2022北京师大附中高二（上）期末数学（教师版）

2022北京师大附中高二（上）期末

数    学

考生须知：

1．本试卷有三道大题，共4页．考试时长120分钟，满分150分．

2．考生务必将答案填写在答题纸（共8页）上，在试卷上作答无效．

3．考试结束后，考生应将答题纸交回．

━、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 复数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，则（    ）

A. 16 B. 8 C. 4 D. 2

3. 在正方形中，（    ）

A  B.  C.  D.

4. 已知等差数列，且，则（    ）

A. 4 B. 6 C. 8 D. 12

5. 已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，且，则P的横坐标为（    ）

A. 1 B. 2 C. 4 D. 6

6. 已知等比数列的公比为q．若为递增数列且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知数列为等比数列，则“为常数列”是“成等差数列”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 如图，在长方体中，，点M在平面上，则线段长度的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 1765年，数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”．已知的顶点，则的欧拉线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 已知椭圆的左、右焦点分别是，若椭圆C的离心率，则称椭圆C为“黄金椭圆”．O为坐标原点，P为椭圆C上一点，A和B分别为椭圆C的上顶点和右顶点，则下列说法错误的是（    ）

A. a，b，c成等比数列 B.

C.  D. 若轴，则

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 已知复数，则__________．

12. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程可以为__________．（写出一个正确答案即可）；你所写的标准方程对应的双曲线的离心率为____________．

13. 已知直线与圆，则直线l与圆C的交点的个数为______．

14. 已知点及抛物线，若抛物线上点P满足，则m的最大值为_____________．

15. 已知数列满足，设，则下列结论正确的是__________．

①；②；③；

④若等差数列满足，其前n项和为，则，使得

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

16. 已知公差不为0的等差数列满足：且成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）记为数列前n项和，求证是等差数列．

17. 已知等差数列的前n项和为，从①；②这两个条件中任选一个作为题目的已知条件．

（1）求数列的通项公式；

（2）若等比数列满足，且公比为q，，求数列的前n项和．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18. 已知椭圆，过其右焦点直线与椭圆交于、两点．

（1）当直线与轴垂直时，求；

（2）若弦中点的横坐标为，求直线的方程；

（3）当直线与轴不垂直时，设的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．

19. 如图，在四棱锥中，平面，，点E为的中点．

（1）求证： 平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）若线段与平面交于点M，求值．

20. 已知椭圆过点，且有两个顶点所在直线的斜率为，过椭圆左顶点A的直线l与椭圆C交于点M，与y轴交于点N．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若的面积为，求直线l的方程；

（3）设过原点O且与直线l平行的直线交椭圆于点P，求证为定值．

21. 如果无穷项的数列满足“对任意正整数，都存在正整数k，使得，”则称数列具有“性质P”．

（1）若数列是等差数列，首项，公差，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由；

（2）若等差数列具有“性质P”，首项，d为公差．求证：且；

参考答案

━、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 复数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的乘法求出，即可求出.

【详解】因为，

所以，

故选：A

2. 双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，则（    ）

A. 16 B. 8 C. 4 D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】结合题意以及双曲线的定义即可求解.

【详解】解：由题意得，，，故，

故选:D.

3. 在正方形中，（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据平面向量加减运算法则计算可得.

【详解】解：.

故选：C.

4. 已知等差数列，且，则（    ）

A. 4 B. 6 C. 8 D. 12

【答案】B

【解析】

【分析】根据等差中项的性质计算可得；

【详解】解：在等差数列中，所以，解得；

故选：B

5. 已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，且，则P的横坐标为（    ）

A. 1 B. 2 C. 4 D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知，则到准线的距离也为4，即，将的值代入，进而求出．

详解】解：抛物线，

，

由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，

，

，

故选：B.

6. 已知等比数列的公比为q．若为递增数列且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题设等比数列的性质，结合等比数列通项公式确定公比的范围即可.

【详解】由题意，，又，

∴要使递增数列，则，

当时，为递增数列，符合题设；

当时，为递减数列，符合题设；

故选：C.

7. 已知数列为等比数列，则“为常数列”是“成等差数列”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】先考虑充分性，再考虑必要性即得解.

【详解】解：如果为常数列，则成等差数列，所以“为常数列”是“成等差数列”的充分条件；

等差数列，所以，所以数列为，

所以数列是常数列，所以“为常数列”是“成等差数列”的必要条件.

所以“为常数列”是“成等差数列”的充要条件.

故选：C

8. 如图，在长方体中，，点M在平面上，则线段长度的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意问题转化为求点B到平面ACD1的距离，利用等体积法计算即可.

【详解】由题意问题转化为求点B到平面ACD1的距离，

因为

所以，，

所以边上的高，

故三角形ACD1的面积为，

又三棱锥的体积，

所以，

故选: D

9. 1765年，数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”．已知的顶点，则的欧拉线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由，可得的外心、重心、垂心都位于线段的垂直平分线上，求出线段的垂直平分线，即可求出的欧拉线方程．

【详解】解：因为，所以，，即，所以为等腰三角形，所以的外心、重心、垂心都位于线段的垂直平分线上，因为的中点的坐标为，线段所在直线的斜率，

线段垂直平分线的方程为，即，

的欧拉线方程为．

故选：A．

10. 已知椭圆的左、右焦点分别是，若椭圆C的离心率，则称椭圆C为“黄金椭圆”．O为坐标原点，P为椭圆C上一点，A和B分别为椭圆C的上顶点和右顶点，则下列说法错误的是（    ）

A. a，b，c成等比数列 B.

C.  D. 若轴，则

【答案】D

【解析】

【分析】对于A,根据离心率公式，验证即可;

对于B, 根据勾股定理以及离心率公式判断B是否正确；

对于C,根据A的结论，即可验证;

对于D, 根据结合斜率公式以及离心率公式判断D是否正确；

【详解】对于A,,,故a,b,c成等比数列,故A正确;

对于B, 因为，所以即，，

所以，故，故B正确；

对于C,要证，只需证，只需证，即，

只需证，由A得，显然成立，故C正确;

对于D，轴，且，所以，，

所以，解得，所以，故D不正确．

故选：D．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 已知复数，则__________．

【答案】
 

【解析】

【分析】根据复数的除法运算可得，结合复数的几何意义即可求出模.

【详解】由，得，

所以，

故答案为：

12. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程可以为__________．（写出一个正确答案即可）；你所写的标准方程对应的双曲线的离心率为____________．

【答案】    ①. （答案不唯一）    ②.

【解析】

【分析】根据渐近线方程直接可得双曲线的一个方程，然后根据方程求出，从而可求出离心率

【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，

所以该双曲线的标准方程可以为（答案不唯一）

则，所以，

所以，

所以，

故答案为：（答案不唯一），

13. 已知直线与圆，则直线l与圆C的交点的个数为______．

【答案】

【解析】

【分析】首先求出直线过定点，再判断点在圆内，即可得到直线与圆的交点个数；

【详解】解：因为直线，所以直线过定点，

圆，即圆，

则，即点在圆内，

所以直线与圆相交，即直线与圆有2个交点；

故答案为：.

14. 已知点及抛物线，若抛物线上点P满足，则m的最大值为_____________．

【答案】

【解析】

【分析】化简，通过距离公式可得，利用基本不等式求最值即可求解．

【详解】设，

由题意可得，

，当且仅当时，即时等号成立，

m最大值为

故答案为：

15. 已知数列满足，设，则下列结论正确的是__________．

①；②；③；

④若等差数列满足，其前n项和为，则，使得

【答案】①③④

【解析】

【分析】通过题目给的首项与通项公式，可以算出前几项，发现该数列是一个从第四项开始的周期数列，然后可以通过计算验证选项①、③，根据数列的实际取值，可以判断选项②，通过比较和的增长幅度，可以判断选项④.

【详解】，，

，，，，，，，

此数列是从第四项开始的的周期数列，且满足，，故①正确；

选项②，在数列中，，，，，，是不存在，故②错误；

选项③，，故③正确；

选项④，等差数列，，，，其，

数列是从第四项开始的的周期数列，而，呈指数被的增长，无穷大，而是一个二次函数的增长形式，增长幅度相对于指数而言有限，故，使得，所以选项④正确.

故答案为：①③④

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

16. 已知公差不为0的等差数列满足：且成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）记为数列的前n项和，求证是等差数列．

【答案】（1）；    （2）证明见解析.

【解析】

【分析】(1)根据等比中项的应用可得，结合等差数列的定义和求出公差，进而得出通项公式；

(2)根据等差数列前n项求和公式可得，结合等差数列的定义即可证明.

【小问1详解】

设等差数列的公差为()，由成等比数列，

得，又，所以，

解得，所以；

【小问2详解】

由(1)可得，所以，

有，故，

又，所以数列是以2为首项，以2为公差的等差数列.

17. 已知等差数列的前n项和为，从①；②这两个条件中任选一个作为题目的已知条件．

（1）求数列的通项公式；

（2）若等比数列满足，且公比为q，，求数列的前n项和．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用等差数列前n项和、通项公式求基本量，即可得的通项公式；

（2）由等比数列定义写出通项，应用分组求和及等差、等比前n项和公式求.

【小问1详解】

选①：，又，则，故；

选②：由知：为公差为1的等差数列，又，

∴，在，故；

【小问2详解】

由（1）知：，则，又等比数列公比为，

∴，则.

∴，则.

18. 已知椭圆，过其右焦点的直线与椭圆交于、两点．

（1）当直线与轴垂直时，求；

（2）若弦中点的横坐标为，求直线的方程；

（3）当直线与轴不垂直时，设的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）或；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）将代入椭圆的方程，求出的值，即可求得的值；

（2）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，由可求得的值，即可得出直线的方程；

（3）分两种情况讨论：①直线与轴垂直时，可求得的值；②当直线的斜率存在且不为零，求出直线的方程，求出关于的表达式，即可求得的取值范围，综合可得结果.

【小问1详解】

解：在椭圆中，，，则，则，

当直线与轴垂直时，直线的方程为，

将代入椭圆的方程可得，故.

【小问2详解】

解：当直线与轴垂直时，线段的中点在轴上，线段的中点的横坐标为，不合乎题意.

所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，

联立，消去可得，

由已知可得，解得，

因此，直线的方程为或.

【小问3详解】

解：若直线与轴垂直时，线段的垂直平分线为轴，此时；

当直线的斜率存在且不为零时，由（1）可得，

设线段的中点为，则，则，

即点，

所以，直线的方程为，即，

由已知可得，可得.

综上所述，.

19. 如图，在四棱锥中，平面，，点E为的中点．

（1）求证： 平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）若线段与平面交于点M，求的值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）为中点，连接、，由中位线、平行四边形的性质可得，再由线面平行的判定即可证结论；

（2）构建空间直角坐标系，求出面、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值；

（3）由（1）连接，它们的交点即为，由平行四边形的性质即可求的值.

【小问1详解】

若为中点，连接、，又E为中点，

∴且，而，，

∴，，

∴为平行四边形，则，又面，面，

∴平面.

【小问2详解】

由题设，构建如下图示的空间直角坐标系，则，，，，

∴，，

若是面的一个法向量，则，令，则，

又是面的一个法向量，

∴，故二面角的余弦值为.

【小问3详解】

由（1），连接，它们的交点即为，

又∵为平行四边形，则，

∴.

20. 已知椭圆过点，且有两个顶点所在直线的斜率为，过椭圆左顶点A的直线l与椭圆C交于点M，与y轴交于点N．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若的面积为，求直线l的方程；

（3）设过原点O且与直线l平行的直线交椭圆于点P，求证为定值．

【答案】（1）   

（2）   

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）现根据椭圆过点，求得b，再根据椭圆有两个顶点所在直线斜率为可判断出，进而求得答案；

（2）设直线方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示出M坐标，进而表示出 ,然后表示出点到直线的距离，利用三角形的面积可求得答案.

（3）由（2）已经表示出，再表示出 ,设直线OP的方程和椭圆方程联立，表示出P点坐标，可得，将三者的表达式代入中整理化简可得结论.

【小问1详解】

因为椭圆过点，所以 ，

又椭圆有两个顶点所在直线的斜率为，则 ，

所以 ，

故椭圆方程为 .

【小问2详解】

由题意过椭圆左顶点A的直线l与椭圆C交于点M， ，

可知直线的斜率存在，不妨设为k，则直线l的方程为 ，

由 得 ，

设 ，则 是方程的两个根，

所以 ，故 ，

所以 ，

点到直线的距离 ，

因为的面积为，

所以 ，即 ，

解得 ，

所以直线l的方程为 ，即 .

【小问3详解】

由(2)可知直线l的方程为， ，

，所以 ，

设直线OP的方程为 ，

由 得： ，

设 ，则 ，则 ，

所以 ，

故 ，

因此为定值.

21. 如果无穷项的数列满足“对任意正整数，都存在正整数k，使得，”则称数列具有“性质P”．

（1）若数列是等差数列，首项，公差，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由；

（2）若等差数列具有“性质P”，为首项，d为公差．求证：且；

【答案】（1）数列不具有性质．   

（2），成立．

【解析】

【分析】（1）因为当数列具有“性质”时，列举出前两项，需要满足，（不是正整数），所以不符合条件．

（2）利用反正法，分且，且，且三种情况，证明这三种情况下数列均不具有“性质”，从而证明当数列具有“性质”时，需要满足且．

【小问1详解】

解：若，公差，则数列不具有性质．

理由如下：

由题知，

对于和，假设存在正整数，

使得，

则有，

解得，

得出矛盾，

所以对任意的，．

【小问2详解】

证明：若数列具有“性质”，

则：①假设，，

则对任意的，．

设，则，矛盾！

②假设，，则存在正整数，

使得

设，，，，，，，2，，，

则：，

但数列中仅有项小于等于0，矛盾！

③假设，，

则存在正整数，使得

设，，，，，，，2，，，

则：，

但数列中仅有项大于等于0，矛盾！

综上，，．