2021北京房山高二（上）期末数学（教师版）

这是一份2021北京房山高二（上）期末数学（教师版），共12页。试卷主要包含了解答题共6小题，共75分等内容，欢迎下载使用。
2021北京房山高二（上）期末数    学一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知点，，则线段的中点坐标为　　A． B． C． D．2．圆心为，半径为5的圆的方程为　　A． B． C． D．3．已知直线和互相平行，则　　A． B． C．或 D．或4．下列双曲线中以为渐近线的是　　A． B． C． D．5．在的展开式中，的系数为　　A．5 B． C．10 D．6．已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为　　A． B． C． D．7．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则　　A． B． C．2 D．48．已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为　　A． B． C． D．9．已知直线和圆，则直线与圆的位置关系为　　A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定10．如图，在正方体中，点，分别是棱，上的动点．给出下面四个命题：①直线与直线平行；②若直线与直线共面，则直线与直线相交；③直线到平面的距离为定值；④直线与直线所成角的最大值是．其中，真命题的个数是　　A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．电影《夺冠》要在4所学校轮流放映，每所学校放映一场，则不同的放映次序共有　　种．（用数字作答）12．设随机变量的分布列为：012则　　；随机变量的数学期望　　．13．某班级的学生中，寒假是否有参加滑雪运动打算的情况如表所示． 男生女生有参加滑雪运动打算810无参加滑雪运动打算1012从这个班级中随机抽取一名学生，则“抽到的人是男生且有参加滑雪运动打算”的概率为　　；若已知抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算的概率为　　．14．设抛物线的焦点为，点，在抛物线上．则抛物线的准线方程为 　　；　　．15．已知曲线．给出下列四个命题：①曲线过坐标原点；②若，则是圆，其半径为；③若，则是椭圆，其焦点在轴上；④若，则是双曲线，其渐近线方程为．其中所有真命题的序号是　　．三、解答题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（12分）已知直线过点，再从下列条件①、条件②、条件③这三个条件中任意选择一个作为已知，求直线的方程．条件①：直线经过直线与的交点；条件②：直线与圆相切；条件③：直线与坐标轴围成的三角形的面积为3．17．（12分）已知点在抛物线上，过点且斜率为2的直线与抛物线的另一个交点为．（Ⅰ）求的值和抛物线的焦点坐标；（Ⅱ）求弦长．18．（12分）袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．求：（Ⅰ）第一次摸到红球的概率；（Ⅱ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；（Ⅲ）第二次摸到红球的概率．19．（13分）某软件是一款自营生鲜平台以及提供配送服务的生活类．某机构为调查顾客对该软件的使用情况，在某地区随机抽取了100人，调查结果整理如表：顾客年龄20岁以下，，，，，70岁以上使用人数510188420未使用人数002123630（Ⅰ）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在，且未使用这款的概率；（Ⅱ）从被抽取的年龄在，且使用这款的顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，用表示这2人中年龄在，的人数，求随机变量的分布列及数学期望；（Ⅲ）为鼓励居民使用，该机构拟对使用这款的居民赠送1张5元的代金券．若某区预计有6000人具有购物能力，试估计该机构至少应准备多少张代金券．20．（13分）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，为中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；21．（13分）已知椭圆的离心率为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）不过点的直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点．
参考答案一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．【分析】直接利用中点坐标公式求解即可．【解答】解：点，，线段的中点坐标：，，即，．故选：．【点评】本题考查中点坐标公式的应用，考查计算能力．2．【分析】根据圆心坐标与半径写出圆标准方程即可．【解答】解：根据题意得：所求圆方程为．故选：．【点评】此题考查了圆的标准方程，根据圆心与半径正确写出圆的标准方程是解本题的关键．3．【分析】利用两条直线平行的充要条件列式求解即可．【解答】解：因为直线和互相平行，所以，解得或3．故选：．【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题．4．【分析】利用双曲线的方程，求解双曲线的渐近线方程，判断选项的正误即可．【解答】解：的渐近线方程为：．即，所以正确；的渐近线方程为：，所以不正确；的渐近线方程为：，所以不正确；的渐近线方程为：，所以不正确；故选：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．5．【分析】由二项展开式的通项公式，即可求得的系数．【解答】解：的展开式的通项为，所以的系数为．故选：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．6．【分析】由题意利用相互独立事件的概率，次独立实验中恰好发生次的概率，计算求得结果．【解答】解：某种药物对某种疾病的治愈率为，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为．故选：．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率，次独立实验中恰好发生次的概率，属于基础题．7．【分析】求出椭圆的焦点坐标，然后利用已知条件列出方程，求解即可．【解答】解：椭圆的焦点，，双曲线与椭圆有相同的焦点，可得，所以，故选：．【点评】本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，是基础题．8．【分析】设动点，设，，则利用中点坐标公式可得与坐标之间的关系，再利用点在圆上，即可得到和的关系，即为点的轨迹方程．【解答】解：设线段的中点，，，则，，则有，解得，又点在圆上，所以有，即，所以线段的中点的轨迹方程为．故选：．【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解，要掌握常见的求解轨迹方程的方法：直接法、定义法、代入法、消元法、交轨法等，属于中档题．9．【分析】由直线系方程可知直线过定点，再说明定点在圆内，可得直线与圆的位置关系．【解答】解：由直线，得，可知直线过定点，化圆为，知圆心，半径为2，，则在圆内，直线与圆的位置关系为相交．故选：．【点评】本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，是基础题．10．【分析】根据空间直线和直线，直线和平面位置关系分别进行判断即可．【解答】解：如图1，当与重合时，与重合时，直线与直线是异面直线，此时不可能平行，故①错误．如图2，当与重合时，与重合时，四边形为矩形，故直线与直线平行，此时直线与直线相交错误．故②错误．因为平面平面，而平面，故平面，所以直线到平面的距离为定值（正方体的棱长），故③正确．建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，设，，，，1，，其中，，而，1，，故，，，，0，，设直线与直线所成角为，则，，若直线与直线不平行，则，．故，，故直线与直线所成角的最大值是，所以④正确．故正确的是③④，故选：．【点评】本题主要考查与空间直线和平面位置关系的判断，结合空间平行和垂直的位置关系是解决本题的关键，是中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．【分析】根据题意，这个一共排列问题，由排列数公式直接计算可得答案．【解答】解：根据题意，电影《夺冠》要在4所学校轮流放映，每所学校放映一场，则有种不同的顺序，故答案为：24．【点评】本题考查排列数公式的应用，注意区分排列组合的定义，属于基础题．12．【分析】根据分布列的性质即可求出的值，由此即可求出期望．【解答】解：由离散型随机变量的分布列的性质可得：，解得，则，故答案为：．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列的性质以及期望，考查了学生的运算能力，属于基础题．13．【分析】由频数统计表得：这个班级一共有40名学生，其中有参加滑雪运动打算的男生有8人，由此能求出从这个班级中随机抽取一名学生，则“抽到的人是男生且有参加滑雪运动打算”的概率；这个班有18名男生，其中有参加滑雪运动打算的男生有8人，由此能求出抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算的概率．【解答】解：由频数统计表得：这个班级一共有：名学生，其中有参加滑雪运动打算的男生有8人，从这个班级中随机抽取一名学生，则“抽到的人是男生且有参加滑雪运动打算”的概率为．由频数统计表得：这个班有18名男生，其中有参加滑雪运动打算的男生有8人，抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算的概率为．故答案为：，．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．【分析】由抛物线方程即可求出和准线方程，再由抛物线的定义即可求出．【解答】解：由抛物线的方程可得，准线方程为：，则由抛物线的定义可得：，故答案为：；5．【点评】本题考查了抛物线的方程与定义，考查了学生对抛物线定义的理解能力，属于基础题．15．【分析】①中，代入原点坐标验证即可；②中，根据圆的标准方程判断即可；③中，根据椭圆的标准方程判断即可；④中，根据双曲线的标准方程求出渐近线方程即可．【解答】解：对于①，因为，时，，曲线不过坐标原点，①错误；对于②，当时，曲线为表示圆，其半径为，所以②错误；对于③，当时，曲线表示椭圆，且焦点在轴上，所以③正确；对于④，当时，曲线表示双曲线，其渐近线方程为，得，所以，其渐近线方程为，所以④正确．综上知，所有真命题的序号是③④．故答案为：③④．【点评】本题考查了圆锥曲线的定义与性质应用问题，也考查了分析与判断能力，是中档题．三、解答题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．【分析】若选择条件①，联立直线方程求交点，再求斜率，利用直线方程的斜截式得答案；若选择条件②，设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求斜率，再由直线方程的斜截式得答案；若选择条件③，设出直线方程，求出直线在轴上的截距，由三角形面积求得直线的斜率，再由直线方程的斜截式得答案．【解答】解：选择条件①：解方程组，得，则直线的斜率为，直线的方程为，即．选择条件②：设直线的方程为（显然直线的斜率存在），即．圆的圆心为，半径为．直线与圆相切，，解得．直线的方程为，即．选择条件③：设直线的方程为（显然直线不与坐标轴平行），令，得．则．解得．直线的方程为，即．【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是基础题．17．【分析】（Ⅰ）由点在抛物线上，求解．得到抛物线的方程，焦点坐标．（Ⅱ）直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程，求出坐标，然后求解距离即可．【解答】解：（Ⅰ）由点在抛物线上，得．所以抛物线的方程为，焦点坐标为．（Ⅱ）直线的方程为，即，解方程组得或所以点的坐标为．所以．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．18．【分析】先设事件：第一次摸到红球；事件：第二次摸到红球，（Ⅰ）由袋中球的总数和红球的数目，结合古典概型公式计算可得答案，（Ⅱ）根据题意，计算的值，由条件概率公式计算可得答案，（Ⅲ）根据题意，计算、的值，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，设事件：第一次摸到红球；事件：第二次摸到红球，则事件：第一次摸到白球．（Ⅰ）袋中有10个球，第一次从10个球中摸一个共10种不同的结果，其中是红球的结果共3种，所以，（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，，前两次都摸到红球的概率，则；（Ⅲ），则（A），，则（B）；所以第二次摸到红球的概率．【点评】本题考查古典概型和条件概率的计算，注意条件概率的计算公式，属于基础题．19．【分析】（Ⅰ）用频率估计概率即可求解；（Ⅱ）写出的可能取值，求出对应的概率，由此可以求解；（Ⅲ）求出对应的频率再乘以总体，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在，且未使用这款的共有人，所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在，且未使用这款的概率为；（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，则，，，所以的分布列为：012故的数学期望为；（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，使用自助结算机的共有人，所以该机构至少应准备张代金券的张数估计为：张．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，考查了用频率估计概率的数学以及学生的运算能力，属于中档题．20．【分析】（Ⅰ）证明，，．以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，计算，，推出，，然后证明平面．（Ⅱ）求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：因为平面，，平面，所以，．因为底面为正方形，所以．如图，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，2，，，2，，因为，0，，2，，，2，，2，，所以，，又，平面，平面，所以平面．（Ⅱ）因为为中点，所以，1，，．设平面的法向量为，则即令，则．由（Ⅰ）知，为平面的法向量，所以，由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21．【分析】（Ⅰ）通过离心率为，经过点，求出，，求出，得到椭圆方程．（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程周长方程组，利用韦达定理以及判别式，结合斜率的数量积，推出的关系，求解直线系方程推出结果．当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，验证求解即可．【解答】（Ⅰ）解：由椭圆离心率为，且经过点，可知．所以．所以．所以椭圆的方程为．（Ⅱ）证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由得．△．设，，，，则．因为以线段为直径的圆经过点，所以．所以．，，由，整理得．解得或（都满足△．所以或．因为直线不过点，所以直线过定点．当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，则，，，，．，解得或（舍．综上直线过定点．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，直线系方程的应用，是难题．