1)当时，求函数的极值；

(2)若，求的取值范围；

(3)当时，试讨论在内零点的个数，并说明理由．

参考答案：

1．C

【解析】由集合的表示方法可选出答案.

【详解】通过观察得到：A，B，D中的集合元素都是实数，而C中集合的元素不是实数，是等式x＝1；

∴C中的集合不同于另外3个集合．

故选：C

2．D

【解析】先根据函数的奇偶性求出再利用导数的几何意义求解.

【详解】由题意函数为奇函数可知

所以，所以，

则函数可化为，

则，

则由导数得几何意义可知曲线在点(0，0)处的切线斜率为-1.

故选：D.

3．A

【分析】利用对称性可得结合条件可求，再由 求解.

【详解】因为随机变量服从正态分布，

由对称性可知，，

又，

所以，

故.

故选：A.

4．B

【分析】先求出平移后的函数解析式，利用对称性可得的最小值.

【详解】因为函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数解析式为；

由函数的图象关于轴对称，所以，

即，

因为，所以当时，取到最小值.

故选：B.

5．C

【分析】根据正弦定理可得外接圆半径为，结合球的表面积为可得球的半径，再用勾股定理求解点到平面的距离即可

【详解】如图，设是外接圆的圆心，所以.

因为球的表面积为，所以球的半径，从而点到平面的距离为.

故选：C

6．B

【分析】根据题意，由等比中项列出方程即可得到与的关系，从而得到结果.

【详解】由题意可得，所以，且

则，所以

所以等比数列的公比为

故选:B

7．D

【分析】根据椭圆的标准方程即可判断A；易得，即可判断B；举出反例即可判断C；求出曲线与坐标轴的四个交点所构成的四边形的面积，即可判断D.

【详解】解：因为曲线，不是椭圆方程，

所以曲线不是椭圆，故A正确；

因为曲线，

所以，所以，故B错误；

曲线与轴正半轴的交点坐标为，

若曲线关于直线对称，

则点也在曲线上，

又，所以点不在曲线上，

所以曲线不关于直线对称，故C错误；

对于D，曲线与坐标轴的交点坐标为，

则以四点为顶点的四边形的面积为，

所以曲线所围成的封闭图形面积大于6，故D正确.

故选：D.

8．D

【分析】注意到，.

后构造函数，可判断b与c大小.

【详解】注意到，.则.

令，其中.

则，

得在上单调递增，在上单调递减.

则，

又函数在R上单调递增，则，即.故．

故选：D

【点睛】方法点睛：比较代数式大小的常见方法有：（1）利用函数单调性；（2）利用中间量；（3）构造函数.

9．BD

【分析】根据图表，进行数据分析：

对于A：比较19年和20年的社会消费品零售总额即可判断

对于B：从图中数据进行分析，直接计算可得；

对于C：从图中数据可以直接看出；

对于D：从图中数据进行分析，直接计算可得；

【详解】对于A：2019年中国社会消费品零售总额达40.8万亿元，2020年中国社会消费品零售总额达39.2万亿元，稍有下降.故A错误；

对于B：从图中数据进行分析可得：2019年中国社会消费品零售总额达40.8万亿元，较2018年增加了3.02万亿元，同比增长.故B正确；

对于C：从图中可以看出，中国社会消费品零售总额同比增长率在2014-2019一直缓慢下滑，而2019-2021下滑明显.故C错误；

对于D：设2020年上半年社会消费品零售总额约x亿元，则，解得：

，即2020年上半年社会消费品零售总额约172279.7亿元.

故D正确.

故选：BD.

10．ACD

【分析】根据平面向量的的平行四边形法则和三角形法则可判断A、B，以为原点建立坐标系，可判断C，结合平面向量的数量积的定义可判断D.

【详解】对A，因为六边形，所以

所以，故A正确；

对B，，故B不正确；

对C，以为原点，建立坐标系，则设正六边形的边长为，则

，

，，所以存在，使得，所以C正确.

对D，设正六边形的边长为，，

，故D正确.

故选：ACD.

11．AC

【分析】直接利用三角函数的定义、三角函数的值，以及三角函数的单调性分别判断A、B、C、D的结论即可．

【详解】对于A：，故A正确；

对于B：，故B错误；

对于C：当时，单调递减且不为零，

故在是单调递增函数，故C正确；

对于D：的终边过点时，利用三角函数得，

故D不正确；

故选：AC

12．AD

【分析】对于A，由已知等式可判断，从而可判断出的范围，对于BC，由已知条件结合可求出，从而可求出的值，对于D，将的值代入计算即可.

【详解】对于A，由题设，故A正确；

对于BC，因为，，

所以，化简得，

解得或，

当时，，则

当时，，则，

所以B，C错误；

对于D，由前面的解析可知，当时，，

当时，，

综上，所以D正确，

故选：AD.

13．

【分析】应用排列组合相关知识根据古典概型概率计算公式计算求解即可.

【详解】乙组10名队员抽取2名队员共有种取法，

恰有一名女队员有种取法，

根据古典概型概率计算公式

故答案为：

14．

【分析】与的夹角为锐角，则且与不共线.

【详解】与的夹角为锐角，则且与不共线

∴

∴，

故答案为：.

15．

【分析】设出，根据向量垂直和平行列方程，从而求得，

【详解】设，

，

由于且，

所以，解得，

所以.

故答案为：

16．

【分析】设切线相切于点，与相切于点，利用导数的几何意义确定的关系，由此可得方程有解，利用导数研究函数，由此确定a的取值范围.

【详解】设切线方程为，切线与相切于点，

则，，

切线与相切于点，

则，，

所以，，

所以，

所以，

所以，

由已知方程有非负实数解，

设，

则方程有非负实数解等价于函数的图象和

函数的图象有交点，

因为，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

，，又时，，

所以，

所以a的取值范围为.

【点睛】本题解决的关键为利用导数的几何意义将切线的存在问题转化为方程有解的问题，再结合函数的取值规律求参数的范围.

17．(1)，;

(2).

【分析】（1）根据已知条件及数列的递推公式，取项数可得出数列的各项，再利用等比数列的通项公式即可求解；

（2）根据对数的运算性质，再利用裂项相消法即可求解.

(1)

因为，又 ，所以

，

，

．              

当时，，所以，

从而，

所以数列是以首项为，公比为的等比数列，

于是有，又因为，不满足上式，

所以数列的通项公式为.

(2)

由（1）知，，

＝，

故＝＝．

所以

所以数列的前项和为．

18．(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦的两角差公式展开，然后利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，然后利用已知条件把函数的解析式求出来，在根据所给条件利用函数的性质求的函数的值域即可；

（2）由，结合函数，得的值，由分析得出的值，再利用换元法及二倍角公式计算即可.

【详解】（1）由题意知：

，

因为，的最小值为，

所以，又，所以，

所以.

因为，所以，

所以，

所以在 区间上的值域为.

（2）因为，，所以，

因为，所以，

又，所以，

所以.

令，则且，则，

所以.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面平行的性质，先证明平面POH即可；

（2）以O为原点，OP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设，设MN与平面PAB所成的角为，再根据线面角的向量方法求得，根据二次函数的最值求解即可

【详解】（1）因为四边形OBCH为正方形，∴，

∵平面POH，平面POH，∴平面POH.

∵平面PBC，平面平面，∴.

（2）∵圆锥的母线长为，，∴，，

以O为原点，OP所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

设，，

，为平面PAB的一个法向量，

设MN与平面PAB所成的角为，

则，令，

则

所以当时，即时，最大，亦最大，此时，

所以.

20．(1)

(2)分布列见解析

【分析】（1）利用条件概率即可得解；

（2）写出随机变量的所有取值，求出对应概率，再写出分布列即可.

【详解】（1）解：记事件A：第1次抽到的人使用移动支付，

事件B：第2次抽到的人不使用移动支付，

所以；

（2）解：在年龄段中抽取的人数为，则X的可能取值为0，1，2，3，

且，，，，

则X的分布列为

21．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由离心率为可得，再联立直线与双曲线利用判别式可得的方程；

（2）设方程，及的坐标，由过A引的垂线交C于另一点H，可得点H为.再证即可.

【详解】（1）因为双曲线的离心率为，所以，即，

所以双曲线的方程为，

联立直线与双曲线的方程，消去得，

即，

因为与双曲线C仅有一个公共点，

所以，

解得,

故双曲线的方程为.

（2）设，，则满足

消去得，

所以，，

如图所示，过A引的垂线交C于另一点H，

则AH的方程为.

代入得，即（舍去）或.

所以点H为.

所以

，

所以，

故为的垂心，得证.

【点睛】关键点睛：本题考察直线与圆锥曲线的位置关系，属于压轴题.先求一条垂线与双曲线的交点，再证另两条过交点的直线互相垂直，由此得证，其中化简斜率关系是关键，用到了转化及整体消元的思想.

22．(1)，无极大值；

(2)；

(3)答案见解析.

【分析】（1）求函数的导数，然后根据导数与函数极值的关系即得；

（2）分，，讨论函数的单调性，结合条件进而即得；

（3）根据（2）的结论，分别讨论，和时零点的个数.

【详解】（1）当时，，由，得，

由，可得，在上单调递减，

由，可得，在上单调递增，

所以，无极大值；

（2）由题可知，

①若，当时，，

当且仅当时取等号，所以符合题意；

②若，当时，；

当时，，

所以当时，，当且仅当，且时取等号，

所以在上单调递增，，所以符合题意；

③若，由（1）可得在上单调递增，在上单调递增，

所以在上单调递增，又，

由零点存在定理及的单调性，存在唯一的，使得，

当时，单调递减，所以．

可见，不符合题意；

综上，的取值范围是；

（3）①若，由（2）可得时，在内无零点，

当时，，又由单调递增，

则，

所以若在内无零点；

②若，由（2）可得时，在内无零点．

当时，．

可见，若在内无零点

③若，由（2）可得存在唯一的，当时，，单调递减；

当时，单调递增．

又，所以，又，

由零点存在定理及的单调性，存在唯一的，使得，

所以在内存在唯一的零点；

当时，，所以，所以在内没有零点；

所以在有且仅有1个零点．

综上所述：若在内无零点；若在内有且仅有1个零点．

【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．