四川省成都市石室中学2020届高三下学期5月月考数学理科试题 Word版含解析

www.ks5u.com成都石室中学高2020届高三下5月月考

数学试题（理科）

（满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求.

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

分别求出集合和，再求并集即可.

【详解】解不等式得，即；

由得，即；

所以.

故选A

【点睛】本题主要考查集合的并集运算，熟记概念即可求解，属于基础题型.

2. 复数，则（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】C

【解析】

【分析】

通过复数的运算法则化简复数，求出，即可算出结果.

【详解】，，.

故选：C.

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础题.

3. 已知等差数列，其前项和为，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意利用等差数列的性质、等差数列的前项和公式可求得结果.

【详解】等差数列，其前项和为，且，则，

则.

故选：D.

【点睛】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前项和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

4. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm) ，则该几何体的表面积(单位：cm2)是(    )

A. 16 B. 32 C. 44 D. 64

【答案】B

【解析】

【分析】

由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，底面．然后由直角三角形面积公式求解．

【详解】解：由三视图还原原几何体如图，

该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，底面．

则．

该几何体的表面积．

故选：．

【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．

5. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的，则输出的S=（    ）

A. 8 B. 10 C. 12 D. 22

【答案】D

【解析】

【分析】

根据程序依次计算，直到跳出循环，输出结果，即可对照选择.

【详解】模拟程序的运行，可得，，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，此时，满足条件，退出循环，输出S的值为22.

故选：D

【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.

6. 设D为椭圆上任意一点，A（0，－2），B（0，2），延长AD至点P，使得|PD|＝|BD|，则点P的轨迹方程为（  ）

A. x2＋（y－2）2＝20 B. x2＋（y－2）2＝5

C x2＋（y＋2）2＝20 D. x2＋（y＋2）2＝5

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意得，从而得到点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，进而可得其轨迹方程．

【详解】由题意得，

又点为椭圆上任意一点，且为椭圆的两个焦点，

∴，

∴，

∴点的轨迹是以点A为圆心，半径为的圆，

∴点的轨迹方程为．

故选C．

【点睛】本题考查圆的方程的求法和椭圆的定义，解题的关键是根据椭圆的定义得到，然后再根据圆的定义得到所求轨迹，进而求出其方程．考查对基础知识的理解和运用，属于基础题．

7. 函数的图象可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

当时，逐步分析到，显然此时，观察图像即可选出答案.

【详解】当时，，所以，即

所以，所以

所以当时，，可排除ABC

故选：D

【点睛】本题考查由函数解析式选函数图象，属于中档题.

8. 2019年4月25日-27日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为 (   )

A. 198 B. 268 C. 306 D. 378

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，分两种情况讨论，①3人中有2名中国媒体和1名国外媒体，求出不同的提问方式的种数；②3人中有1名中国媒体和2名国外媒体，求出不同的提问方式的种数，由分类计数原理相加即得答案．

【详解】分两种情况，若选两个国内媒体一个国外媒体，有种不同提问方式；

若选两个外国媒体一个国内媒体，有种不同提问方式，

所以共有种提问方式.

故选A.

【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

9. 已知抛物线的焦点为，直线过且与抛物线交于，两点，过作抛物线准线的垂线，垂足为，的角平分线与抛物线的准线交于点，线段的中点为．若，（    ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】

如图，先证明，,所以点P是MN的中点，根据中位线性质和抛物线的定义即得解.

【详解】

如图，由题得,,所以.

所以,所以,

所以,

所以，

所以,即点P是MN的中点，

所以

故选：B

【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

10. 已知数列的前项和，设，则的值等于（    ）

A. 0 B. 1 C. 7 D. 14

【答案】C

【解析】

【分析】

由,根据的关系求得数列为等比数列,即,则,计算可得,计算即可得出结果.

【详解】当时,,解得:,当时,, ,

即数列为等比数列, ,则,

则,

计算可知,

所以.

故选:C.

【点睛】本题考查根据的关系,考查等比数列的通项公式,考查对数的计算,考查函数值的求法,难度一般.

11. 已知球的直径，，是该球面上的两点，，则三棱锥的体积最大值是（    ）

A. 2 B.  C. 4 D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意画出图形,可知要使的体积最大,则面面,求出到平面的距离,即可求得三棱锥的体积最大值.

【详解】因为球的直径,且,所以（其中为点到平面的距离）,

故当最大时, 的体积最大，即当面面时,取最大值,

根据等面积发可知,即,

此时.

故选:A

【点睛】本题考查球内接多面体体积的求法,考查空间想象能力与思维能力,是中档题.

12. 已知单位向量，满足，若存在向量，使得，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意,设向量,的夹角为,由化简求得，设,则,由化简可知即在以为圆心,半径为1的圆上,由点与圆的位置关系分析可得即可得答案.

【详解】根据题意,设向量,的夹角为,若,

则,

即,解得:.

则在直角坐标系中,设,

则,

则有,若,

则有,

即,

变形可得: ,

点C在以为圆心,半径为1的圆上,设,

则,则有,

则有,

所以的取值范围是

故选:C.

【点睛】本题考查数量积的运算,将平面向量的模转化为点与圆的位置关系问题,属于较难题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.

13. 的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则该展开式的常数项是__________．

【答案】15

【解析】

∵二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， ，
则展开式中的通项公式为 ．
令，求得 ，故展开式中的常数项为 ，
故答案为15.

14. 人的某一特征（如单双眼皮）是由他的一对基因决定的，以D表示显性基因，d表示隐性基因，则具有DD基因的人是显性纯合子表现为双眼皮，具有dd基因的人是隐性纯合子表现为单眼皮，具有Dd基因的人为杂合子，显性纯合子与杂合子都显露显性基因决定的某一特征.孩子从父母身上各得一个基因，假定父母都是杂合子.则一对双眼皮夫妇生一个双眼皮的男孩概率是________.

【答案】0.375

【解析】

【分析】

利用列举法将孩子的4种基因情况一一列举出来，再利用古典概型的概率计算公式，即可得答案.

【详解】由题意知：父母基因都是杂合子，记为，

则孩子的基因情有4种情况，即，

其中双眼皮孩子的概率，

∵孩子要求是男孩，∴.

故答案为：.

【点睛】本题考查古典概型的应用，考查运算求解能力，属于基础题.

15. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作圆的切线交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为______.

【答案】

【解析】

【分析】

设切点为，连接，过作，垂足为,由三角形中位线定理和圆切线的性质，结合双曲线的定义，可以得到的关系，再结合，最后求出双曲线的离心率.

【详解】设切点为，连接，过作，垂足为，如下图：

由圆的切线性质可知：,，由三角形中位线定理可知：，，在中，，在中，，所以，，由双曲线定义可知：，

即，所以，而，所以，因此，即双曲线的离心率为.

【点睛】本题考查了双曲线的离心率，运用双曲线的定义、平面几何的相关知识是解题的关键.

16. 已知，，若对任意恒成立，则实数的取值范围是______.（用区间表示）

【答案】

【解析】

【分析】

代入，解得，又由在有定义，解得.

化简不等式，构造函数，通过导数研究的单调性和最值，即可判断出结果.

【详解】代入，解得，

又由有定义，得，可得.

因为，即，

平方后同乘得: ，

令，

，

若，即时,，所以为增函数.

因为，所以，故此时.

若，即或时,，

因为，所以此时.

因为有两根，

令，则在为增函数，在为减函数，在为增函数, 为极小值，且，

因为对称轴为，所以.

所以，

令，则，令，可得.

当时，；当时，.

函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即.

，.

所以恒成立，故此时符合题意.

综上的取值范围是.

故答案为: .

【点睛】本题考查不等式恒成立时求参数取值范围问题，考查导数在研究函数单调性和极值中的应用，属于难题.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：

17. 中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛，为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取名人员的成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的人员中成绩在[50，60）内的频数为3.

（1）求的值和估计参赛人员的平均成绩（保留小数点后两位有效数字）；

（2）已知抽取的名参赛人员中，成绩在[80，90）和[90，100]女士人数都为2人，现从成绩在[80，90）和[90，100]的抽取的人员中各随机抽取2人，记这4人中女士的人数为，求的分布列与数学期望.

【答案】（1）40，73.75（2）分布列见解析，

【解析】

【分析】

（1）由频率和为1，求出[50，60）的频率，频数为3，即可求出，由直方图结合平均数公式，即可求出平均数；

（2）分别求出抽取的人员中成绩在[80，90），[90，100]的人数，的可能取值为0，1，2，3，4，按求古典概型概率方法，求出随机变量的各个值的概率，列出分布列，即可求出数学期望.

【详解】（1）由频率分布直方图知，成绩在频率为

，

成绩在[50，60）内频数为3，抽取的样本容量，

参赛人员平均成绩为.

（2）由频率分布直方图知，抽取的人员中成绩在[80，90）的人数为0.0125×10×40=5，

成绩在[90，100]的人数为0.0100×10×40=4，

的可能取值为0，1，2，3，4，

；，

，，

.

的分布列为

.

【点睛】本题考查补全频率分布直方图，以及应用直方图求平均数，考查随机变量的分布列和期望，属于中档题.

18. 已知，，分别是的内角，，的对边，且.

（1）求角的大小；

（2）设为的面积，求的最大值.

【答案】(1)；(2)

【解析】

【分析】

(1)首先根据正弦定理得到三边之间的关系,再由余弦定理即可求得角的大小;

(2)首先表示出的面积，其次对进行化简整理,即可分析出其最大值.

【详解】(1)因为,.所以,

所以根据正弦定理,知,即,

所以由余弦定理,得.又,所以.

(2) 根据及正弦定理可得 ,所以 ,

所以,

所以 .

故当,即时, 的最大值为.

【点睛】本题考查正余弦定理解三角形,考查三角形面积公式及两角差的余弦公式在求值范围中的应用,难度较易.

19. 如图，四棱锥的底面是菱形，，，，，二面角的大小为60°.

（1）证明：；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】

分析】

(1)由,可得,底面是菱形,可知,即可证得面,即可得出结论;

(2)以为坐标原点建系,由已知二面角的大小为60°,可得,求出面和面的法向量,根据公式即可得出结果.

【详解】(1)因为是的中点,,所以为等腰三角形,所以.

因为底面是菱形,所以,又,所以面.又面PDB,

所以.

(2) 以为坐标原点建系,为轴,建立空间直角坐标系,由已知二面角的大小为60°,

则有.设底面边长为2, ，可知,,

又,,所以,

设法向量为,

因为,即,令,则,

因为面,所以面的法向量为,,

所以二面角的正弦值.

【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质定理,考查空间向量法求二面角,考查学生的逻辑推理能力和计算能力,属于中档题.

20. 已知椭圆的右焦点为，且经过点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）见解析.

【解析】

【分析】

(Ⅰ)由题意确定a,b的值即可确定椭圆方程；

(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM,ON的表达式，结合韦达定理确定t的值即可证明直线恒过定点.

【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为，所以；

因为椭圆经过点,所以，所以，故椭圆的方程为.

（Ⅱ）设

联立得，

，，.

直线，令得，即；

同理可得.

因为,所以；

，解之得，所以直线方程为，所以直线恒过定点.

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

21. 已知函数，（）.

（Ⅰ）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；

（Ⅱ）设，若，若函数对恒成立，求实数的取值范围.（是自然对数的底数，）

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）首先确定函数定义域为，求出导数；当时，可知函数单调递增，根据可知满足题意；当时，可求得导函数的零点；当零点可知满足题意；当或结合函数的单调性和零点存在性定理可判断出存在不止一个零点，不满足题意；综合上述情况得到结果；（Ⅱ）当时，可知，得到，满足题意；当时，根据符号可知单调递增，由零点存在性定理可验证出，使得，从而得到在上单调递减，则，不满足题意，从而得到结果.

【详解】（Ⅰ）由题意得：定义域为，则

①当时，恒成立    在上单调递增

又    有唯一零点，即满足题意

②当时

当时，；当时，

即在上单调递减，在上单调递增

⑴当，即时，，有唯一零点，满足题意

⑵当，即时，

又，且

，使得，不符合题意

⑶当，即时，

设，，则

在上单调递增    ，即

又    ，使得，不符合题意

综上所述：的取值范围为：

（Ⅱ）由题意得：，则，

①当时，由得：恒成立

在上单调递增   

即满足题意

②当时，恒成立    在上单调递增

又，

，使得

当时，，即在上单调递减

，则不符合题意

综上所述：的取值范围为：

【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据函数零点个数求解参数范围、恒成立问题的求解、零点存在性定理的应用等知识；本题解题的关键是在无法确定零点所在位置时，能够灵活应用零点存在定理找到不满足题意的点，从而使问题得以解决.

（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22. 已知平面直角坐标系，直线过点，且倾斜角为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．

（1）求直线的参数方程和圆的标准方程；

（2）设直线与圆交于、两点，若，求直线的倾斜角的值．

【答案】(1) 直线的参数方程为为参数；圆的标准方程为：  (2) 或

【解析】

【分析】

（1）根据直线参数方程的形式直接求解，根据极坐标和直角坐标的转化公式解圆的标准方程；（2）直线的参数方程代入圆的标准方程，利用的几何意义表示，代入根与系数的关系求解.

【详解】解：（1）因为直线过点，且倾斜角为

所以直线的参数方程为为参数

因为圆的极坐标方程为

所以

所以圆的普通方程为：，

圆的标准方程为：

（2）直线的参数方程为，代入圆的标准方程

得

整理得

设、两点对应的参数分别为、，则

所以，

因为，所以或

【点睛】本题考查直角坐标，参数方程和极坐标方程之间的转化以及利用直线的参数方程解决弦长问题，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型.

[选修4-5：不等式选讲]

23. 已知均为正实数，函数的最小值为.证明：

（1）；

（2）.

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值，再运用柯西不等式，即可得到最小值.

（2）利用基本不等式即可得到结论，注意等号成立的条件.

【详解】（1）由题意，则函数

，

又函数的最小值为，即，

由柯西不等式得，

当且仅当时取“=”.

故.

（2）由题意，利用基本不等式可得，，，

（以上三式当且仅当时同时取“=”）

由（1）知，，

所以，将以上三式相加得

即.

【点睛】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题.