2022北京丰台高二（上）期末数学（教师版）

2022北京丰台高二（上）期末

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一．选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．直线的倾斜角是　　

A． B． C． D．

2．已知向量，1，，，2，，且，则　　

A． B． C． D．2

3．双曲线的渐近线方程是　　

A． B． C． D．

4．已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是　　

A．内含 B．相交 C．外切 D．外离

5．在长方体中，为棱的中点．若，，，则等于　　

A． B． C． D．

6．抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件 “正面向上”，则下列说法正确的是　　

A．抛掷硬币10次，事件必发生5次 

B．抛掷硬币100次，事件不可能发生50次 

C．抛掷硬币1000次，事件发生的频率一定等于0.5 

D．随着抛掷硬币次数的增多，事件发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小

7．对于随机事件，，有下列说法：

①如果，相互独立，那么（A）（B）；

②如果，对立，那么（B）（A）；

③如果，互斥，那么（A）（B）．

其中正确的个数是　　

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

8．在棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则点到平面的距离为　　

A． B． C． D．

9．已知，两点，点到点的距离为1，则面积的最大值为　　

A．1 B． C． D．2

10．已知椭圆，双曲线．设椭圆的两个焦点分别为，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，记双曲线的一条渐近线与椭圆一个交点为，若且，则的值为　　

A． B． C．2 D．

二．填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．（5分）已知，0，，，1，，则　　．

12．（5分）某社区为了解居民的受教育程度，随机抽取了1000名居民进行调查，其结果如下：

现从该社区中随机抽取一人，根据表中数据，估计此人具有研究生学历的概率为 　　．

13．（5分）已知直线与直线平行，且在轴上的截距为，则直线的方程为 　　．

14．（5分）已知点在抛物线上，则点到抛物线的焦点的距离为 　　．

15．（5分）在平面直角坐标系中，抛物线，过，的直线与抛物线交于，两点．若，则　　．

三．解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（14分）如图，在棱长为1的正方体中，点为线段的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求线段的长．

17．（13分）某学校有4名北京冬奥志愿者，其中2名志愿者（记为，只参加语言服务，2名志愿者（记为，只参加医疗服务．现采用不放回简单随机抽样的方法，从这4名志愿者中抽取2人．

（Ⅰ）写出这个试验的样本空间；

（Ⅱ）求抽取的2人中恰有一人参加语言服务的概率．

18．（14分）已知圆心坐标为的圆与轴相切．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）设直线与圆交于，两点，从条件①、条件②中选择一个作为已知，求的值．

条件①：；

条件②：．

19．（14分）已知椭圆过点，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线被椭圆截得的弦长为，求的值．

20．（15分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，点为棱的中点，，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值；

（Ⅲ）若为棱的中点，则棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．

21．（15分）已知椭圆的短半轴长为1，焦距为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的右顶点为，过点且斜率为的直线交椭圆于不同的两点，，直线，分别与直线交于点，．求的取值范围．

参考答案

一．选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．【分析】由直线方程求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解．

【解答】解：直线的斜率为1，

设其倾斜角为，

由，得．

故选：．

【点评】本题考查直线的倾斜角，考查直线斜率与倾斜角的关系，是基础题．

2．【分析】由题意向量共线，则向量坐标对应成比例，直接求解即可．

【解答】解：，则，

解得，，

故，

故选：．

【点评】本题考查向量共线，属于基础题．

3．【分析】直接利用双曲线的标准方程，求解渐近线方程即可．

【解答】解：双曲线的渐近线方程是：，

故选：．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．

4．【分析】根据已知条件，结合圆心距与半径的关系，即可求解．

【解答】解：圆的圆心为，半径为1，

圆的圆心为，半径为1，

两圆的圆心距为，

故圆与圆的位置关系是外离．

故选：．

【点评】本题主要考查两圆之间的关系，掌握圆心距与半径的关系是解题的关键，属于基础题．

5．【分析】利用空间向量运算法则进行计算．

【解答】解：由题意得：，

所以．

故选：．

【点评】本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．

6．【分析】根据已知条件，结合随机事件的概率及其性质，即可求解．

【解答】解：对于，抛掷硬币10次，事件可能发生5次，故错误，

对于，抛掷硬币100次，事件可能发生50次，故错误，

对于，抛掷硬币1000次，事件发生的频率接近0.5，故错误，

对于，随着抛掷硬币次数的增多，事件发生的频率接近0.5，

则事件发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小，故正确．

故选：．

【点评】本题主要考查随机事件的概率及其性质，属于基础题．

7．【分析】利用相互独立事件的定义判断①；利用对立事件的性质判断②；利用互斥事件的定义判断③．

【解答】解：随机事件，，

对于①，如果，相互独立，那么（A）（B），故①正确；

对于②，如果，对立，那么（B）（A），故②正确；

对于③，如果，互斥，那么（A）（B），故③正确．

故选：．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查相互独立事件、互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

8．【分析】由，利用等体积法求解．

【解答】解：设点到平面的距离为，

因为，

即，

所以，

故选：．

【点评】本题主要考查点面距离的计算，属于基础题．

9．【分析】由点，的坐标可求直线的方程，由题意可知点在以点为圆心，半径为1的圆上，所以点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加上半径1，再结合三角形面积公式即可求出面积的最大值．

【解答】解：由题意可知点在以点为圆心，半径为1的圆上，

，，

直线的斜率为，

直线的方程为，即，

圆心到直线的距离，

点到直线的距离的最大值为，

面积的最大值为，

故选：．

【点评】本题主要考查了直线的一般方程，考查了三角形面积公式，同时考查了学生的运算求解能力，是基础题．

10．【分析】由且可得，与的关系，再由椭圆的定义可得，的关系，进而求出椭圆的离心率的值，再由双曲线的渐近线的斜率可得双曲线的离心率，进而求出两个离心率之比．

【解答】解：由题意如图所示：因为且，

所以可得，，，，

所以为等边三角形，

所以，即，

由椭圆的定义可得，所以椭圆的离心率；

由双曲线的渐近线为，所以，

可得双曲线的离心率，

所以可得，

故选：．

【点评】本题考查椭圆和双曲线的离心率的求法及椭圆和双曲线的性质的应用，属于中档题．

二．填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．【分析】以向量的代数运算律解之即可．

【解答】解：由

可得

故答案为：，，．

【点评】本题考查向量的坐标表示，属于基础题．

12．【分析】直接利用古典概型问题的应用和组合数的应用求出结果．

【解答】解：根据题意：（A）．

故答案为：．

【点评】本题考查的知识要点：古典概型问题，组合数的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

13．【分析】利用斜截式方程直接求解．

【解答】解：直线与直线平行，且在轴上的截距为，

则直线的方程为．

故答案为：．

【点评】本题考查直线方程的求法，考查斜截式方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

14．【分析】利用抛物线的定义求解．

【解答】解：根据抛物线的定义可得：点到抛物线的焦点的距离为．

故答案为：3．

【点评】本题考查了抛物线的定义，属于基础题．

15．【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，可得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求得与的值，再由，利用数量积为0求解．

【解答】解：设直线的方程为，

联立，得．

设，，，，

则△，可得，

，，

．

，，

，，即，此时满足成立．

故答案为：2．

【点评】本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．

三．解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．【分析】（Ⅰ）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示可得证；

（Ⅱ）由中点坐标公式求得点的坐标，再计算对应向量的模可得答案．

【解答】（Ⅰ）证明：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，1，，

，1，，，1，，

所以，1，，，0，．

因为，

所以．

（Ⅱ）解：因为点是的中点，由（1）可知，1，，所以，1，，

从而．

【点评】本题主要考查空间中的垂直关系，空间向量及其应用等知识，属于中等题．

17．【分析】（Ⅰ）利用不放回抽样的性质有序抽取，因此即可求解；（Ⅱ）利用古典概型的概率计算公式即可求解．

【解答】解：（Ⅰ）试验的样本空间为，，，，，，，，，，，，

，，，，，，，，，，，，共12个；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知抽取的2人中恰有一人参加语言服务的共有8个，

故所求事件的概率为．

【点评】本题考查了古典概型的概率计算公式的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题．

18．【分析】（Ⅰ）设圆的半径为．由题意可得，，则圆的方程可求；

（Ⅱ）如果选择条件①，由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求解值；

如果选择条件②，同样由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求解值．

【解答】解：（Ⅰ）设圆的半径为．

又圆与轴相切于点，．

圆的圆心坐标为，．

则圆的方程为；

（Ⅱ）如果选择条件①，，，

圆心到直线的距离．

则，解得或．

如果选择条件②，

，，

圆心到直线的距离．

则，解得或．

【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆的位置关系，训练了点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力，是中档题．

19．【分析】（Ⅰ）根据给定条件可得椭圆长半轴长，由离心率求出半焦距即可计算作答．

（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，结合弦长公式计算作答．

【解答】解：（Ⅰ）依题意得，因离心率为，

则椭圆半焦距，于是得，

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）设直线与椭圆的交点为，，，，

由 消去并整理得，

解得，

依题意，

即，

整理得：，

即，

解得，即，

所以的值是．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程，弦长公式，属于基础题．

20．【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，，，由 证明即可；

易知 是平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，由求解；

根据 判断．

【解答】证明：因为底面是矩形，所以．

因为平面，所以，．

以为原点，，，所在直线分别为轴、轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，1，，

所以．

设平面的一个法向量为，

则，即

取，则，．

所以 是平面的一个法向量．

因为，且平面，

所以平面．

解：

由可知，，

又因为，所以平面．

所以 是平面的一个法向量．

设平面与平面的夹角为，

则，

所以平面与平面夹角的余弦值为．

因为为的中点，所以，所以．

又因为，所以，

所以与不垂直．

而平面，

所以棱上不存在点，使得平面．

【点评】本题考查利用向量解决空间角，考查学生的运算能力，属于难题．

21．【分析】（Ⅰ）根据条件可得，，从而计算得，可得椭圆标准方程；

（Ⅱ）设的方程为，将表示为关于的函数，根据的取值范围可得结果．

【解答】解：依题意知，解得，

所以椭圆的方程为．

由 知，

设直线的方程为，

由 得，

△，

由△得，且．

设，，，，，，

则，

设，，

依题意有，

因为，所以，

所以，

因为，且，

所以，

所以的取值范围是，．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的综合，属于难题．