江苏省2023届高三下学期第二次模拟考试数学试卷（含解析）

江苏省2023届高三下学期第二次模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：__________

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．设复数的共轭复数为，若，则对应的点位于复平面内的（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

3．在中，点满足，记，，那么（    ）

A． B． C． D．

4．将正弦曲线向右平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到下列哪个函数的图象（    ）

A． B．

C． D．

5．已知正项等差数列的前项和为，若，则的值为（    ）

A．3 B．14 C．28 D．42

6．如图，一个底面半径为的圆锥，其内部有一个底面半径为a的内接圆柱，且此内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为（    ）.

A． B． C． D．

7．已知函数f(x)满足f(2x)＝log2x，则f(16)＝（　　）

A．﹣1 B．1 C．2 D．4

8．记为点到平面的距离，给定四面体，则满足的平面的个数为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知正四棱锥的侧面积为，当该棱锥的体积最大时，以下结论正确的是（    ）

A．棱锥的高与底面边长的比为

B．侧棱与底面所成的角为

C．棱锥的每一个侧面都是等边三角形

D．棱锥的内切球的表面积为

10．已知，则（    ）

A．

B．

C．

D．

11．已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，为椭圆上一点（异于左，右顶点），且的周长为6，则下列结论正确的是（    ）

A．椭圆的焦距为1 B．椭圆的短轴长为

C．面积的最大值为 D．椭圆上存在点，使得

12．以下命题正确的是（    ）

A．设与是定义在R上的两个函数，若恒成立，且为奇函数，则也是奇函数

B．若对任意，，都有成立，且函数在R上单调递增，则在R上也单调递增

C．已知，，函数若函数在上的最大值比最小值多，则实数a的取值集合为

D．已知函数满足，函数，且与的图象的交点为，，…，，则的值为8

三、填空题

13．若的展开式中的系数为30，则______.

14．点P为抛物线y2＝x上的动点，过点P作圆M：(x－3) 2＋y2＝1的一条切线，切点为A，则·的最小值为________．

15．若直线与曲线和均相切，则__________.

16．设点是面积为4的内部一点，且有，则的面积为__________.

四、解答题

17．在凸四边形中，，，，．

(1)若，求；

(2)若的角平分线交对角线于点，求的最大值．

18．如图，在直三棱柱中，，．

(1)求证：平面⊥平面；

(2)若AC与平面所成的角为，点E为线段的中点，求平面AEB与平面CEB夹角的大小．

19．古人云:“腹有诗书气自华.”习近平总书记倡导全民阅读，建设书香中国.现在校园读书活动热潮正在兴起，某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取200名学生，获得了他们一周课外读书时间（单位:）的数据如表所示:

(1)求的值;如果按读书时间分组，用分层抽样的方法从这200名学生中抽取20人，再从这20人中随机选取3人，求恰有2人一周课外读书时间在内的概率.

(2)若将样本频率视为概率，从该校学生中随机选取3人，记为一周课外读书时间在内的人数，求的分布列和数学期望，并估计该校一周人均课外读书的时间.

20．已知数列，满足，其中，.

(1)若，.

①求证：为等比数列；

②试求数列的前n项和.

(2)若，数列的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？

21．已知点A是抛物线x2＝2py（p＞0）上的动点，过点M（－1，2）的直线AM与抛物线交于另一点B．

(1)当A的坐标为（－2，1）时，求点B的坐标；

(2)已知点P（0，2），若M为线段AB的中点，求面积的最大值．

22．记，分别为函数，的导函数．若存在，满足，且，则称为函数与的一个“点”．已知，．

(1)若，，存在“点”，求的值；

(2)对任意，是否存在实数，使得，存在“点”？请说明理由．

参考答案：

1．B

【分析】求出及其补集，通过交集运算求得结果.

【详解】集合或，

，

又，

所以

故选：B．

2．C

【分析】利用复数除法运算求得，从而求得，进而确定正确答案.

【详解】依题意，

所以，对应点为，在第三象限.

故选：C

3．A

【分析】根据向量的线性运算将分解为，再转化为，表示即可.

【详解】.

故选：A.

4．B

【解析】左右平移变换是横坐标x改变，原则简记为 “左加右减”；伸缩变换是相应变量乘以对应倍数即可.

【详解】向右平移个单位长度得，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得.

故选：B.

【点睛】本题考查图象的平移和伸缩变化，要牢记每一种变换对解析式系数的影响，方可解决此类题.

5．D

【分析】根据等差数列的性质得，则可由已知等式求的值，从而利用求和公式和等差数列性质求得值.

【详解】解：正项等差数列，则

若，则，解得或（舍）

则.

故选：D.

6．B

【分析】作出该几何体的轴截面，求出内接圆柱的高，利用三角形相似求出圆锥的高，即可求的其体积.

【详解】作出该几何体的轴截面如图示：AB为圆锥的高，

设内接圆柱的高为h，而 ,

因为内接圆柱的体积为，即，

则，

由于,故，则,

即 ，故，

所以圆锥体积为 ，

故选：B

7．C

【分析】根据16＝24，代入求解即可．

【详解】∵函数f(x)满足f(2x)＝log2x，且f(16)＝f(24)，

∴f(16)＝f(24)＝log24＝2，

故选：C．

8．D

【分析】分类讨论，当平面与平面平行时，分析可得个，当平面经过的中位线时分析可得个，从而得解．

【详解】到点和的距离相等的平面有两种类型，与平面平行或者经过的某一条中位线．

当平面与平面平行时，如下图，

设的三等分点分别为（靠近），

对于平面，利用三角形相似可知，平面符合题意．

在线段的延长线上取使得，

对于平面，利用三角形相似可知，平面符合题意，

即平面与平面平行时，满足条件的平面有2个；

设的中点分别为，

当平面经过的中位线时，

如下图：对于平面，在线段上且，

利用三角形相似可知，

又，平面，平面，可得平面，

且、分别为的中点，

则、、到平面的距离相等，

因此平面符合题意．

如下图：对于平面，在线段上，在线段上，

且，利用三角形相似可知，

又，平面，平面，可得平面，

且、分别为的中点，

则、、到平面的距离相等，

因此平面符合题意．

对于中位线，也有类似结论,即平面经过的某条中位线时，满足条件的平面有6个，

综上所述，符合题意的平面共有个．

故选：D．

【点睛】难点点睛：本题判断满足条件的平面的个数时，难点在于要发挥空间想象能力，明确满足条件的平面的位置，作图分析，说明平面所处的位置是怎样的，加以说明，解决问题.

9．ACD

【分析】设底面边长为，侧棱长为，求出棱锥体积，通过构造函数，求导可知当，及时棱锥体积最大，然后再逐项判断即可.

【详解】设底面边长为，侧棱长为，则，即，

而，又，

故，

设，则，

易知函数在单调递增，在单调递减，

∴当时，取得最大值，此时棱锥的体积最大，且，

∴底面边长为2，侧棱长为2，，，

∴棱锥的高与底面边长的比为，选项A正确；

侧棱与底面所成的角为，而，则，选项B错误；

由于底面边长与侧棱长均为2，故侧面为等边三角形，选项C正确；

设内切球的半径为，由于，，

∴，

∴，选项D正确.

故选：ACD.

10．BCD

【分析】取特殊值可说明A错；根据指数函数以及幂函数的单调性，可判断B,C的对错；利用作差法可判断D的对错.

【详解】对于A，取 满足，但，故A错；

对于B，是定义域上的增函数，故时，有成立，故B正确；

对于C, ,故，故C正确；

对于D，，故，故D正确，

故选：BCD.

11．BC

【分析】根据，解得可判断AB；设，由知当点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C；假设椭圆上存在点，设，求出、，可看作方程，求出判别式可判断D.

【详解】由已知得，，解得，，

对于A，椭圆的焦距为，故A错误；

对于B，椭圆的短轴长为，故B正确；

对于C，设，，当点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，此时，所以面积的最大值为，故C正确；

对于D，假设椭圆上存在点，使得，设，

所以，，，

所以是方程，其判别式，所以方程无解，故假设不成立，故D错误.

故选：BC.

12．ABD

【分析】A选项，利用赋值法及的奇偶性推导出的奇偶性；B选项，利用定义法和在R上单调递增证明出结论；C选项，对分类讨论，由单调性求出最值，列出方程，求出的值；D选项，由函数的对称性求解.

【详解】令，则，因为为奇函数，所以恒成立，即，所以，即，所以则也是奇函数，A正确；

设，因为在R上单调递增，所以，因为恒成立，所以，从而

令，则，所以，故在R上也单调递增，B正确；

当时，在上的最大值为，最小值为或，当时，解得：，此时，满足题意；当时，，无解，舍去；

当时，在上，是减函数，上，是减函数，因为，所以函数最大值为，而，所以函数的最小值为，因此，解得：符合题意；

综上：实数a的取值集合为，C错误；

由可得：关于中心对称，也关于中心对称，从而与的图象的交点关于中心对称，从而，，D正确.

故选：ABD

【点睛】抽象函数的对称性有以下结论：

若，则关于中心对称；

若，则关于对称.

13．2

【分析】利用二项展开式的通项公式，列式求.

【详解】二项展开式的通项公式，

当时，的系数是，

解得：.

故答案为：2

14．

【分析】求出，设点，化简表达式，利用二次函数的性质，求解最小值即可．

【详解】解：由已知易得，

设点，则，

当时，取得最小值．

故答案为：．

15．##

【分析】先根据直线和相切求出，再利用直线和相切求出.

【详解】设直线与相切于点，，

因为直线与相切，所以，且；

解得；

因为直线与曲线相切，

联立得，且，即.

故答案为：.

16．##

【分析】根据确定点的位置，然后将面积比转化为边长比即可.

【详解】

；

设；

则：,即B,C,D三点共线；

所以；

；

故答案为：

17．(1)；

(2)．

【分析】（1）运用差角公式求得，再运用正弦定理求得CD即可.

（2）运用余弦定理及基本不等式求得的范围，由等面积法求得CE，将问题转化为求关于的二次型函数在区间上的最值.

【详解】（1）连接，如图，

中，，，，，

所以，，

所以，

中，；

∴.

（2）中，，

∴，当且仅当时取等号，

∴，即：，

∵

∴，

∴，

∴，

∴，

令，

∴，，

∵在上单调递增，

∴当时，y取得最大值为.

∴的最大值为.

18．(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理得证；

（2）利用线面角求出边长，再建立空间直角坐标系，利用向量法求夹角.

【详解】（1）在直三棱柱中，，

又，，平面，

所以平面，又平面，

所以平面⊥平面.

（2）设，连接，如图，

则中点为M，且，

∵平面平面且交线为，平面，

∴平面，

所以直线与平面所成的角为，

又，则

以B为原点，分别为x，y，z轴正方向建立坐标系，

则，

设平面的法向量为

，令，则，故，

设平面的法向量为，

，令，则，，故，

设平面与平面的夹角为，

∴，又，.

19．(1)；读书时间在内的概率为；

(2)分布列见解析，；该校一周人均课外读书的时间为12.32h.

【分析】（1）由频数总数频率可得的值；由分层抽样可知20人中，在中的有7人，在中的有13人，据此可得答案；

（2）由题可得的可能取值为0，1，2，3，且，由此可得分布列及期望；

结合表格数据可估计该校一周人均课外读书的时间.

【详解】（1）由频数总数频率可得.

由题意知，从样本中抽取20人，抽取比例为，所以从三组中抽取的人数分别为2，5，13，从这20人中随机抽取3人，恰有2人一周课外读书时间在内的概率.

（2）由题意得，总人数为200，一周课外读书时间在内的人数为130，因此从该校任取1人，一周课外读书时间落在区间内的概率是.

的可能取值为0，1，2，3，且，所以，

所以的分布列为

数学期望.

该校一周人均课外读书时间的估计值为

.

20．(1)①证明见解析；②

(2)

【分析】（1）①，利用累加法求解即可；

②由①得,令，的前项和为,利用错位相减法求解数列的和即可；

（2）推出数列是一个周期为6的周期数列,然后求解数列的任意连续6项之和为0，然后利用其周期和相关值求出，则得到答案.

【详解】（1）①证明：，当时累加得

，，又

所以为首项为2，公比为2的等比数列.

②由①得，令，的前项和为，

则，

，

得

（2）若，则，

所以数列是周期为6的周期数列，设，，则，，，，

设数列的前n项和为，则.

所以，

，所以

所以.

21．(1)

(2)2

【分析】（1）将的坐标代入抛物线方程可得抛物线的方程为：，再根据直线的方程，联立抛物线方程可得的坐标；

（2）设直线的方程：，联立抛物线的方程，结合韦达定理与M为线段AB的中点可得，再代入的面积可得，进而根据二次函数的最值求解即可

(1)

当的坐标为时，则，所以，

所以抛物线的方程为：，

由题意可得直线的方程为：，即，

代入抛物线的方程可得解得（舍）或6，

所以，的坐标为

(2)

法一：设直线的方程：，

即，

设直线与轴的交点为，，，

由

可得，，，

因为为线段的中点，所以

令，，即，所以

则的面积

，

把代入上式，，

当时，，所以的面积的最大值为2．

（2）法二：

可得，，，

因为为线段的中点，所以，

设点到直线的距离为，则，

把代入上式，，

所以，当时，的面积的最大值为2

22．(1)1

(2)存在，理由见解析

【分析】（1）设“S点”为，然后可得，然后解出即可；

（2）假设对任意，存在实数，使得与有“S点”， 设为，然后可得，，消去得，然后可得，消去得，然后证明对任意，方程在有解即可.

【详解】（1）设“S点”为，，，，

所以，消去得，

记，显然在上是增函数，而，

因此只有一个解，所以．

（2）假设对任意，存在实数，使得与有“S点”，

设为，，

所以①，②，由②得③，

①③消去得，，，

①③消去得，在时，，

下面证明对任意，方程在有解，

设，函数在定义域上是减函数，

时，，

，图像连续不断，所以存在使得．

综上，任意，存在实数，使得与有“S点”