四川省泸县第一中学2020届高三下学期第四学月考试数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com2020年春四川省泸县第一中学高三第四学月考试

文科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

化简集合，再进行交集运算，即可得答案；

【详解】，，

，

故选：A.

【点睛】本题考查集合的交运算和解不等式，考查运算求解能力，属于基础题.

2.若复数，则当时，复数在复平面内对应的点在（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

根据角的范围，结合复数的几何意义，即可判断出点的符号，进而得复数在复平面内对应的点所在象限.

【详解】复数，在复平面内对应的点为，

当时，，

所以对应点的坐标位于第二象限，

故选：B.

【点睛】本题考查了复数的几何意义，三角函数符号的判断，属于基础题.

3.已知向量，，且，则（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.

【详解】由于向量，，且，所以解得.

故选：A

【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.

4.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．

①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；

②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；

③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；

④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．

其中正确的个数为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．

【详解】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分，平均成绩为低于分，①错误；

②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内，②正确；

③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；

④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．

故选C．

【点睛】本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．

5.当时，函数的图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

由，解得，即或，函数有两个零点，，不正确，设，则，由，解得或，由，解得：，即是函数的一个极大值点，不成立，排除，故选B.

【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.

6.已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（   ）

A. 若，，，，则

B. 若，，，则

C. 若，，，则

D. 若，，，则

【答案】B

【解析】

【分析】

根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果.

【详解】A选项，若，，，，则或与相交；故A错；

B选项，若，，则，又，是两个不重合的平面，则，故B正确；

C选项，若，，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故C错；

D选项，若，，则或或与相交，又，是两个不重合平面，则或与相交；故D错；

故选B

【点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型.

7.设等差数列的前项和为，若，，则（    ）

A. 21 B. 22 C. 11 D. 12

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意知成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出的值.

【详解】解：由为等差数列，可知也成等差数列，

所以 ，即，解得.

故选:A.

【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.

8.已知角的终边与单位圆交于点，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先由三角函数的定义求出，再由二倍角公式可求.

【详解】解：角的终边与单位圆交于点

，

，

故选：B

【点睛】考查三角函数的定义和二倍角公式，是基础题.

9.小张家订了一份报纸，送报人可能在早上之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上之间.用表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为，小张离开家的时间为，看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件的概率等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解.

【详解】解：事件发生，需满足，即事件应位于五边形内，作图如下：

故选：D

【点睛】考查几何概型，是基础题.

10.已知双曲线（，），以点（）为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则可根据圆心到渐近线距离为列出方程，求解离心率．

【详解】不妨设双曲线的一条渐近线与圆交于，

因为，所以圆心到的距离为：，

即，因为，所以解得．

故选A．

【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立关于的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.

11.棱长为2的正方体内有一个内切球，过正方体中两条异面直线，的中点作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】

连结并延长PO，交对棱C1D1于R，则R为对棱的中点，取MN的中点H，则OH⊥MN，推导出OH∥RQ，且OH＝RQ＝，由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长．

【详解】如图，

MN为该直线被球面截在球内的线段

连结并延长PO，交对棱C1D1于R，

则R为对棱的中点，取MN的中点H，则OH⊥MN，

∴OH∥RQ，且OH＝RQ＝，

∴MH＝＝＝，

∴MN＝．

故选：C．

【点睛】本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

12.若函数，在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用导数求得在区间上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】的定义域为，，

所以在上递减，在上递增，在处取得极小值也即是最小值，，，，，

所以在区间上的最大值为.

要使在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，

则需恒成立，且，

也即，也即当、时，成立，

即，且，解得.所以的取值范围是.

故选：D

【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.

第II卷 非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若函数的图象在点处的切线平行于轴，则________.

【答案】

【解析】

【分析】

求函数的导数，可得切线斜率，由切线平行x轴，得到斜率为0，可得t值.

【详解】 可得函数在x=-1处的切线斜率为2+2t,

由切线平行于轴，可得解得t=-1,

故答案为-1

【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.

14.已知，，分别为三个内角，，的对边，若，，的面积为，则的值等于________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据三角形的面积公式，求得，利用余弦定理求得，再根据正弦定理，即可求解的值，得到答案.

【详解】在中，因为，所以，

又由的面积为，且，

所以，解得，

由余弦定理可得，解得，

又由正弦定理得.

【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．

15.学校艺术节对同一类的，，，四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：

甲说：“或作品获得一等奖”；        乙说：“作品获得一等奖”；

丙说：“，两项作品未获得一等奖”；    丁说：“作品获得一等奖”．

若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______.

【答案】B

【解析】

【分析】

首先根据“学校艺术节对四件参赛作品只评一件一等奖”，故假设分别为一等奖，然后判断甲、乙、丙、丁四位同学的说法的正确性，即可得出结果．

【详解】若A为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意；

若B为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；

若C为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意；

若D为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；

综上所述，故B获得一等奖．

【点睛】本题属于信息题，可根据题目所给信息来找出解题所需要的条件并得出答案，在做本题的时候，可以采用依次假设为一等奖并通过是否满足题目条件来判断其是否正确．

16.若过点且斜率为的直线与抛物线的准线相交于点，与的一个交点为，若，则____．

【答案】

【解析】

【分析】

由直线方程为与准线得出点坐标，再由可得，点为线段的中点，由此求出点A的坐标，代入抛物线方程得出的值.

【详解】解：抛物线的准线方程为

过点且斜率为的直线方程为，

联立方程组，

解得，交点坐标为，

设A点坐标为，

因为，

所以点为线段的中点，

所以，解得，

将代入抛物线方程，

即，

因为，

解得.

【点睛】本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.

三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.等比数列中，．

(Ⅰ)求的通项公式；

(Ⅱ)记为的前项和．若，求．

【答案】(Ⅰ)或(Ⅱ)12

【解析】

【分析】

（1）先设数列的公比为，根据题中条件求出公比，即可得出通项公式；

（2）根据（1）的结果，由等比数列的求和公式，即可求出结果.

【详解】（1）设数列的公比为，

，

，

或.

（2）时，，解得；

时，，

无正整数解；

综上所述.

【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于基础题型.

18.如图，在直三棱柱中，分别是中点，且，.

求证：平面；

求点到平面的距离.

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；

（2）取中点为,则,证得平面,利用等体积法求解即可.

【详解】（1）因为，，

，是的中点，，

为直三棱柱，所以平面，

因为为中点，所以

平面，，又,

平面

（2），

又分别是中点，

.

由（1）知，,

又平面,

取中点为,连接如图,

则，平面，

设点到平面的距离为，

由，得，

即，解得，

点到平面的距离为.

【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理、等体积法求点到面的距离；考查逻辑推理能力和运算求解能力；熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理是求解本题的关键；属于中档题.

19.国家统计局进行第四次经济普查，某调查机构从15个发达地区，10个欠发达地区，5个贫困地区中选取6个作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区.普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如下表所示：

（1）写出选择6个国家综合试点地区采用抽样方法；

（2）根据列联表判断是否有97.5%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”，分析造成这个结果的原因并给出合理化建议.

附：参考公式： ，其中

参考数据：

【答案】(1) 分层抽样(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）由分层抽样的定义与特点结合题意确定为分层抽样；(2)计算的值即可进行判断，再分析原因给出建议即可

详解】（1）分层抽样

（2）由列联表中的数据可得的观测值

所以有97.5%的把握认为“此普查小区的入户登记”是否顺利与普查对象类别有关

原因：1.居民对普查不够重视， 不愿意积极配合；

2.企事业单位工作时间固定，个体经营者相对时间不固定

建议：1.要加大宣传力度，宣传要贴近居民生活，易被居民接受；

2.合理的安排普查时间，要结合居民工作特点.

【点睛】本题考查分层抽样，考查独立性检验，的计算，考查计算能力，是基础题

20.已知椭圆的右焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，且与短轴两端点的连线相互垂直.

（1）求椭圆的方程；

（2）若圆上存在两点，，椭圆上存在两个点满足：三点共线，三点共线，且，求四边形面积的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）又题意知，，及即可求得，从而得椭圆方程.

（2）分三种情况：直线斜率不存在时，的斜率为0时，的斜率存在且不为0时，设出直线方程，联立方程组，用韦达定理和弦长公式以及四边形的面积公式计算即可.

【详解】（1）由焦点与短轴两端点的连线相互垂直及椭圆的对称性可知，，

∵过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

又，解得.

∴椭圆的方程为

（2）由（1）可知圆的方程为，

（i）当直线的斜率不存在时，直线的斜率为0，

此时

（ii）当直线的斜率为零时，.

（iii）当直线的斜率存在且不等于零时，设直线的方程为，

联立，得，

设的横坐标分别为，则.

所以，

（注：的长度也可以用点到直线的距离和勾股定理计算.）

由可得直线的方程为，联立椭圆的方程消去，

得

设的横坐标为，则.

.

综上，由（i）（ii）（ⅲ）得的取值范围是.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题，解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆方程是基础；通过联立直线方程与椭圆方程建立方程组，应用一元二次方程根与系数，得到目标函数解析式，运用函数知识求解；本题是难题.

21.已知函数，．

Ⅰ当时，讨论函数的单调性；

Ⅱ若函数有两个极值点，，且，求证．

【答案】（1）函数在上单调递减；在和上单调递增．（2）见证明

【解析】

【分析】

首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的单调性即可；

首先确定，的范围，化简的表达式为．构造函数，利用导数求得函数的最小值，并由极限证得，由此证得不等式成立.

【详解】解：，

，

令，，，

令则，

当，即时，

令则；令则．

此时函数在上单调递减；在上单调递增．

当，即时，

令，则；

令则，

此时函数在上单调递减；在和上单调递增．

由知，若有两个极值点，

则且，

又，是的两个根，则，

，

令，则，

令，则，令，则，

所以在上单调递减；在上单调递增．

，

，，得证．

【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的极值，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，

（l）设为参数，若，求直线的参数方程；

（2）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值.

【答案】（1）（为参数）；（2）1

【解析】

【分析】

（1）由直线的极坐标方程为，求得，进而由，代入上式得，得到直线的参数方程；

（2）根据极坐标与直角坐标的互化，求得，将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，利用根据与系数的关系，列出方程，即可求解.

【详解】（1）直线的极坐标方程为即，

因为为参数，若，代入上式得，

所以直线的参数方程为（为参数）

（2）由，得，

由，代入，得

将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，

得.（*）

则且，，

设点，分别对应参数，恰为上述方程的根.

则，，，

由题设得.

则有，得或.

因为，所以

【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及普通方程与参数方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

23.已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.

(1)求f(x)的最小值m；

(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥3.

【答案】（1）m＝3 （2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）分段讨论当x＜－1时，当－1≤x＜2时，当x≥2时，函数f(x)的值域，然后求函数在定义域上的值域即可；

（2）由已知条件a＋b＋c＝3，再结合重要不等式证明即可.

【详解】解：（1）当x＜－1时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x∈(3，＋∞)；

当－1≤x＜2时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)；

当x≥2时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x∈[6，＋∞)．

即，

综上，f(x)的最小值m＝3.

（2）证明：因为a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝3，

所以＋＋＋(a＋b＋c)

＝＋＋

≥2

＝2(a＋b＋c)，

当且仅当a＝b＝c＝1时，取“＝”，

所以＋＋≥a＋b＋c，

又a＋b＋c＝3，

即＋＋≥3.

【点睛】本题考查了含绝对值符号的函数值域的求法，重点考查了重要不等式的应用，属中档题.