2022北京房山高二（上）期末数学（教师版）

2022北京房山高二（上）期末

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一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．设，2，，，0，，则的中点的坐标为　　

A．，， B．，， C．，1， D．，2，

2．直线的倾斜角为　　

A． B． C． D．

3．如图，在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角大小等于　　

A． B． C． D．

4．若平面，平面的法向量为，1，，则平面的一个法向量可是　　

A．，0， B．，， C．，2， D．，，

5．“”是“方程表示椭圆”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不完分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．圆心为且与轴相切的圆的方程为　　

A． B． 

C． D．

7．已知为抛物线上一点，点到抛物线焦点的距离为8，到轴的距离为6，则的值为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

8．已知半径为1的动圆经过坐标原点，则圆心到直线的距离的最大值为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

9．已知，是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，为坐标原点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为　　

A． B． C． D．

10．如图，正方体中，是的中点，则　　

A．直线与直线相交，直线平面 

B．直线与直线平行，直线平面 

C．直线与直线异面，直线平面 

D．直线与直线垂直，直线平面

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

11．如图，长方体，若，2，，则的坐标为 　　．

12．已知二次函数的图象是一条抛物线，则其准线方程为 　　．

13．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为　　．

14．《九章算术》是我国古代数学名著，其中提到的“阳马”是指底面为矩形，有一侧棱垂直于底面的四棱锥．在阳马的表面三角形中，直角三角形的个数为 　　．

15．如图，正方体的棱长为1，，分别是棱，上的点，如果平面，则与长度之和为 　　．

16．心脏线，也称心形线，是一个圆上的固定一点在该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名．心脏线的平面直角坐标方程可以表示为，，则关于这条曲线的下列说法：

①曲线关于轴对称；

②当时，曲线上有4个整点（横纵坐标均为整数的点）；

③越大，曲线围成的封闭图形的面积越大；

④与圆始终有两个交点．

其中，所有正确结论的序号是 　　．

三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17．（14分）在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为、、．

（Ⅰ）设线段的中点为，求中线所在直线的方程；

（Ⅱ）求边上的高所在直线的方程．

18．（14分）已知圆与圆外切．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若直线与圆交于，两点，求弦的长．

19．（14分）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求平面与平面所成的角的余弦值．

20．（14分）如图，正方体的棱长为2，点为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求点到平面的距离；

（Ⅲ）判断的中点是否在平面上？说明理由．

21．（14分）已知椭圆上任意一点到两个焦点，，，的距离的和为4．经过点且不经过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程，并写出左、右顶点的坐标；

（Ⅱ）求证：的面积为定值．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．【分析】利用中点坐标公式直接求解．

【解答】解：，2，，，0，，

的中点的坐标为，1，．

故选：．

【点评】本题考查中点坐标的求法，考查中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．【分析】由题意先求出直线的斜率，再利用直线的斜率和倾斜角的定义，得出结论．

【解答】解：直线的斜率为，

故它的倾斜角为，

故选：．

【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角的定义，属于基础题．

3．【分析】取的中点，连接，，，证明，可得即为异面直线与成角的平面角，从而可得答案．

【解答】解：取的中点，连接，，，

因为，，，分别为，，，的中点，

所以，，所以，

故即为异面直线与所成的角，

在正方体中，由，，分别为，，的中点，

可知，即为等边三角形，

所以，

即异面直线与所成的角大小等于．

故选：．

【点评】本题考查异面直线所成的角，考查学生的分析能力，属于中档题．

4．【分析】利用平面与平面垂直，法向量的数量积为0，推出结果即可．

【解答】解：平面，平面的法向量为，1，，

则平面的一个法向量与的数量积为0，

根据选项，可知平面的一个法向量可是，0，．

故选：．

【点评】本题考查平面与平面垂直关系的应用，法向量的数量积为0，是基础题．

5．【分析】利用椭圆的性质求解的范围，然后判断充要条件即可．

【解答】解：“方程表示椭圆”，可知，解得或；

所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，

故选：．

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，充要条件的判断，是基础题．

6．【分析】由所求圆与轴相切可得，圆心到轴的距离等于半径，根据点坐标求出到轴的距离，得到圆的半径，由圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．

【解答】解：点到轴的距离为2，

所以圆的半径为2，

所以圆心为且与轴相切的圆的方程为．

故选：．

【点评】此题考查了圆的标准方程，要求学生会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．由圆与轴相切，根据点横坐标的绝对值求出到轴的距离得到圆的半径是解本题的关键．

7．【分析】根据抛物线定义即可求得答案．

【解答】解：易知点的横坐标为6，抛物线准线方程为，

由抛物线的定义可知，．

故选：．

【点评】本题考查了抛物线的定义和性质，属于基础题．

8．【分析】设的坐标，由圆的半径为1，且过原点可得点的轨迹方程，再求圆上的点到直线的距离的最大值为，进而求解即可．

【解答】解：设，因为半径为1，且经过坐标原点，

所以点的轨迹方程为；

则该圆上的点到直线的距离的最大值为，

又，所以，所以，

即，

故距离的最大值为3．

故选：．

【点评】本题考查求点的轨迹方程及直线与圆相交的综合应用，属于中档题．

9．【分析】根据为等边三角形，可得在△中，，在根据直角形和椭圆定义可得．

【解答】解：连接，由为等边三角形可知在△中，

，，，于是，

故曲线的离心率．

故选：．

【点评】本题考查了椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，属中档题．

10．【分析】可利用正方体的性质以及线面垂直，线面平行的判定及性质逐一选项判断即可．

【解答】解：对于选项，连接，，如图，

在正方体中，，

面，所以平面，

又面，，

所以直线与直线不相交，故选项错误；

对于选项，连接，，如图，

在正方体中，，

面，所以面，

又面，，

所以直线与直线不平行，故选项错误；

对于选项，连接，，，

在正方体中，，，

，所以面，又，

所以与平面不垂直，故选项错误；

对于选项，连接，，，，，

在正方体中，，，

，所以面，面，

所以，设，连接，如图，

，，，

所以四边形为平行四边形，所以，

又因为面，所以面，故选项正确，

故选：．

【点评】本题考查了空间中直线与平面平行，直线与平面垂直的判定，属于中档题．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

11．【分析】利用长方体的特征，结合已知向量，转化求解即可．

【解答】解：长方体，若，2，，可知，，

则，2，．

故答案为：，2，．

【点评】本题考查空间向量的应用，向量坐标的求法，是基础题．

12．【分析】写出抛物线的标准方程可得其准线方程．

【解答】解：将抛物线方程写为标准形式为，

由此刻判断抛物线焦点在轴正半轴，其准线方程为，

故答案为：．

【点评】本题考查了抛物线的准线方程，属于基础题．

13．【分析】由双曲线的标准方程得到其渐近线方程为：，再根据双曲线的离心率得到，得到，得到，然后求出双曲线的渐近线方程．

【解答】解：因为双曲线的方程为：，

所以双曲线的渐近线方程为：，

又因为双曲线的离心率为，即，

所以，

由可得：，

所以，

所以双曲线的渐近线方程为：．

故答案为：．

【点评】本题主要考查双曲线的简单性质和双曲线的标准方程，解决此题的关键是熟练掌握双曲线的有关性质并且能够进行正确的运算．

14．【分析】利用线面垂直的判定定理求解即可．

【解答】解：不妨设底面，如下图所示：

底面，、平面，，，

，，平面，

平面，，故、均为直角三角形，

同理可知、 均为直角三角形．

因此，在阳马表面三角形中，直角三角形的个数为4．

故答案为：4．

【点评】本题考查棱锥的结构的特征，考查学生的推理能力，属于中档题．

15．【分析】建立空间直角坐标系并设出， 的长度，然后由线面垂直得到线线垂直，进而通过空间向量垂直的坐标运算求得答案．

【解答】解：设，，

以 为坐标原点， 分别为，， 轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，1，，，1，，，0，，，0，，

则．

因为平面，所以，

则，即， 的长度和为 1．

故答案为：1．

【点评】本题主要考查空间向量及其应用，空间中距离的计算等知识，属于基础题．

16．【分析】根据曲线的方程结合图像分析其性质，再逐项验证即可得出结果．

【解答】解：根据曲线方程画出图像如图：

由图可知，曲线关于轴对称，故①错误；

当时，曲线方程可写为，令，上述方程可化为，

集合图像可得，由得整数取值为0，，；

当时，或，时，曲线方程可写为，解得，此时不为整数；

当时，，所以时，曲线上有4个整点分别为，，，，故②正确；

由图像可知曲线围成的封闭图形面积随的增大而增大，故③正确；

由圆的方程可知，圆心坐标为，半径为，且圆经过原点，

所以曲线与圆恒有两个交点，故④正确．

故答案为：②③④．

【点评】本题考查曲线与方程，由方程研究曲线的性质，判断两曲线交点的个数，属于中档题．

三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17．【分析】（Ⅰ）先求出线段的中点为的坐标，再利用两点式求出中线所在直线的方程．

（Ⅱ）先求出的斜率，可得边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求出边上的高所在直线的方程．

【解答】解：（Ⅰ）三个顶点坐标分别为，，，

线段的中点为，求中线所在直线的方程为：，

即，

（Ⅱ）由于直线的斜率为：，故边上的高所在直线的斜率为，

故边上的高所在直线的方程为，即．

【点评】本题主要考查中点公式、斜率公式、两直线垂直的性质，用点斜式、两点式求直线的方程，属于基础题．

18．【分析】（Ⅰ）由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由圆心距等于半径和列式求解值；

（Ⅱ）求出到直线的距离，再由垂径定理求弦长．

【解答】解：（Ⅰ）由圆，得，

则，半径，

由圆，得，

则，半径．

两圆外切，，即；

（Ⅱ）到直线的距离，

弦的长为．

【点评】本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是基础题．

19．【分析】由底面，可证，又，可证平面，进而可证；

，，设平面与平面所成的锐二面角为，利用可求．

【解答】证明：底面，底面，

，

四边形是矩形，，

，平面，平面，

平面，平面，

；

解：依题意，，，，，

在中，，所以为直角三解形，

，

设平面与平面所成的锐二面角为，则，

故平面与平面所成的角的余弦值为．

【点评】本题考查线线垂直的证明，以及二面角的求法，属中档题．

20．【分析】（Ⅰ）先判断出四边形是平行四边形，再由线面平行的判断定理可得答案；

（Ⅱ）以为原点，分别所在的直线为的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再由点到平面的距离的向量公式可得答案；

（Ⅲ）由是三角形△的中位线，得出，再由得出可得答案．

【解答】（Ⅰ）证明：在正方体中，，，所以四边形是平行四边形，

所以，平面，平面，

所以平面；

（Ⅱ）解：

在正方体中，以为原点，分别所在的直线为的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，所以，0，，，0，，，2，，，2，，

，，，

设平面的一个法向量为，

所以，即，令，则，，

所以，

点到平面的距离为．

（Ⅲ）解：

连接，因为是三角形△的中位线，所以，

因为，所以，所以确定平面，

因为三点在平面内，所以四点共面，

所以的中点在平面上．

【点评】本题主要考查线面平行的证明，点面距离的计算，立体几何中的探索性问题等知识，属于中等题．

21．【分析】（Ⅰ）由所给条件可得，，可得，即可得解；

（Ⅱ）首先设直线的方程为，联立椭圆方程得，再求出点，的坐标，表示出面积的表达式，再化简即可得到定值．

【解答】解：（Ⅰ）由焦点坐标可知，

因为任意一点到两个焦点，，，的距离的和为4，

所以，即，

又因为，所以，

所以椭圆的标准方程为，其左、右顶点的坐标分别为，．

（Ⅱ）证明：由题意知直线斜率一定存在，设直线方程为，，，，，

联立方程得：，

所以，所以，

由于直线与直线交于点，设，

根据、、三点共线有，

解得，即．

同样，由直线与直线交于点，设，

可得，，

所以

．

因为，

所以

．

【点评】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．