四川省泸县第四中学2020届高三下学期第四次学月考试数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com2020年春四川省泸县第四中学高三第四学月考试

理科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，.则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用交集的运算法则求解即可.

【详解】集合，，

所以，

故选D.

【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.

2.已知复数（其中为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由共轭复数的概念，求得，进而得到复数的虚部.

【详解】由题意，复数，则，

所以共轭复数的虚部为.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了复数的分类，以及共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的共轭复数的概念是解答的关键.

3.已知向量，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由向量平行坐标表示可求得，根据向量数量积的坐标运算可求得结果.

【详解】，，解得：，.

故选：.

【点睛】本题考查平面向量数量积的求解，涉及到向量共线的坐标表示，属于基础题.

4.已知数列是等比数列，表示其前项和.若，，则的值为（    ）

A. -2 B. 2 C. 4 D. 2或4

【答案】D

【解析】

【分析】

利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．

【详解】解：设等比数列{an}的公比为q，由a3＝2，S4＝3S2，

可得：q≠1，a1q2＝2，＝3×，

解得：a1＝2，q＝﹣1；a1＝1，q2＝2．

则a5＝2或4．

故选：D．

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

5.函数的图象大致为（     ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先判断的奇偶性,即可排除B,C；再由,即可排除D.

【详解】由题,显然定义域为,设,则,所以函数是奇函数,其图象关于原点对称,排除B,C；且当时,,排除D,

故选:A

【点睛】本题考查图象的识别,考查函数奇偶性的应用,属于基础题.

6.执行如图所示的程序框图，当输出的值为时，则输入的值是（    ）

A.  B. 或 C. 或 D. 或

【答案】B

【解析】

【分析】

阅读程序框图，该程序是计算并输出值,分类讨论解方程即可.

【详解】根据程序框图，该程序是计算并输出的值,

由于输出的值为1,

可得时，,解得或(舍去）；

时，,解得或 (舍去），

即输入的值是或，故选B.

【点睛】本题主要考察程序框图和算法，属于基础题. 算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.

7.在学校举行的一次年级排球赛比赛中，李明、张华、王强三位同学分别对比赛结果的前三名进行预测：

李明预测：甲队第一，乙队第三．

张华预测：甲队第三，丙队第一．

王强预测：丙队第二，乙队第三．

如果三人的预测都对了一半、则名次为第一、第二、第三的依次是（　　）

A. 丙、甲、乙 B. 甲、丙、乙 C. 丙、乙、甲 D. 乙、丙、甲

【答案】A

【解析】

【分析】

根据他们几个都只猜对了一半，假设李明说的前半句“甲队第一”是正确的，那么张华预测的“甲队第三”和“丙队第一”就都是错误的，这与每人只说对了一半相矛盾，得到张华说的后半句“乙队第三”就是正确的；再由此推理其它两人的说法，从而求得结果.

【详解】假设李明说的前半句“甲队第一”是正确的，

那么张华预测的“甲队第三”和“丙队第一”就都是错误的，这与每人只说对了一半相矛盾，那么张华说的后半句“乙队第三”就是正确的；

由于乙队第三，那么张华说的前半句“甲队第三”就是错的，那么后半句“丙队第一”就是正确的，

由此可以得到，丙队第一，甲队第二，乙队第三，

由此可以得到王强说前半句“丙队第二”是错的，后半句“乙队第三”是正确的，

所以名次为第一、第二、第三的依次是丙、甲、乙，

故选A.

【点睛】该题考查的是有关推理的问题，属于简单题目.

8.2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行发行了以此为主题的纪念币.如图是一枚8克圆形精制金质纪念币，直径为22mm，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（    ）

A. mm2 B. mm2

C. mm2 D. mm2

【答案】B

【解析】

【分析】

落在军旗内部的次数除以总次数约等于军旗面积除以圆的面积.

【详解】由该纪念币的直径为22mm，知半径r＝11mm，则该纪念币的面积为πr2＝π×112＝121π（mm2），∴估计军旗的面积大约是（mm2）.

故选：C

【点睛】此题考查利用随机模拟方法对几何概型的辨析.

9.过点作直线的垂线，垂足为，则到直线距离的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由直线恒过可得点轨迹为圆，由圆上点到直线距离的最小值的求法可求得结果.

【详解】恒过点，，

点轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径，

到直线的距离的最小值为.

故选：.

【点睛】本题考查圆上的点到直线距离的最小值的求解，关键是能够根据垂直关系求得动点的轨迹为圆，进而利用圆上的点到直线距离的最小值为求得结果.

10.已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由偶函数的性质，将不等式得，再利用函数在上单调递增，得出，然后解出该不等式可得出原不等式的解集.

【详解】函数为偶函数，则，

由，得，

函数在上单调递增，，即，

化简得，解得或，

因此，不等式的解集为，故选B.

【点睛】本题考查函数不等式的求解，涉及函数的单调性与奇偶性，在函数为偶函数时，可充分利用偶函数的性质，将问题转化为函数在上的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

11.已知双曲线（，）的左、右焦点为，，P为双曲线右支上的一点，满足，直线与圆相切，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】

设直线与圆相切于M点，先结合圆切线以及等腰三角形性质解得，再根据双曲线定义列方程得，最后解得结果.

【详解】设直线与圆相切于M点， 的中点为N，

因为，所以

由双曲线性质知，，即，，

由双曲线的定义可知，，

即，

故选：C

【点睛】本题考查双曲线的定义以及离心率，考查综合分析求解能力，属中档题.

12.已知函数，，给出下列四个命题：

①函数的最小正周期为；

②函数的最大值为1；

③函数在上单调递增；

④将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为．

其中正确命题的个数是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】

利用三角恒等变换公式将整理为，根据的图象与性质、平移变换分别判断四个命题，从而得到结果.

【详解】

最小正周期，可知①错误；

，即的最大值为，可知②正确；

当时，，此时不单调，可知③错误；

向左平移个单位，即，可知④正确.

故正确命题个数为个

本题正确选项：

【点睛】本题考查的最小正周期、最值、单调性、平移变换的相关知识，关键是能够首先通过两角和差公式、诱导公式、辅助角公式将函数整理为的形式.

第II卷 非选择题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.命题“，”的否定是_______.

【答案】，

【解析】

【分析】

原命题为特称命题，其否定为全称命题.

【详解】“，”的否定是，

故答案为：，

【点睛】本题考查对特称命题进行否定.

 对全(特)称命题进行否定的方法:

(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；

(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．

14.展开式的二项式系数的和为128，则展开式的的系数为：_______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据二项式系数的和为得出，再由二项式定理求解即可.

【详解】展开式的二项式系数的和为128

，即

展开式的通项为

由得

的系数

故答案为：

【点睛】本题主要考查了求指定项的系数以及二项式的系数和性质的应用，属于中档题.

15.已知过点 的直线与抛物线 交于 、 两点，线段 的垂直平分线经过点 ，为抛物线的焦点，则 __________．

【答案】

【解析】

设 则
两式作差得： ，即 的斜率为 ．
设 ，则 ，的中点坐标为

的垂直平分线的斜率为，的垂直平分线方程为

线段AB的垂直平分线经过点，解得．|AF|+|BF|的值为．

故答案为．

16.已知四面体的四个顶点在同一个球的球面上，且，，球心恰好在棱上，该球的表面积为，则四面体的体积为_________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题目所给已知条件判断出球心的位置，以及平面.根据球的表面积求得球的半径，由此求得，进而求得四面体的面积.

【详解】由已知为等腰直角三角形，故球中，的截面圆圆心为中点，因球心在棱上，故为的中点，类比圆中的垂径定理，则平面，则平面，因球的表面积为，故球的半径，则，故，则四面体的体积为.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的有关计算，考查空间想象能力，属于基础题.

三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.某部门在上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，单位：分钟）将统计数据按，，，…，分组，制成频率分布直方图如图所示：

（1）求a的值；

（2）记A表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于20分钟”试估计A的概率；

（3）假设同组中的每个数据用该组区间左端点值来估计，记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的50名乘客乘车的平均等待时间分别为，求的值，并直接写出与的大小关系.

【答案】（1）（2）0.5（3），

【解析】

【分析】

（1）根据小长方形的面积和为列方程，解方程求得的值.

（2）根据频率分布直方图，计算出乘客在甲站等待时间少于20分钟的频率，由此估计A的概率.

（3）利用频率分布直方图计算出平均数.根据图象判断出.

【详解】（1）因为，

所以.

（2）由题意知，该乘客在甲站等待时间少于20分钟的频率为，故的估计值为0.5.

（3）.

由直方图知.（因为乙图中较高的小长方形位于等待时间较长的范围）

【点睛】本小题主要考查补全频率分布直方图，考查利用频率分布直方图进行估计，考查利用频率分布直方图计算平均数，属于基础题.

18.如图，在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆分别交，两点．

（1）求的值；

（2）若，，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由题得得，，，，再利用和角的余弦公式求解；（2）先求出，再利用差角的正弦公式计算求解.

【详解】（1）由，，

得，，，，

则．

（2）由已知得，．

∵，，∴，∵，∴，

则

，

∴．

【点睛】本题主要考查和角的余弦公式和差角的正弦公式，考查同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

19.已知六面体如图所示，平面，，，，，，是棱上的点，且满足.

（1）求证：直线平面；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

【分析】

（1）连接，设，连接.通过证明，证得直线平面.

（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的正弦值.

【详解】（1）连接，设，连接，

因为，所以，所以，

在中，因为，

所以，且平面，

故平面.

（2）因为，，，，，所以，

因为，平面，所以平面，

所以，，

取所在直线为轴，取所在直线为轴，取所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

由已知可得，，，，

所以，因为，

所以，

所以点坐标为，

所以，，设为平面的法向量，

则，令，解得，，

所以，即为平面的一个法向量.

，

同理可求得平面的一个法向量为

所以

所以二面角的正弦值为

【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

20.已知椭圆的离心率为，短轴长为2.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，

求证：点在定圆上.

【答案】（1）椭圆的标准方程为   （2）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）由已知可得，， 椭圆为；（2）由①，且

，又

② ，由①②得 点在定圆上.

试题解析：（1）设焦距为，由已知，，∴，，

∴椭圆的标准方程为.

（2）设，联立得，

依题意，，化简得，①

，

，

若，则， 即，

∴，

∴，

即，化简得，②

由①②得.

∴点在定圆上.（没有求范围不扣分）

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、斜率公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型. 第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为；（2）设而不求法求得①，再利用韦达定理转化得② ，由①②得 点在定圆上.

21.已知函数（，=2.718………），

（I） 当时，求函数的单调区间；

（II）当时，不等式对任意恒成立，

求实数的最大值.

【答案】（1）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；

（2）符合题意的实数的最大值为.

【解析】

【详解】（1）

由可知，

令得 或

令得

即  此时函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；

（2）当时，不等式 即

  令，对任意恒成立

又

  当时，，所以在上递增，且最小值为

（i）当，即时，对任意恒成立

  在上递增，  当时，满足题意； （ii）当，即时，

由上可得存在唯一的实数，使得，可得当时，，在上递减，此时不符合题意； 综上得，当时，满足题意，即符合题意的实数的最大值为.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.在直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）求已知曲线和曲线交于两点，且，求实数的值.

【答案】（1）（2）或.

【解析】

【分析】

（1）利用参数方程、普通方程与极坐标方程的转化方法，求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程.

（2）先将曲线的方程转化为标准参数方程，然后将其代入曲线的直角坐标方程中，因曲线和曲线有两个交点，所以整理后的关于的二次方程，初步确定的范围，再根据参数方程的几何意义可知，，引入已知，分类讨论，求实数的值.

【详解】（1）的参数方程，消参得普通方程为，

极坐标方程化为即；

（2）将曲线的参数方程标准化为（为参数，）

代入曲线得，由，

得

设，对应的参数为，，由题意得即或，

当时，，解得 ，

当时，解得，

综上：或.

点睛：过点倾斜角为的直线标准参数方程为 （为参数），通过如下方式辨别标准直线参数方程：（1）系数平方和，（2）纵坐标系数为正.

23.已知，，，满足．

（1）求证：；

（2）求证：．

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）由于，再利用柯西不等式，即可证明

（2）设，，，则不等式左边化简为，利用柯西不等式即可证明．

【详解】（1）左边

由柯西不等式得：（取等号的条件是），即所以，原不等式得证．

（2）由于，，，，设，，，则，

所以，

则

由柯西不等式可得：，（当且仅当时等号成立）

所以，故（当且仅当时等号成立），则原不等式得证

【点睛】本题考查不等式的证明，柯西不等式在不等式证明中的应用，属于中档题．