2023北京顺义高二（上）期末数学（教师版）

这是一份2023北京顺义高二（上）期末数学（教师版），共16页。

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 下列直线中，斜率为1的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为（ ）
A. 0.56B. 0.14C. 0.24D. 0.94
3. 若直线与直线的交点为，则实数a的值为（ ）
A -1B. C. 1D. 2
4. 已知圆C：，则圆C的圆心和半径为（ ）
A. 圆心，半径B. 圆心，半径
C. 圆心，半径D. 圆心，半径
5. 农科院专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种麦苗的两块试验田中各抽取6株麦苗测量株高，得到的数据如下（单位：）：
甲：9，10，10，11，12，20；
乙：8，10，12，13，14，21．
根据上述数据，下面四个结论中，正确的结论是（ ）
A. 甲种麦苗样本株高的极差大于乙种麦苗样本株高的极差
B. 甲种麦苗样本株高的平均值大于乙种麦苗样本株高的平均值
C. 甲种麦苗样本株高的中位数大于乙种麦苗样本株高的中位数
D. 甲种麦苗样本株高的方差小于乙种麦苗样本株高的方差
6. 抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数．设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则事件的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 若双曲线（，）的一条渐近线为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
8. 空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为
A. B. C. D.
9. 已知椭圆C的焦点为，．过点的直线与C交于A，B两点．若的周长为12，则椭圆C的标准方程为（ ）
A B. C. D.
10. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若∥平面，下列说法正确的是（ ）
A. 线段长度最大值为，无最小值
B. 线段长度最小值为，无最大值
C. 线段长度最大值为，最小值为
D. 线段长度无最大值，无最小值
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上．
11. 某校高中三个年级共有学生2400人，其中高一年级有学生800人，高二年级有学生700人．为了了解学生参加整本书阅读活动情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为240的样本进行调查，那么在高三年级的学生中应抽取的人数为_____________．
12. 若圆和圆外切，则______.
13. 如图，在四面体中，，，，D为的中点，E为的中点，若，其中x，y，，则___________，___________，___________．
14. 已知点M在抛物线上，F是抛物线的焦点，直线交x轴于点N，若M为线段的中点，则焦点F坐标是___________，___________．
15. 现代几何学用曲率概念描述几何体的弯曲程度．约定：多面体在每个顶点处的曲率等于减去该点处所有面角之和（多面体每个侧面的内角叫做多面体的面角），一个多面体的总曲率等于该多面体各顶点处的曲率之和．例如：正方体在每个顶点处有3个面角，每个面角的大小是，所以正方体在各顶点处的曲率为．按照以上约定，四棱锥的总曲率为__________；若正十二面体（图1）和正二十面体（图2）的总曲率分别为和，则__________0（填“>”，“<”或者“=”）．
三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图．
（1）求频数分布表中c的值及频率分布直方图中a，b的值；
（2）从一周阅读时间不低于14小时的学生中抽出2人做访谈，求2人恰好在同一个数据分组的概率．
17. 如图，在三棱柱中，，且，底面，E为中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面
18. 已知直线l：与x轴的交点为A，圆O：经过点A．
（1）求r的值；
（2）若点B为圆O上一点，且直线垂直于直线l，求弦长．
19. 如图，在长方体，，，点E在上，且．
（1）求直线与直线所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角正弦值；
（3）求点A到平面的距离
20. 已知椭圆C：的焦点在x轴上，且经过点，左顶点为D，右焦点为F．
（1）求椭圆C的离心率和的面积；
（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点．过点B作直线的垂线，垂足为G．判断直线是否与y轴交于定点？请说明理由．
21. 对于正整数集合（，），如果去掉其中任意一个元素（，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为平衡集．
（1）判断集合是否为平衡集，并说明理由；
（2）若集合A是平衡集，并且为奇数，求证：集合A中元素个数n为奇数；
（3）若集合A是平衡集，并且为奇数，求证：集合A中元素个数．
参考答案
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 【答案】C
【解析】
【分析】由斜率的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，直线的斜率为；
对于B，直线的倾斜角为，斜率不存在；
对于C，直线的斜率为；
对于D，直线的斜率为.
故选：C.
2. 【答案】A
【解析】
【分析】根据相互独立事件的乘法公式求解即可.
【详解】因为甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，
所以甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为.
故选:A.
3. 【答案】A
【解析】
【分析】由题意可列方程，解方程即可得出答案.
【详解】直线与直线的交点为，
所以.
故选：A.
4. 【答案】A
【解析】
【分析】将圆的方程化为标准方程，从而可得圆心与半径.
【详解】由化为标准方程可得，
故圆心，半径.
故选:A.
5. 【答案】D
【解析】
【分析】分别求出甲乙的极差、平均值、中位数与方差，逐项判断即可.
【详解】甲种麦苗样本株高的极差为，乙种麦苗样本株高的极差为，故A错误；
甲种麦苗样本株高的平均值为，
乙种麦苗样本株高的平均值为，故B错误；
甲种麦苗样本株高的中位数为，
乙种麦苗样本株高的中位数为，故C错误；
甲种麦苗样本株高的方差为；
乙种麦苗样本株高的方差为，
故D正确.
故选:D.
6. 【答案】C
【解析】
【分析】根据和事件的概率的求法求得正确答案.
【详解】事件表示“两个点数之和等于或至少有一个骰子的点数为”.
基本事件的总数为，
事件包含的基本事件为：，
，共种，
所以事件的概率是.
故选：C
7. 【答案】D
【解析】
【分析】根据渐近线求得，进而求得离心率.
【详解】双曲线的渐近线为，所以，
所以.
故选：D
8. 【答案】B
【解析】
【详解】点关于平面对称的点的坐标为,选B
9. 【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件求得，由此求得椭圆的标准方程.
【详解】依题意，解得，
由于椭圆的焦点在轴上，
所以椭圆的标准方程为.
故选：B
10. 【答案】C
【解析】
【分析】分别取的中点,根据面面平行的判定定理可得平面平面，故点的轨迹为线段.当与点或重合时，线段长度最大，当为线段的中点时，线段长度最小，求解即可.
【详解】分别取的中点,
因为，平面，平面，
所以平面,同理可得平面.
因为平面,所以平面平面.
因为P底面上一点．且∥平面，
所以点的轨迹为线段.
因为正方体的棱长为2，所以,,
当与点或重合时，；
当为线段的中点时，.
所以线段长度最大值为，最小值为.
故选:C.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上．
11. 【答案】90
【解析】
【分析】先求出高三年级的学生人数，再根据分层抽样的定义即可求解.
【详解】由题意可得高三年级有学生人，
抽取容量为240的样本进行调查，
那么在高三年级的学生中应抽取的人数为人.
故答案为:.
12. 【答案】4
【解析】
【分析】根据两圆外切则圆心距等于半径之和即可求解.
【详解】圆圆心为，半径为1，
圆圆心为，
所以圆心距，
因为两圆外切，所以,所以.
故答案为：4.
13. 【答案】 ①. ## ②. ## ③. ##
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算可得，从而可求解.
【详解】因为D为的中点，E为的中点，
所以
.
因为，所以.
故答案为:.
14. 【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据抛物线方程直接求出焦点坐标；设，根据中点坐标公式可得，根据点M在抛物线上可求得，再根据两点间的距离公式即可求解.
【详解】由，可得焦点在轴上，且焦点坐标为.
设，则.
因为点M在抛物线上，所以,解得.
所以.
故答案为:;.
15. 【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据曲率、总曲率的知识求得正确答案.
【详解】（1）四棱锥有个三角形、一个四边形，个顶点，
四棱锥的总曲率为：.
（2）正十二面体有个正边形，个顶点，
每个面的内角和为，
所以.
正二十面体有个正三角形，个顶点，
每个面的内角和为，
所以.
所以.
故答案为：；
三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频数和求得，通过计算小长方形的高求得.
（2）根据古典概型概率计算公式求得所求概率.
小问1详解】
由，解得.
，.
【小问2详解】
不低于14小时，有的人，记为；的人，记为，
从中任取人，基本事件为，共种，
其中2人恰好在同一个数据分组的情况为：，共种，
所以2人恰好在同一个数据分组的概率为.
17. 【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先由线面垂直的判定定理证明平面，，再由线面垂直的性质定理即可证明线线垂直；
（2）利用面面平行的判定定理先证明平面平面，再由面面平行的性质定理即可证明线面平行.
【小问1详解】
底面且平面，
，
又且，平面，
平面，
又平面，
【小问2详解】
取的中点，连接，
因为分别为的中点可知，，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
又因为，平面，
所以平面平面，
又因为平面，
所以平面
18. 【答案】（1）2； （2）.
【解析】
【分析】（1）求出，代入圆的方程即可求解；
（2）根据直线垂直于直线l，可求直线的斜率，根据点斜式可求直线的方程，再利用垂径定理即可求解.
【小问1详解】
中，令，得，故.
因为圆O：经过点A，所以，解得.
【小问2详解】
直线l的斜率为2，因为直线垂直于直线l，所以直线的斜率为.
所以直线的方程为，即.
圆心到直线的距离为，
所以.
19. 【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与直线所成角的余弦值.
（2）利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值.
（3）利用向量法求得点A到平面的距离
【小问1详解】
建立如图所示空间直角坐标系，
，
设直线与直线所成角为，
则.
【小问2详解】
，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线与平面所成角为，
则.
【小问3详解】
，
所以到平面的距离为.
20. 【答案】（1）离心率为，的面积为；
（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆经过点可求出，从而可求离心率，求出的坐标，从而可求的面积；
（2）设，则,联立，可得，的方程为，令，得，代入化简即可求解.
【小问1详解】
因为经过点，所以，解得.
所以椭圆C：，，
所以.
因为,,
所以.
【小问2详解】
设，则,
则的方程为，
令，则①.
联立，可得，
因为过定点，在椭圆内，所以与椭圆恒有两个交点，
故，.
所以.
代入①，可得，
故直线是否与y轴交于定点.
【点睛】定点定值点睛：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
21. 【答案】（1）不，理由见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由平衡集的定义即可判断；
（2）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明；
（3）由（2）知为奇数，根据的取值讨论后求解.
【小问1详解】
不是，理由如下，
对于集合，去掉3后，中的元素分成两个集合后，不满足两个集合的所有元素之和相等，
故集合B不是平衡集.
【小问2详解】
证明：设中所有元素之和为，由题意得均为偶数，
故（，2，…，n）的奇偶性相同
已知为奇数，则为奇数，易得为奇数，
所以，集合A中元素个数n为奇数.
【小问3详解】
证明：由（2）知若集合A是平衡集，并且为奇数，集合A中元素个数为奇数，
显然时，集合A不是平衡集，
当时，不妨设，若集合A为平衡集，
去掉后，得，去掉后，得，
两式矛盾，故时，集合A不是平衡集，
当，设集合，
去掉1后，，
去掉3后，，
去掉5后，，
去掉7后，，
去掉9后，，
去掉11后，，
去掉13后，，
故集合是平衡集，
所以，集合A中元素个数.
考
生
须
知
1．本试卷共6页，共两部分，21道小题，满分150分．考试时间120分钟．
2．在答题卡上准确填写学校、姓名、班级和教育ID号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束后，请将答题卡上交．
组号
分组
频数
1
c
2
8
3
17
4
22
5
25
6
12
7
6
8
2
9
2
合计
100