2022北京海淀高二（上）期末数学（教师版）

这是一份2022北京海淀高二（上）期末数学（教师版），共12页。试卷主要包含了解答题共4小题，共40分等内容，欢迎下载使用。
2022北京海淀高二（上）期末数    学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）下列直线中，倾斜角为的是　　A． B． C． D．2．（4分）若直线与直线垂直，则的值为　　A．2 B．1 C． D．3．（4分）如图，在四面体中，，，，为的中点，为的中点，则可用向量，，表示为　　A． B． C． D．4．（4分）平面与平面平行的充分条件可以是　　A．平面内有一条直线与平面平行 B．平面内有两条直线分别与平面平行 C．平面内有无数条直线分别与平面平行 D．平面内有两条相交直线分别与平面平行5．（4分）若双曲线的一条渐近线经过点，，则双曲线的离心率为　　A． B． C． D．26．（4分）已知球的半径为2，球心到平面的距离为1，则球被平面截得的截面面积为　　A． B． C． D．7．（4分）如图，在三棱锥中，平面，，，，则点到平面的距离为　　A．1 B． C． D．8．（4分）如图，，是平面上的两点，且，图中的一系列圆是圆心分别为，的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，，，，，，是图中两组同心圆的部分公共点．若点在以，为焦点的椭圆上，则　　A．点和都在椭圆上 B．点和都在椭圆上 C．点和都在椭圆上 D．点和都在椭圆上9．（4分）设为直线上任意一点，过总能作圆的切线，则的最大值为　　A． B．1 C． D．10．（4分）某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”．他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中，之间的曲线）绕其虚轴所在直线旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图2．该小组给出了图1中的相关数据：，，，，，其中是双曲线的一个顶点．小组中甲、乙、丙、丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如表所示．学生甲乙丙丁估算结果其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是　　（参考公式：，，A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。11．（4分）圆的圆心坐标为 　　；半径为 　　．12．（4分）在棱长为1的正方体中，　　．13．（4分）已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴．从以下三个条件中任选两个条件，并根据所选条件求双曲线的标准方程．①一个焦点坐标为；②经过点，；③离心率为．你选择的两个条件是 　　，得到的双曲线的标准方程是 　　．14．（4分）椭圆的右焦点为，过原点的直线与椭圆交于两点，，则的面积的最大值为 　　．15．（4分）如图，在矩形中，，，将沿所在的直线进行翻折，得到空间四边形． 给出下面三个结论：①在翻折过程中，存在某个位置，使得；②在翻折过程中，三棱锥的体积不大于；③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线与所成角为．其中所有正确结论的序号是 　　．三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（8分）在平面直角坐标系中，圆以原点为圆心，且经过点．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）若直线与圆交于两点，，求弦长．17．（11分）如图，在直三棱柱中，，，．为侧棱的中点，连接，，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）证明：平面；（Ⅲ）求二面角的大小．18．（10分）已知抛物线经过点．（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）经过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，，且与抛物线的准线交于点．若，求直线的方程．19．（11分）已知椭圆的离心率为，一个焦点为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为原点，直线与椭圆交于不同的两点，，且与轴交于点，为线段的中点，点关于轴的对称点为证明：是等腰直角三角形．
参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．【分析】先根据直线的方程求出它的斜率，可得它的倾斜角，从而得出结论．【解答】解：由于的斜率为，故它的倾斜角为，故排除；由于的斜率为不存在，故它的倾斜角为，故排除；由于的斜率为1，故它的倾斜角为，故满足条件；由于的斜率为，故它的倾斜角为，故排除，故选：．【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，属于基础题．2．【分析】根据两直线垂直的条件列方程求出的值．【解答】解：直线与直线垂直，则，解得．故选：．【点评】本题考查了两直线垂直的应用问题，是基础题．3．【分析】利用向量的加法公式，即可解出．【解答】解：在平面中，因为为的中点，，又点为线段中点，在中，，故选：．【点评】本题考查了向量的加法公式，学生的数学运算能力，属于基础题．4．【分析】根据平面与平面平行的判定定理可判断．【解答】解：对，若平面内有一条直线与平面平行，则平面与平面可能平行或相交，故错误；对，若平面内有两条直线分别与平面平行，若这两条直线平行，则平面与平面可能平行或相交，故错误；对，若平面内有无数条直线分别与平面平行，若这无数条直线互相平行，则平面与平面可能平行或相交，故错误；对，若平面内有两条相交直线分别与平面平行，则根据平面与平面平行的判定定理可得平面与平面平行，故正确．故选：．【点评】本题主要考查线面关系、面面关系有关命题的判定，属于基础题．5．【分析】求出渐近线方程，代入点的坐标，推出，关系，然后求解离心率即可．【解答】解：因为双曲线的一条渐近线经过点，，所以渐近线经过点，，所以，从而．故选：．【点评】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力．是基础题．6．【分析】先求截面圆的半径，然后求出截面面积．【解答】解：球的半径为2，球心到平面的距离为1，截面圆的半径是，截面面积为：．故选：．【点评】本题考查球的性质、球的体积、点到平面的距离，属于基础题．7．【分析】利用等体积法转化求解点到平面的距离即可．【解答】解：在三棱锥中，平面，，，，可得，，，设点到平面的距离为，可得，可得，解得．故选：．【点评】本题考查空间点、线、面距离的求法，等体积法的应用，是中档题．8．【分析】根据椭圆的定义判断即可求求解．【解答】解：因为点在以，为焦点的椭圆上，所以，所以椭圆中，因为，，，，所以，在椭圆上．故选：．【点评】本题考查椭圆的定义，属基础题．9．【分析】利用圆的圆心到直线的距离大于等于半径，求解的最大值即可．【解答】解：为直线上任意一点，过总能作圆的切线，可得，即，解得，，所以的最大值为：．故选：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．10．【分析】以为分界线，把花瓶看作近似两个圆台的组合体，设上半部分圆台体积为，下半部分圆台体积为，再结合圆台的面积公式，即可求解．【解答】解：以为分界线，把花瓶看作近似两个圆台的组合体，设上半部分圆台体积为，下半部分圆台体积为，以为半径的圆面面积为，以为半径的圆面面积为，以为半径的圆面面积为，所以，，故，故最接近的是丙同学的估算，故选：．【点评】本题考查有关柱体、锥体体积的有关计算，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。11．【分析】直接利用转换关系，把圆的一般式转换为标准式，进一步求出圆心和半径．【解答】解：圆转换为标准式，故圆心坐标为，半径为1．故答案为：；1．【点评】本题考查的知识要点：圆的方程的一般式和标准式之间的转换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12．【分析】直接把向量转化再结合数量积即可求解结论．【解答】解：在棱长为1的正方体中，，，如图：故，故答案为：1．【点评】本题主要考查空间向量的数量积计算，属于基础题．13．【分析】选①②，根据焦点坐标及顶点坐标直接求解，选①③，根据焦点坐标及离心率求出， 即可得解，选②③，可由顶点坐标及 离心率得出，，即可求解．【解答】解：选①②，由题意则，，双曲线的标准方程为，选①③，由题意，，，，双曲线的标准方程为；选②③，由题意知，，，双曲线的标准方程为．故答案为：①②，或①③，或②③，．【点评】本题考查了双曲线方程及简单几何性质，属于基础题．14．【分析】先求出的坐标以及椭圆的短轴端点的坐标，然后分直线的斜率不存在与存在讨论，利用三角形的面积公式以及求解方程解的方法求出三角形的面积，由此即可求解．【解答】解：由已知可得，所以，则，且，当过原点的直线的斜率不存在时，此时直线方程为，则，两点为短轴端点，所以，，则，所以三角形的面积为，当直线的斜率存在时，设直线方程为，代入椭圆方程可得：，所以，则，所以点，，，，所以三角形的面积为，综上，三角形的面积的最大值为4，故答案为：4．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到求解三角形面积的最值问题，考查了学生的逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．15．【分析】在矩形中，过，点作的垂线，垂足分别为，，对于①，连接，假设存在某个位置，使得，则可得，进而得到矛盾，可判断；对于②，在翻折过程中，当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值，再根据几何关系计算即可；对于③，由题可知，，设平面与平面所成的二面角为，进而得到，，进而得到异面直线与所成角的余弦值范围，即可判断．【解答】解：如图1，在矩形中，过，点作的垂线，垂足分别为，，则在翻折过程中，形成图2的几何体，故对于①，连接，假设存在某个位置，使得，由图，，所以平面，则，这与图1中的与不垂直矛盾，故①错误；对于②，在翻折过程中，当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值，此时，体积为，故三棱锥的体积不大于，故②正确；对于③，，，由②得讨论可得，，所以，则，，，设平面与平面所成的二面角为，所以，，故，要使直线与为异面直线，所以，所以，，则，，，由于，，所以在翻折过程在，存在某个位置，使得异面直线与所成角为．故答案为：②③．【点评】本题考查锥体体积的有关计算，线面垂直的证明，异面直线夹角的向量求法，属于中档题．三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．【分析】（Ⅰ）根据两点距离公式即可求半径，进而得圆方程；（Ⅱ）根据直线与圆的弦长公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由，所以圆的方程为．（Ⅱ）由点到直线的距离为，所以弦长．【点评】本题主要考查圆的方程的求解，圆的弦长的计算等知识，属于基础题．17．【分析】（Ⅰ）只要证明平行于平面平面内直线即可；（Ⅱ）只要证明，即可；（Ⅲ）用向量数量积计算二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：因为，平面；平面，所以平面．（Ⅱ）证明：因为，是直三棱柱，所以平面，所以、、两两垂直，建系如图，，0，，，1，，，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，，1，，因为，，所以平面．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，1，是平面的法向量，，1，，，1，，令，1，，因为，，所以是平面的法向量，因为二面角是锐角，设其大小为，，所以．【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．18．【分析】（1）将点代入抛物线求出即可得出抛物线方程和准线方程；（2）设出直线方程，与抛物线联立，表示出弦长和即可求出．【解答】解：（1）将代入可得，解得，所以抛物线的方程为，准线方程为；（2）由题得，设直线方程为，设，，，，联立方程，可得，则，所以，因为直线与准线交于点，则，则，因为，所以，解得，所以直线的方程为或．【点评】本题考查了求抛物线方程及直线和抛物线相交的问题，第（2）中为避免讨论直线的斜率是否存在就将直线方程设为，属于基础题．19．【分析】（Ⅰ）根据条件求得，，即可求得椭圆的方程；（Ⅱ）设点，，，，，，，进而联立，结合题意可得或，进而结合韦达定理可得，设的中点，，证明，进而得到，，故，综合即可得到证明．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率，又焦点可得，所以可得，，所以椭圆的方程为：；证明：（Ⅱ）设点，则点，，联立，可得，所以△，解得，因为，故或，设，，，，，，则，设向量，，，，所以，，，所以，即，设的中点，，则，，所以，又因为，所以，则，因为点关于轴的对称点为，所以，故，则是等腰直角三角形．【点评】本题考查直线与椭圆的综合，考查椭圆标准方程的求解，韦达定理的应用，根据直线与椭圆的位置关系求参数范围，属于中档题．