2021届安徽省阜阳市太和第一中学高三上学期第一次校本教材反馈测试数学（文）试题（解析版）

2021届安徽省阜阳市太和第一中学高三上学期第一次校本教材反馈测试数学（文）试题

一、单选题

1．已知是实数集，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先分别求解出集合，然后按照集合的运算法则计算.

【详解】

因为，所以，

又，故．

故选：B．

【点睛】

本题以不等式、函数的值域为载体，考查集合间的基本运算，属于简单题.

2．函数单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性的判断方法判断原函数的单调递减区间.

【详解】

令，．由，得．

因为函数是关于的递减函数，且时，为增函数，所以为减函数，

所以函数的单调减区间是．

故选：C.

【点睛】

本题考查复合函数单调区间的求解，较简单，解答时注意不要忽略原函数的定义域.

3．已知“或”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】若“或”是“”的必要不充分条件，则不等式的解集是集合或的真子集.

【详解】

由得：或．若“或”是“”的必要不充分条件，则且等号不同时成立，即．

故选：B.

【点睛】

本题考查根据必要不充分条件求参数的取值范围，难度一般，考查学生对于充分条件、必要条件概念的理解.解答时,将问题转化为集合间的包含关系求解即可.

4．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据指数函数的单调性判断，再由作商法判断.

【详解】

因为函数是减函数，所以，所以

，所以，

所以

故选：B

【点睛】

本题主要考查了利用指数函数的单调性比较大小，属于中档题.

5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】A

【解析】利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.

【详解】

详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得

，故选A．

【点睛】

本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．

6．已知数列中，，，则等于（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【解析】通过题目条件计算出数列的前几项，可发现数列是周期为2的周期数列，则.

【详解】

∵，，

∴，，，

则数列是周期为2的周期数列，

∴．

故选：A．

【点睛】

本题考查数列的周期性及应用，准确判断出周期是关键，较简单.

7．在中，，若三角形有两解，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】试题分析：由题意得，，要使得三角形有两解，则满足，解得，故选C.

【考点】三角形解的个数的判定.

8．己知函数恒过定点A，若直线过点A，其中是正实数，则的最小值是

A． B． C． D．5

【答案】B

【解析】分析：

详解：易知函数过定点，∴，即，

∴，当且仅当，即，时取等号．

故选B．

点睛：本题考查基本不等式求最值，解题时关键是凑配基本不等式的条件：定值，常用方法是“1”的代换．

9．若，，，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据角的范围以及同角三角函数关系求出，，再由可得结果.

【详解】

∵，，

∴，又∵，

则，∴，

∴

．

故选：D.

【点睛】

本题主要考查同角三角函数的关系以及两角差的余弦公式，考查了“拆角”技巧的应用，考查了计算能力，属于基础题.

10．已知函数（其中，若的图象如图所示，则函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据题意，易得的两根为、，又由函数零点与方程的根的关系，可得的零点就是、，观察的图象，可得其与轴的两个交点的横坐标分别在区间与上，又由，可得，；根据函数图象变化的规律可得的单调性及与轴交点的位置，分析选项可得答案.

【详解】

解：由二次方程的解法易得的两根为、；

根据函数零点与方程的根的关系，可得的零点就是、，即函数图象与轴交点的横坐标；

观察的图象，可得其与轴的两个交点的横坐标分别在区间与上，

又由，可得，；

在函数可得，由可得其是减函数，

又由可得其与轴交点在轴的下方；

分析选项可得符合这两点，均不满足；

故选：.

【点睛】

本题综合考查指数函数的图象与函数零点的定义、性质；解题的关键在于根据二次函数的图象分析出、的范围.

11．已知数列的前项和为，且，，则(  )

A．127 B．129 C．255 D．257

【答案】C

【解析】利用迭代关系，得到另一等式，相减求出，判断数列是否为等比数列，利用等比数列求和公式可得.

【详解】

因为，，所以，

相减得，，，又，所以，，所以数列是等比数列，所以，故选C.

【点睛】

本题考查等比数列的求和，数列通项公式的求法，考查计算求解能力，属于中档题.

12．定义在上的函数，是其导数，且满足，，则不等式 （其中e为自然对数的底数）的解集为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】构造函数，研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．

【详解】

令，则，可知函数在上单调递增，故当时，，即，即．

∴不等式的解集为

故选A.

【点睛】

本题考查利用导数研究不等式问题，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键.利用导数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题，往往要根据已知和所求合理构造函数，再求导进行求解，如本题中的关键是利用“”和“”的联系构造函数.

二、填空题

13．已知则的值是__________．

【答案】

【解析】由已知等式可得，利用诱导公式以及两角和的正弦公式可得，从而可得结果.

【详解】

因为，

所以，

，

故答案为.

【点睛】

三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围确定角．

14．化简_____________.

【答案】1

【解析】直接利用诱导公式化简得解.

【详解】

由题得.

故答案为1

【点睛】

本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

15．若函数在区间上有零点，则的取值范围为________．

【答案】

【解析】先由题中条件，判定函数单调性，再由函数零点存在性定理，列出不等式求解，即可得出结果.

【详解】

因为函数，所以为减函数．

又因为在区间上有零点，

所以，解得．

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查根据函数有零点求参数，属于基础题型.

16．下列说法中，正确的是________(填序号)．

①任取x＞0，均有3x＞2x；

②当a＞0，且a≠1时，有a3＞a2；

③y＝()－x是增函数；

④y＝2|x|的最小值为1；

⑤在同一坐标系中，y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称．

【答案】①④⑤

【解析】对于②，当0＜a＜1时，a3＜a2，故②不正确．

对于③，y＝()－x＝，因为0＜＜1，故y＝()－x是减函数，故③不正确．易知①④⑤正确．

答案：①④⑤.

点睛：1.指数函数图象的比较，可以放入第一象限，即当x＞0时，底数越大图象越高，即“底大图高”；

2.指数函数y＝x中，当时函数单调递增，当时，函数单调递减；

3.对于函数关于y轴对称得到，关于x轴对称得到.

三、解答题

17．设平面内两个向量与互相垂直且，，又与是两个不同时为零的实数．

（1）若与互相垂直，求关于的函数解析式；

（2）求函数取最小值时的向量，．

【答案】（1）；（2），．

【解析】（1）先根据条件计算，得，整理即得到解析式；

（2）利用二次函数取最值的条件得到t和k值，即得结果.

【详解】

解：（1）∵，，∴，．

∴，得，

∴．

∴．

（2）由于，

∴当时，，此时，．

【点睛】

本题考查了向量垂直的应用，考查了二次函数最值的研究，属于中档题.

18．

已知数列的前项和满足，等差数列满足，．

（1）求数列、的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，问>的最小正整数是多少?

【答案】（1）∴ ；（2）

【解析】【详解】

解：（1）当时，，∴

当时，，

即

∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴

设的公差为，，∴

∴

（2）

∴

由>，得>，解得>

∴>的最小正整数是

19．在中，内角，，的对边分别为，，，且．

（1）求角的大小；

（2）若，求的周长的最大值．

【答案】（1）；（2）9．

【解析】（1）由已知条件可得出，即，利用余弦定理可得得的值，结合角的取值范围可求得角的大小；

（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，进而可求得周长的最大值.

【详解】

（1）∵．

∴在中，由正弦定理得，

∴．

由余弦定理得，∴．

又，∴．

（2）在中，由余弦定理知，

∴．

∵，∴，

∴，则，当且仅当时，等号成立．

∴的周长的最大值为．

【点睛】

该题考查利用正弦定理边角互化以及余弦定理求角，同时也考查了三角形周长最值的求解，考查了基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题目.

20．设函数．

（1）写出函数的最小正周期及单调递减区间；

（2）当时，函数的最大值与最小值的和为，求的解析式．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）化简函数，结合三角函数的性质，即可求解.

（2）因为，可得，求得，进而求得的值，即可得到函数的解析式.

【详解】

（1）由题意，函数

，

所以函数的最小正周期，

令，解得，

即函数的单调递减区间为.

（2）因为，可得，

所以，所以，

又由函数的最大值与最小值的和为，即，解得，

所以函数的解析式为．

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的综合应用，其中解答中根据三角恒等变换的公式求得函数的解析式，结合三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

21．已知函数.

（1）讨论的单调区间；

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】（1）对函数求导，分别讨论和两种情况，即可求出结果；

（2）先分离参数，将原式化为，求的最大值即可.

【详解】

解：（1）的定义域为，，

①当时，，所以的减区间为，无增区间.

②当时，令得；令得；

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

综上可知，当时，的减区间为，无增区间；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）因为，即.

因为，所以.

设，.

显然在上是减函数，.

所以当时，，是增函数；

当时，，是减函数.

所以的最大值为.

所以.

【点睛】

本题主要考查导数在函数中的应用，常用到分类讨论的方法来处理；对于不等式恒成立求参数的问题，通常分离出参数，结合导数的方法求解，属于常考题型.

22．已知函数．

（1）若函数的一个极值点是，求函数的单调区间

（2）当时，证明：．

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）先根据是的极值点得，解得，进而得，研究得函数在上单调递增且，故在上单调递减，在上单调递增；

（2）当时，在上单调递增，由于，，故当，时，取极小值，故，进而得，故，.

【详解】

（1）依题意，函数的定义域为，

对函数求导得．

∵是的极值点，

∴，即，解得，

于是，．

所以，

所以函数在上单调递增，且．

因此当时，，当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增．

（2）当时，，

所以，

故在上单调递增．

又，，故，

在上有唯一的解，且．

当时，；

当时，．

故当时，取极小值，

故由得，解得，

故，

∵，∴，故．

当且仅当，即时，等号成立，

而，∴．

综上所述，当时，．

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的极值，单调性，证明不等式等，考查运算能力，是中档题.