2022北京平谷高二（上）期末数学（教师版）

2022北京平谷高二（上）期末

数    学

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．直线的倾斜角为　　

A． B． C． D．

2．下列直线中，与直线垂直的是　　

A． B． C． D．

3．圆和圆的位置关系是　　

A．内含 B．内切 C．相交 D．外离

4．甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为　　

A．0.72 B．0.26 C．0.7 D．0.98

5．在平面直角坐标系中，抛物线上点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为　　)

A．2 B．8 C．1 D．4

6．甲乙两名运动员在某项体能测试中的6次成绩统计如表：

，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有　　

A．， B．， 

C．， D．，

7．已知实数，满足，则的最小值是　　

A． B．2 C．7 D．

8．已知三棱锥，点，分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于　　

A． B． C． D．

9．一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取2次，则在两次取得小球中，标号最大值是3的概率为　　

A． B． C． D．

10．已知点是椭圆方程上的动点，，是直线上的两个动点，且满足，则　　

A．存在实数使为等腰直角三角形的点仅有一个 

B．存在实数使为等腰直角三角形的点仅有两个 

C．存在实数使为等腰直角三角形的点仅有三个 

D．存在实数使为等腰直角三角形的点有无数个

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．

11．点到直线的距离为 　　．

12．抛物线上的点到其焦点的最短距离为　　．

13．若直线与直线平行，则　　．

14．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按，，，，，，，分组，绘制成如图所示频率分布直方图．则　　；这300辆汽车中车速低于限速的汽车有 　　辆．

15．若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 　　；若，则双曲线的右焦点到渐近线的距离为 　　．

16．某中学拟从4月16号至30号期间，选择连续两天举行春季运动会，从已往的气象记录中随机抽取一个年份，记录天气结果如下：

估计运动会期间不下雨的概率为 　　．

17．已知曲线的方程是，给出下列四个结论：

①曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线有4条对称轴；

③曲线上任意一点到原点的距离都不小于1；

④曲线所围成图形的面积大于4；

其中，所有正确结论的序号是 　　．

三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

18．（13分）如图，在直三棱柱中，，，是中点．

（Ⅰ）求点到平面的的距离；

（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值；

19．（13分）立德中学举行冬令营活动期间，对20位参加活动的学生进行了文化和体能测试，满分为150分，其测试成绩都在90分和150分之间，成绩在，认定为“一般”，成绩在，认定为“良好”，成绩在，认定为“优秀”．成绩统计人数如下表：

例如，表中体能成绩良好且文化成绩一般的学生有2人．

（Ⅰ）若从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到文化或体能优秀的学生概率为．求，的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的情况下，从体能成绩优秀的学生中，随机抽取2人，求至少有一个人文化的成绩为优秀的概率；

（Ⅲ）若让使参加体能测试的成绩方差最小，写出的值．（直接写出答案）

20．（12分）已知椭圆的离心率为，并且经过点，

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点关于坐标原点的对称点为，点，为椭圆上任意一点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值．

21．（13分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，，，，并整理得到如图所示频率分布直方图：

（Ⅰ）已知样本中分数在，的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；

（Ⅱ）试估计测评成绩的分位数；

（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，试估计总体中男生和女生人数的比例．

22．（14分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．【分析】根据直线方程求出直线的斜率，再求出直线的倾斜角．

【解答】解：直线可化为，

所以直线的斜率为，倾斜角为．

故选：．

【点评】本题直线的方程和倾斜角的求法，是基础题．

2．【分析】首先求出直线的斜率，然后根据两直线垂直斜率之积为，得出选项．

【解答】解：直线的斜率，

两直线垂直时斜率之积为，

另一条直线的斜率为

、、、的斜率分别是3，，，

故选：．

【点评】本题考查了两直线垂直的条件，只要牢记垂直条件就可以正确得出答案，是送分的题目，比较简单．

3．【分析】确定两圆的圆心和半径，求出圆心距，判断其与两圆半径的关系，即可得到答案．

【解答】解：圆的圆心为，半径为1，

圆即，圆心为，半径为2，

所以两圆圆心距为，

则两圆外交．

故选：．

【点评】本题考查了圆与圆位置关系的判断，圆的一般方程与标准方程的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．

4．【分析】设事件表示“甲雷达发现飞行目标”，事件表示“乙雷达发现飞行目标”，飞行目标被雷达发现的概率为（A）（B），由此能求出结果．

【解答】解：设事件表示“甲雷达发现飞行目标”，事件表示“乙雷达发现飞行目标”，

甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，

（A），（B），

飞行目标被雷达发现的概率为：

（A）（B）．

故选：．

【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

5．【分析】依题意知抛物线的准线方程为：，利用抛物线的定义知，从而可得的值，为焦点到准线的距离．

【解答】解：抛物线的准线方程为：，

由抛物线的定义得：，

解得：．

即焦点到准线的距离为4，

故选：．

【点评】本题考查抛物线的简单性质，着重考查抛物线定义的理解与应用，考查等价转化思想与运算能力，属于中档题．

6．【分析】利用平均数、标准差的性质进行求解．

【解答】解：，

，

，

甲的数据相对集中，，

故选：．

【点评】本题考查平均数、标准差的求法，考查平均数、标准差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

7．【分析】变形可得，进而，计算可求的最小值．

【解答】解：由，得，

，，，

故的最小值是．

故选：．

【点评】本题考查点的纵坐标的取值范围，属基础题．

8．【分析】根据所给的图形，在图形中看出要求的向量可以怎么得到，用减法把向量先变化成已知向量的差的形式，再利用向量的加法法则，得到结果．

【解答】解：由题意知

故选：．

【点评】本题考查空间向量的加减法，本题解题的关键是在已知图形中尽量的应用几何体的已知棱表示要求的结果，本题是一个基础题．

9．【分析】求出基本事件总数，再得到取得小球标号最大值是3的对立事件是没有取到3号球，并求出没有取到3号球包含的基本事件个数，求解即可．

【解答】解：基本事件总数，

取得小球标号最大值是3的对立事件是没有取到3号球，

没有取到3号球包含的基本事件个数，

取得小球标号最大值是3的概率为．

故选：．

【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，是基础题．

10．【分析】设与直线平行的直线方程为：，根据对称性不妨取．假设此两条直线的距离，可得，把直线方程，代入椭圆方程可得：，由△，解出即可判断出结论．

【解答】解：设与直线平行的直线方程为：，根据对称性不妨取．

假设此两条直线的距离，可得，

联立，化为：，

由△，

解得：，

因此当时，可知：椭圆上一定存在两个或四个点满足：使得为正三角形．

故只有②正确．

故选：．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互平行的直线斜率之间的关系及其距离、不等式的解法、一元二次方程的解与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．

11．【分析】利用点到直线的距离公式直接求解．

【解答】解：点到直线的距离．

故答案为：．

【点评】本题考查点到直线的距离的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

12．【分析】根据抛物线的定义与性质，结合图象求出抛物线上的点到其焦点的最短距离．

【解答】解：设抛物线上的点为，；

则点到其焦点的距离，等于到其准线的距离，

，

最短距离为1．

故答案为：1．

【点评】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，是基础题．

13．【分析】直接利用直线平行的充要条件的应用求出结果．

【解答】解：由于直线与直线平行，

所以，

解得，

当时，两直线重合；

故．

故答案为：1．

【点评】本题考查的知识要点：直线的平行的充要条件的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

14．【分析】由频率分布直方图列方程，能求出的值；先求出车速低于限速的频率，由此能求出这300辆汽车中车速低于限速的汽车的数量．

【解答】解：由频率分布直方图得：

，

解得．

车速低于限速的频率为，

这300辆汽车中车速低于限速的汽车有辆．

故答案为：0.025；180．

【点评】本题考查频率、频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

15．【分析】由双曲线的方程可得渐近线的方程，再由椭圆可得，的关系，由，，之间的关系进而求出离心率，然后求解右焦点坐标，结合点到直线的距离求解即可．

【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线为：，

所以由题意可得：，

所以离心率，

，则，右焦点坐标，，

双曲线的右焦点到渐近线的距离为：．

故答案为：；3．

【点评】考查双曲线的性质，渐近线方程的应用，离心率的求法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．

16．【分析】先求出选择连续两天举行春季运动会的种数，再求出运动会期间不下雨的种数，结合概率公式求解即可．

【解答】解：由图可知：某中学选择连续两天举行春季运动会，则共有晴阴，阴雨，雨阴，阴阴，阴晴，晴阴，阴晴，晴雨，雨雨，雨阴，阴晴，晴晴，晴晴，晴雨共14种结果，

则运动会期间不下雨有晴阴，阴阴，阴晴，晴阴，阴晴，阴晴，晴晴，晴晴8种结果，

则运动会期间不下雨的概率为，

故答案为：．

【点评】本题考查了古典概型模型，重点考查了概率的运算，属基础题．

17．【分析】根据曲线方程作出曲线，即可根据题意判断各结论的真假．

【解答】解：曲线的简图如下：

根据图象以及方程可知，曲线恰好经过9个整点，它们是，，，，，，，，，所以①不正确；

由图可知，曲线有4条对称轴，它们分别是轴，轴，直线 和，②正确；

由图可知，曲线上任意一点到原点的距离都不小于1，因为曲线包含故③不正确；

由图可知，曲线所围成图形的面积等于，④正确．

故答案为：②④．

【点评】本题考查了曲线与方程，作出曲线所对应的图象是解题关键．

三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

18．【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由此能求出点到平面的距离．

因为平面，取平面的法向量为，2，，利用向量法能求出平面与平面所成夹角的余弦值．

【解答】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，

建立空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，1，，，2，，

，0，，，1，，，2，，

设平面的法向量为，，，

则，

取，得，，，

点到平面的距离．

点到平面的距离为．

（Ⅱ）解由可得：，0，，，0，，

所以，0，

由平面的一个法向量为，，，

因为平面，取平面的法向量为，2，，

所以，，

平面与平面所成夹角的余弦值为．

【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

19．【分析】（Ⅰ）由题设可得到，求参数，结合表格数据及已知学生人数求参数；

（Ⅱ）利用古典概型、列举法能求出至少有一个人文化的成绩为优秀的概率；

（Ⅲ）应用表格数据及方差公式求出，且，即可确定成绩方差最小对应的值．

【解答】解：（Ⅰ）设事件：从20位学生中随机抽取1位，抽到文化或体能优秀的学生，

由题意知体能或文化优秀的学生共有人，则（A），

解得，

．

（Ⅱ）体能优秀的学生共有5人，在这5人中，文化成绩一般的人记为，文化良好的人记为，文化成绩优秀的人记为，，，

从体能成绩优秀的学生中，随机抽取2人，基本事件总数，分别为：

，，，，，，，，，，

至少有一个人文化的成绩为优秀包含的基本事件个数，分别为：

，，，，，，，，，

至少有一个人文化的成绩为优秀的概率．

（Ⅲ）由题设知体能测试成绩一般、良好、优秀的人数为5，，，对应平均数为100，120，140，

体能测试平均成绩，

，

，当时，最小．

【点评】本题考查频数、概率、方差的求法，考查古典概型、频数分布表、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

20．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的几何性质和椭圆方程，求得和的值，即可；

（Ⅱ）易知，用，表示出，，再结合椭圆的方程，即可得证．

【解答】（Ⅰ）解：由题意知，，解得，，

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）证明：由题意知，，

所以，，

所以，为定值．

【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

21．【分析】（Ⅰ）样本中分数在，的学生有5人，得到，的频率为0.05，由频率分布直方图得，的频率为0.1，由此能估计总体中分数小于40的人数．

（Ⅱ）先求出，的频率和，的频率，利用频率分布直方图能估计测评成绩的分位数．

（Ⅲ）根据样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，分别求出男生、女生的人数，由此能估计总体中男生和女生人数的比例．

【解答】解：（Ⅰ）样本中分数在，的学生有5人，

由频率分布直方图得，的频率为，

估计总体中分数小于40的人数为：

人．

（Ⅱ），的频率为，

，的频率为，

估计测评成绩的分位数为：．

（Ⅲ）样本中分数不小于70的频率为0.6，样本中分数不小于70的男女生人数相等，

分数不小于70的男生的频率为0.3，

样本中有一半男生的分数不小于70，

男生的频率为0.6，则男生的人数为，

女生的频率为0.4，则女生的人数为，

估计总体中男生和女生人数的比例为．

【点评】本题考查频数、分位数、男女生比例的求法，考查频率分布直方图的性质、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

22．【分析】（Ⅰ）利用两面垂直的性质定理易证；

（Ⅱ）取的三等分点，，把平移至，作于，得即为所求；

（Ⅲ）连接，易证平面，连交于即可．

【解答】解：（Ⅰ）证明：四边形为正方形，

，

又平面平面，

平面，

；

（Ⅱ）

取的三等分点，如图，

连接，可由，，得，

且，

四边形为平行四边形，

，

，

平面，

平面平面，

作于，

则平面，

连接，

则为与平面所成的角，

在中，求得，

又，

，

故直线与平面所成角的正弦值为：；

（Ⅲ）连接，

易证四边形为平行四边形，

，

平面，

连接交于，

则平面，

此时，

．

【点评】此题考查了线面垂直，面面垂直，线面所成角，线面平行等，难度适中．