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2023年山东省青岛市市南区、市北区、崂山区中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2023年山东省青岛市市南区、市北区、崂山区中考数学一模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了6×108C， 下列运算等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省青岛市市南区、市北区、崂山区中考数学一模试卷
1. 下列四个数中，属于有理数的是( )
A. 111 B. 315 C. π D. −2
2. 网络用语“6”是比较厉害的意思，且“6”本身是一个自然数.将数字0.000000006用科学记数法表示为( )
A. −6×109 B. −0.6×108 C. 0.6×10−8 D. 6×10−9
3. “中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物.下列四个中国结图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 下列运算：①xy25−xy2=15；②(−3a2b)2=6a4b2；③a3⋅b÷a=a2b；④(−mn3)2=m2n6，其中结果正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，在△ABC中，AC=4，以点C为圆心，2为半径的圆与边AB相切于点D，与AC，BC分别交于点E和点F，点H是优弧EF上一点，∠EHF=70∘，则∠BDF的度数是( )
A. 35∘ B. 40∘ C. 55∘ D. 60∘
7. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为( )
A. 95 B. 125 C. 165 D. 185
8. 在同一直角坐标系中，一次函数y=ax−b和二次函数y=−ax2−b的大致图象是( )
A. B. C. D.
9. 关于x的函数y=(k−2)x2−(2k−1)x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是______ .
10. 元旦期间，某游乐场发布一游戏规则：在一个装有6个红球和若干个白球(每个球除颜色外其余均相同)的不透明袋子中，随机摸出一个球，摸到红球就可获得欢动世界通票一张．已知有300人参加这个游戏，游乐场为此发放欢动世界通票60张，请你估计袋子中白球的数量是______个．
11. 某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%.若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是______.
12. 如图，在矩形ABCD中，连接BD，过点C作∠DBC平分线BE的垂线，垂足为点E，且交BD于点F；过点C作∠BDC平分线DH的垂线，垂足为点H，且交BD于点G，连接HE，若BC=22，CD=2，则线段HE的长度为______ .
13. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
如图，∠BAC=45∘，D，E在AB上，作⊙O经过D，E两点且与AC相切.
14. 计算：
(1)化简：(1−2a−2)÷a2−8a+164−a2；
(2)解不等式组：x−3(x−2)≤41+2x3>x−1，并写出它的最大整数解.
15. 有四张反面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．
(1)从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是______.
(2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法(或画树状图)说明理由．(纸牌用A、B、C、D表示)若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．
16. 2022年北京冬奥会的召开惊艳世界，冬奥村的餐厅更是得到了各国运动员的好评．运动员主餐厅位于北京冬奥村居住区西南侧，共设置了世界餐台、亚洲餐台、中餐餐台、清真餐台、鲜果台、面包和甜品台等12种餐台．一送餐机器人从世界餐台A处向正南方向走200米到达亚洲餐台B处，再从B处向正东方向走500米到达中餐餐台C处，然后从C处向北偏西37∘走到就餐区D处，最后从D回到A处，已知就餐区D在A的北偏东73∘方向，求中餐台C到就餐区D(即CD)的距离．(结果保留整数)
(参考数值：sin73∘≈1920，cos73∘≈29100，tan73∘≈103，sin37∘≈35，cos37∘≈45，tan37∘≈34.)
17. 2022年年末，政策放开后，中国迎来第一波疫情高峰.相比去年，中国人口减少85万.某校举行了以“疫情防护”为主题的知识竞赛活动.发现该校全体学生的竞赛成绩(百分制)均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析(成绩得分用x表示，共分成四组)，并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，下面为部分数据：其中“80≤x<90”这组的部分数据如下：80，82，82，83，83，84，85，85，85，86，87，87，87，88，88……其中“90≤x≤100”这组的数据如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100.
竞赛成绩分组统计表
组别
竞赛成绩分组
频数
平均分
1
60≤x<70
8
65
2
70≤x<80
a
75
3
80≤x<90
b
88
4
90≤x≤100
10
95
根据以上信息，回答下列问题：
(1)下列说法正确的是______ .
A.样本为n名学生
B.a=12
C.m=40
(2)“90≤x≤100”这组的数据的众数是______ .
(3)随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是______ ；平均分是______ ；
(4)若学生竞赛成绩达到96分以上(含96分)获奖，请你估计全校1200名学生中获奖的人数.
18. 已知反比例函数的图象经过三个点A(−4,−3)，B(2m,y1)，C(6m,y2)，其中m>0.
(1)当y1−y2=4时，求m的值；
(2)如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标(不需要写解答过程).
19. 已知：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD，BC于点E，F，作BH⊥AF于点H，分别交AC，CD于点G，P，连接GE，GF.
(1)求证：△OAE≌△OBG；
(2)判断四边形BFGE是什么特殊四边形？并证明你的结论．
20. 某企业生产一种新产品，每件成本为50元.由于新产品市场有率较低，去年上市初期销量逐渐减少，1至6月，月销售量y(件)与月份x(月)满足一次函数关系：随着新产品逐渐得到市场认可，销量增加，6至1月，月销售量y(件)与月份x(月)满足二次函数关系，且6月份的月销售量是该二次函数的最小值，函数关系如图所示.
(1)求y1、y2与x之间的函数关系式；
(2)已知去年1至6月每件该产品的售价z(元)与月份x之间满足函数关系：z=60+52x(1≤x≤6,x为整数).除成本外，平均每销售一件产品还需额外支出杂费p元，p与月份x之间满足函数关系：p=12x(1≤x≤6,x为整数)，从7月至12月每件产品的售价和杂费均稳定在6月的水平.去年1至12 月，该产品在第几月获得最大利润？并求出最大利润.
(3)今年以来，由于物价上涨及积压了去年未销售的产品等因素，该企业每月均需支出杂费6000 元(不论每月销售量如何，且天数不满一月时按整月计算).为了出售去年积压的4000 件该产品，企业计划以单价70元销售，每月可卖出350件.为了尽快回笼资金并确保获利，企业决定降价销售，每件该产品每降价1元(降价金额为整数)，每月可多卖出50 件，且要求在5个月内(含5 个月)将这批库存全部售出，如何定价可使获利最大？
21. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
[观察与猜想]
(1)如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、AD上的两点，连接DE、CF，DE⊥CF，则DECF的值为=______ ；
(2)如图②，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则CEBD的值为______ .
[性质探究]
(3)如图③，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90∘.点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F.求证：DE⋅AB=CF⋅AD；
[拓展延伸]
已知四边形ABCD是矩形，AD=6，AB=8
(4)如图④，点P是BC上的点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上.求OCOE的值；
(5)如图⑤，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，延长EP、AB交于点G.当BG=2时，DE=______ .
22. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠ACB=90∘，AB=10cm，BC=8cm，OD垂直平分AC.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF//AC，分别交AD，OD于点F，G.连接OP，EG.设运动时间为t(s)(0
(2)设四边形PEGO的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、111是有理数，故A符合题意；
B、315是无理数，故B不符合题意；
C、π是无理数，故C不符合题意；
D、−2是无理数，故D不符合题意；
故选：A.
根据有理数和无理数统称为实数，判断即可．
本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：0.000000006=6×10−9.
故选：D.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C
【解析】解：左起第1、3、4这三个图形既是中心对称图形又是轴对称图形，
第二个图形是中心对称图形，不是轴对称图形，
故选：C.
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4.【答案】B
【解析】解：①xy25−xy2=−45xy2，故①是错误的；
②(−3a2b)2=9a4b2，故②是错误的；
③a3⋅b÷a=a2b，故③是正确的的；
④(−mn3)2=m2n6，故④是正确的的；
故选：B.
分别根据合并同类项，积的乘方，单项式的除法，积的乘方法则求解．
本题考查了单项式乘单项式，熟记幂的运算法则是解题的关键，
5.【答案】C
【解析】解：从上面看可得到一个正方形，正方形里面有一条撇向的实线．
故选：C.
找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
6.【答案】B
【解析】解：如图，连接CD，
∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90∘，
∵AC=4，CD=2，
∴cos∠ACD=CDAC=24=12，
∴∠ACD=60∘，
∵∠EHF=70∘，
∴∠ACB=2∠EHF=140∘，
∴∠DCB=∠ACB−∠ACD=140∘−60∘=80∘，
∵CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD=180∘−80∘2=50∘，
∴∠BDF=∠CDB−∠CDF=90∘−50∘=40∘，
故选：B.
连接CD，由切线的性质得出CD⊥AB，∠CDB=90∘，利用解直角三角形求出∠ACD=60∘，由圆周角定理求出∠ACB=140∘，进而求出∠DCB=80∘，再利用等腰三角形的性质求出∠CDF的度数，继而求出∠BDF的度数．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90∘，根据勾股定理求出答案．
【解答】
解：连接BF，
∵BC=6，点E为BC的中点，
∴BE=3，
又∵AB=4，
∴AE=AB2+BE2=5，
由折叠知，BF⊥AE(对应点的连线必垂直于对称轴)，
∴12×AE×BH=12×AB×BE，
∴BH=AB×BEAE=125，
则BF=245，
∵FE=BE=EC，
∴∠BFC=90∘，
∴CF=62−(245)2=185.
故选D.
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的图象及一次函数的图象，解题关键是熟记一次函数图象与系数的关系，二次函数图象与系数的关系．
可先根据一次函数的图象判断a、−b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，逐项分析判断正误．
【解答】
解：A.由一次函数y=ax−b的图象可得：a>0，−b>0，此时二次函数y=−ax2−b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标为−b大于零，故A正确；
B.由一次函数y=ax−b的图象可得：a<0，−b>0，此时二次函数y=−ax2−b的图象应该开口向上，顶点的纵坐标为−b大于零，故B错误；
C.由一次函数y=ax−b的图象可得：a<0，−b>0，此时二次函数y=−ax2−b的图象应该开口向上，故C错误；
D.由一次函数y=ax−b的图象可得：a>0，−b>0，此时二次函数y=−ax2−b的图象应该开口向下，故D错误；
故选A.
9.【答案】k>−14且k≠2
【解析】解：根据题意得：(2k−1)2−4k(k−2)>0k−2≠0，
解得k>−14且k≠2.
故答案是：k>−14且k≠2.
关于x的函数y=(k−2)x2−(2k−1)x+k的图象与x轴有两个交点，则判别式b2−4ac>0，且二次项系数不等于0，据此列不等式求解．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．
△=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
10.【答案】24
【解析】解：设袋中共有m个白球，则摸到红球的概率P(红球)=66+m，
∴66+m=60300，
解得m=24，
经检验：m=24是分式方程的解，且符合题意，
所以估计袋子中白球的数量是24个，
故答案为：24.
设袋中共有m个白球，根据摸到红球的概率求出白球的数量，即可解答．
考查利用样本估计总体和频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
11.【答案】65×1−10%×1+5%−501−x2=65−50
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
每个季度平均降低成本的百分率为x，根据利润=售价-成本价，结合半年以后的销售利润为(65−50)元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：依题意，得：65×(1−10%)×(1+5%)−50(1−x)2=65−50.
故答案为：65×(1−10%)×(1+5%)−50(1−x)2=65−50.
12.【答案】32−102
【解析】解：∵BE平分∠DBC，
∴∠CBE=∠FBE，
∵CF⊥BE，
∴∠BEC=∠BEF=90∘，
又∵BE=BE，
∴△BEC≌△BEF(ASA)，
∴CE=FE，BF=BC=22，
同理：CH=GH，DG=CD=2，
∴HE是△CGF的中位线，
∴HE=12GF，
在矩形ABCD中，BC=22，CD=2，
由勾股定理得：BD=BC2+CD2=10，
∴GF=BF+DG−BD=32−10，
∴HE=32−102，
故答案为：32−102.
先证明△BEC≌△BEF，可得CE=FE，BF=BC=22，同理：CH=GH，DG=CD=2，从而得HE=12GF，再利用勾股定理得BD=10，进而即可求解．
本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，推出HE是△CGF的中位线是解题的关键．
13.【答案】解：如图，⊙O为所作．
【解析】先作AE的垂直平分线得到中点P，则以AE为直径可作⊙P，再过D点作AB的垂线交⊙P于Q点，接着在AC上截取AF=AQ，然后过F点作AC的垂线交DE的垂直平分线于O点，则以O点为圆心，OF为半径作圆即可．
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理、切线的判定与性质．
14.【答案】解：(1)(1−2a−2)÷a2−8a+164−a2
=a−4a−2÷(a−4)2−(a2−4)
=a−4a−2⋅−(a−2)(a+2)(a−4)2
=−a−2a−4；
(2){x−3(x−2)⩽4①1+2x3>x−1②，
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x<4，
故原不等式组的解集为：1≤x<4，
则其最大的整数解是：3.
【解析】(1)先通分，再把能分解的因式进行分解，除法转为乘法，再约分即可；
(2)利用解一元一次不等式组的方法进行求解，再确定其最大整数解即可．
本题主要考查分式的混合运算，解一元一次不等式组，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
15.【答案】解：(1)34；
(2)游戏不公平，理由如下：
列表得：
共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即(A,C)(C,A).
∴P(两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形)=212=16≠12.
∴游戏不公平，
修改规则：若抽到的两张牌面图形都是中心对称图形(或若抽到的两张牌面图形都是轴对称图形)，则小明获胜，否则小亮获胜．
【解析】本题考查用列举法求概率，中心对称图形和轴对称图形．
(1)直接根据概率公式计算即可．
(2)首先列表列出可能的情况，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，由概率公式得出概率，可得出游戏不公平，修改为概率相等即可使得游戏公平．
【解答】
解：(1)纸牌A、B、C、D中，是中心对称图形的有A、C、D，
则从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是34，
故答案为34；
(2)见答案．
16.【答案】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，过点A作AF⊥DE，垂足为F，
则∠AFE=∠AFD=∠DEC=∠DEB=∠B=90∘，∠CDE=37∘，∠ADF=73∘，
∴四边形ABEF是矩形，
∴AB=EF=200米，AF=BE，
设CD=x米，
在Rt△CDE中，DE=CD⋅cos37∘≈45x(米)，
CE=CD⋅sin37∘≈35x(米)，
∴DF=DE−EF=(45x−200)米，
∵BC=500米，
∴AF=BE=AB−CE=(500−35x)米，
在Rt△ADF中，tan73∘=AFDF≈103，
∴AF=103DF，
∴500−35x=103×(45x−200)，
解得：x≈357，
∴中餐台C到就餐区D(即CD)的距离为357米．
【解析】过点D作DE⊥BC，垂足为E，过点A作AF⊥DE，垂足为F，根据题意可得∠AFE=∠AFD=∠DEC=∠DEB=∠B=90∘，∠CDE=37∘，∠ADF=73∘，从而可得四边形ABEF是矩形，进而可得AB=EF=200米，AF=BE，然后设CD=x米，在Rt△CDE中，利用锐角三角函数的定义求出DE，CE的长，从而求出BE，AF，DF的长，最后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了矩形的判定，解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17.【答案】B9683.582.6分
【解析】解：(1)样本为n名学生的竞赛成绩，故选项A错误，不符合题意；
n=8÷16%=50，则a=50×24%=12，故选项B符合题意；
m=1−16%−24%−20%=40%，故选项C错误，不符合题意；
故选：B；
(2)∵90≤x≤100”这组的数据如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100.
∴“90≤x≤100”这组的数据的众数是96，
故答案为：96；
(3)随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是(83+84)÷2=83.5，
平均分是：150×(65×8+75×12+50×40%×88+95×10)=82.6(分)，
故答案为：83.5，82.6；
(4)1200×550=120(人)，
答：估计全校1200名学生中获奖的有120人．
(1)根据统计表和统计图中的数据，可以判断哪个选项符合题意；
(2)根据题目中的数据，可以写出“90≤x≤100”这组的数据的众数；
(3)根据题目中的数据，可以计算出中位数和平均数；
(4)根据题目中的数据，可以计算出全校1200名学生中获奖的人数．
本题考查扇形统计图、统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18.【答案】解：(1)设反比例函数的解析式为y=kx，
∵反比例函数的图象经过点A(−4,−3)，
∴k=−4×(−3)=12，
∴反比例函数的解析式为y=12x，
∵反比例函数的图象经过点B(2m,y1)，C(6m,y2)，
∴y1=122m=6m，y2=126m=2m，
∵y1−y2=4，
∴6m−2m=4，
∴m=1，
经检验，m=1是原方程的解．
故m的值是1；
(2)设BD与x轴交于点E.
∵点B(2m,6m)，C(6m,2m)，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，
∴D(2m,2m)，BD=6m−2m=4m.
∵三角形PBD的面积是8，
∴12BD⋅PE=8，
∴12⋅4m⋅PE=8，
∴PE=4m，
∵E(2m,0)，点P在x轴上，
∴点P坐标为(−2m,0)或(6m,0).
【解析】(1)先根据反比例函数的图象经过点A(−4,−3)，利用待定系数法求出反比例函数的解析式为y=12x，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出y1=122m=6m，y2=126m=2m，然后根据y1−y2=4列出方程6m−2m=4，解方程即可求出m的值；
(2)设BD与x轴交于点E.根据三角形PBD的面积是8列出方程12⋅4m⋅PE=8，求出PE=4m，再由E(2m,0)，点P在x轴上，即可求出点P的坐标．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，正确求出双曲线的解析式是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90∘.
∵BH⊥AF，
∴∠AHG=∠AHB=90∘，
∴∠GAH+∠AGH=90∘=∠OBG+∠AGH，
∴∠GAH=∠OBG，
即∠OAE=∠OBG.
在△OAE与△OBG中，
∠OAE=∠OBGOA=OB∠AOE=∠BOG，
∴△OAE≌△OBG(ASA)；
(2)解：四边形BFGE为菱形；理由如下：
在△AHG与△AHB中，
∠GAH=∠BAHAH=AH∠AHG=∠AHB，
∴△AHG≌△AHB(ASA)，
∴GH=BH，
∴AF是线段BG的垂直平分线，
∴EG=EB，FG=FB.
∵∠BEF=∠BAE+∠ABE=67.5∘，∠BFE=90∘−∠BAF=67.5∘，
∴∠BEF=∠BFE，
∴EB=FB，
∴EG=EB=FB=FG，
∴四边形BFGE是菱形．
【解析】(1)由正方形的性质得出OA=OB，∠AOE=∠BOG=90∘，再由角的互余关系证出∠OAE=∠OBG，由ASA即可证明△OAE≌△OBG；
(2)先证明△AHG≌△AHB，得出GH=BH，由线段垂直平分线的性质得出EG=EB，FG=FB；再证出∠BEF=∠BFE，得出EB=FB，因此EG=EB=FB=FG，即可得出结论．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、菱形的判定；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)设y1=kx+b(k≠0,1≤x≤6)，
由图可知，y1经过点(1,600)和(4,450)，
∴k+b=6004k+b=450，
∴k=−50b=650，
∴y1=−50x+650(1≤x≤6)，
当x=6时，y1=y2=−50×6+650=350，
∴设y2=a(x−6)2+350(a≠0,6
∴430=a(10−6)2+350，
∴a=5，
∴y2=5(x−6)2+350=5x2−60x+530(6
当1≤x≤6时，w=(60+52x−50−12x)⋅(−50x+650)，
整理得：w=−100x2+800x+6500=−100(x−4)2+8100，
∵−100<0，
∴当x=4时，获得最大利润，最大利润为8100元，
当7≤x≤12时，此时z=60+52×6=75(元)，p=12×6=3(元)，
则w=(75−50−3)[5(x−6)2+350]=110(x−6)2+7700，
∵110>0，
∴当7≤x≤12时，y随x的增大而增大，
∴当x=12时，获得最大利润，最大利润为110×(12−6)2+7700=11660(元)，
∵11660>8100，
∴该产品在去年12月获得最大利润，最大利润为11660元；
(3)设降价m元销售(m为整数)，所获的利润为w′元，
由题意得：w′=(70−50−m)×4000−6000×4000350+50m，
∵要求在5个月内(含5 个月)将这批库存全部售出，
∴4000350+50m≤5，
解得：m≥9，
∵70−50−m>0，即m<20，
∴9≤m<20，
∵4000能被350+5m整除，
∴m可以取9，13，
当m=9时，w′=(70−50−9)×4000−6000×4000350+50×9=14000，
当m=13时，w′=(70−50−13)×4000−6000×4000350+50×13=4000，
∵14000>4000，
∴当每件该产品降价9元时，获利最大．
【解析】(1)根据题意可设y1=kx+b(k≠0,1≤x≤6)，y2=a(x−6)2+350(a≠0,6
(3)设降价m元销售(m为整数)，所获的利润为w′元，根据题意可得w′=(70−50−m)×4000−6000×4000350+50m，根据每件产品获利大于0和要求在5个月内(含5个月)将这批库存全部售出得9≤m<20，再由4000350+50m为整数得m可以取9，13，最后分别代入求出利润对比即可．
本题主要考查二次函数的应用、一次函数的应用、用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质．在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
21.【答案】147 83
【解析】(1)解：如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠A=∠CDF=90∘，
∵DE⊥CF，
∴∠DCF=90∘−∠EDC=∠ADE，
∴△ADE≌△DCF(ASA)，
∴DE=CF，
∴DECF=1，
故答案为：1；
(2)解：如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90∘=∠CDE，
∵CE⊥BD，
∴∠DCE=90∘−∠BDC=∠ADB，
∴△DCE∽△ADB，
∴CEBD=CDAD，
∵AD=7，CD=4，
∴CEBD=47，
故答案为：47；
(3)证明：过F作FK⊥BC于K，如图：
∵∠A=∠B=90∘，FK⊥BC，
∴四边形ABKF是矩形，
∴AB=FK，AF//BC，
∴∠FCK=∠GFD，
∵∠G=∠A=90∘，∠ADE=∠GDF，
∴∠AED=∠GFD，
∴∠FCK=∠AED，
∵∠FKC=90∘=∠A，
∴△FKC∽△DAE，
∴FKAD=CFDE，
∴FK⋅DE=AD⋅CF，
∴DE⋅AB=CF⋅AD；
(4)解：过O作OM⊥AD于点M，ON⊥CD于点N，如图：
∴∠OMD=∠OND=90∘，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=6，AB=CD=8，∠MDN=∠A=∠BCD=90∘，
∴四边形OMDN是矩形，
∴∠MON=90∘，
∵PE⊥CF于点O，
∴∠COE=90∘，
∴∠CON=∠EOM=90∘−∠EON，
∵∠ONC=∠OME=90∘，
∴△ONC∽△OME，
∴OCOE=ONOM，
∵∠OND=∠BCD，
∴ON//BC，
∴△DON∽△DBC，
∴ONBC=ODBD，
同理OMAB=ODBD，
∴ONBC=OMAB，
∴ONOM=BCAB，
∴OCOE=BCAB=68=34；
(5)解：连接CE、CG，如图：
∵∠ABC=90∘，
∴∠PBG=180∘−∠ABC=90∘，
∴∠PBG=∠POC=90∘，
∵∠BPG=∠OPC，
∴△BPG∽△OPC，
∴PBPO=PGPC，
∴PBPG=POPC，
∵∠OPB=∠CPG，
∴△OPB∽△CPG，
∴∠CBD=∠OGC，
由(4)知OCOE=34，
∵CBCD=68=34，
∴OCOE=CBCD，
∵∠COE=∠BCD=90∘，
∴△COE∽△BCD，
∴∠CDB=∠OEC，
∴∠OGC+∠OEC=∠CBD+∠CDB=90∘，
即∠ECG=90∘，
∴∠BCG=∠DCE=90∘−∠BCE，
∵∠CBG=∠CDE=90∘，
∴△CBG∽△CDE，
∴BGDE=CBCD=34，
∴DE=43BG=43×2=83，
故答案为：83.
(1)由四边形ABCD是正方形，DE⊥CF，证明△ADE≌△DCF(ASA)，可得DE=CF，即可得到答案；
(2)由四边形ABCD是矩形，CE⊥BD，证明△DCE∽△ADB，可得CEBD=CDAD，即可得到答案；
(3)过F作FK⊥BC于K，由∠A=∠B=90∘，FK⊥BC，得四边形ABKF是矩形，有AB=FK，AF//BC，可证△FKC∽△DAE，从而FKAD=CFDE，即得DE⋅AB=CF⋅AD；
(4)过O作OM⊥AD于点M，ON⊥CD于点N，证明△ONC∽△OME，有OCOE=ONOM，而ONBC=ODBD，OMAB=ODBD，可得ONBC=OMAB，有ONOM=BCAB，故OCOE=BCAB=34；
(5)连接CE、CG，证明△BPG∽△OPC，得PBPO=PGPC，又∠OPB=∠CPG，可得△OPB∽△CPG，故∠CBD=∠OGC，由OCOE=CBCD，可得△COE∽△BCD，故∠CDB=∠OEC，即可得∠ECG=90∘，从而△CBG∽△CDE，有BGDE=CBCD=34，所以DE=43BG=83.
本题考查四边形综合应用，涉及正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，熟练掌握正方形的性质和矩形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于考试压轴题．
22.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∵∠ACB=90∘，AB=10cm，BC=8cm，
∴AC=102−82=6(cm)，
∵OD垂直平分线段AC，
∴OC=OA=3(cm)，∠DOC=90∘，
∵CD//AB，
∴∠BAC=∠DCO，
∵∠DOC=∠ACB，
∴△DOC∽△BCA，
∴ACOC=ABCD=BCOD，
∴63=10CD=8OD，
∴CD=5(cm)，OD=4(cm)，
∵PB=t，PE⊥AB，
易知：PE=34t，BE=54t，
当点E在∠BAC的平分线上时，
∵EP⊥AB，EC⊥AC，
∴PE=EC，
∴34t=8−54t，
∴t=4.
∴当t为4秒时，点E在∠BAC的平分线上．
(2)如图，连接OE，PC.
S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+(S△OPC+S△PCE−S△OEC)
=12⋅(4−45t)⋅3+[12⋅3⋅(8−45t)+12⋅(8−54t)⋅35t−12⋅3⋅(8−54t)
=−38t2+158t+6(0
(3)存在．
∵S=−38(t−52)2+26732(0
(4)存在．如图，连接OQ.
∵OE⊥OQ，
∴∠EOC+∠QOC=90∘，
∵∠QOC+∠QOG=90∘，
∴∠EOC=∠QOG，
∴tan∠EOC=tan∠QOG，
∴ECOC=GQOG，
∴8−54t3=35t4−45t，
整理得：5t2−66t+160=0，
解得t=165或10(舍弃)
∴当t=165秒时，OE⊥OQ.
【解析】(1)当点E在∠BAC的平分线上时，因为EP⊥AB，EC⊥AC，可得PE=EC，由此构建方程即可解决问题．
(2)根据S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+(S△OPC+S△PCE−S△OEC)构建函数关系式即可．
(3)利用二次函数的性质解决问题即可．
(4)证明∠EOC=∠QOG，可得tan∠EOC=tan∠QOG，推出ECOC=GQOG，由此构建方程即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
2023年山东省青岛市市南区、市北区、崂山区中考数学一模试卷
1. 下列四个数中，属于有理数的是( )
A. 111 B. 315 C. π D. −2
2. 网络用语“6”是比较厉害的意思，且“6”本身是一个自然数.将数字0.000000006用科学记数法表示为( )
A. −6×109 B. −0.6×108 C. 0.6×10−8 D. 6×10−9
3. “中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物.下列四个中国结图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 下列运算：①xy25−xy2=15；②(−3a2b)2=6a4b2；③a3⋅b÷a=a2b；④(−mn3)2=m2n6，其中结果正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，在△ABC中，AC=4，以点C为圆心，2为半径的圆与边AB相切于点D，与AC，BC分别交于点E和点F，点H是优弧EF上一点，∠EHF=70∘，则∠BDF的度数是( )
A. 35∘ B. 40∘ C. 55∘ D. 60∘
7. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为( )
A. 95 B. 125 C. 165 D. 185
8. 在同一直角坐标系中，一次函数y=ax−b和二次函数y=−ax2−b的大致图象是( )
A. B. C. D.
9. 关于x的函数y=(k−2)x2−(2k−1)x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是______ .
10. 元旦期间，某游乐场发布一游戏规则：在一个装有6个红球和若干个白球(每个球除颜色外其余均相同)的不透明袋子中，随机摸出一个球，摸到红球就可获得欢动世界通票一张．已知有300人参加这个游戏，游乐场为此发放欢动世界通票60张，请你估计袋子中白球的数量是______个．
11. 某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%.若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是______.
12. 如图，在矩形ABCD中，连接BD，过点C作∠DBC平分线BE的垂线，垂足为点E，且交BD于点F；过点C作∠BDC平分线DH的垂线，垂足为点H，且交BD于点G，连接HE，若BC=22，CD=2，则线段HE的长度为______ .
13. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
如图，∠BAC=45∘，D，E在AB上，作⊙O经过D，E两点且与AC相切.
14. 计算：
(1)化简：(1−2a−2)÷a2−8a+164−a2；
(2)解不等式组：x−3(x−2)≤41+2x3>x−1，并写出它的最大整数解.
15. 有四张反面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．
(1)从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是______.
(2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法(或画树状图)说明理由．(纸牌用A、B、C、D表示)若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．
16. 2022年北京冬奥会的召开惊艳世界，冬奥村的餐厅更是得到了各国运动员的好评．运动员主餐厅位于北京冬奥村居住区西南侧，共设置了世界餐台、亚洲餐台、中餐餐台、清真餐台、鲜果台、面包和甜品台等12种餐台．一送餐机器人从世界餐台A处向正南方向走200米到达亚洲餐台B处，再从B处向正东方向走500米到达中餐餐台C处，然后从C处向北偏西37∘走到就餐区D处，最后从D回到A处，已知就餐区D在A的北偏东73∘方向，求中餐台C到就餐区D(即CD)的距离．(结果保留整数)
(参考数值：sin73∘≈1920，cos73∘≈29100，tan73∘≈103，sin37∘≈35，cos37∘≈45，tan37∘≈34.)
17. 2022年年末，政策放开后，中国迎来第一波疫情高峰.相比去年，中国人口减少85万.某校举行了以“疫情防护”为主题的知识竞赛活动.发现该校全体学生的竞赛成绩(百分制)均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析(成绩得分用x表示，共分成四组)，并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，下面为部分数据：其中“80≤x<90”这组的部分数据如下：80，82，82，83，83，84，85，85，85，86，87，87，87，88，88……其中“90≤x≤100”这组的数据如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100.
竞赛成绩分组统计表
组别
竞赛成绩分组
频数
平均分
1
60≤x<70
8
65
2
70≤x<80
a
75
3
80≤x<90
b
88
4
90≤x≤100
10
95
根据以上信息，回答下列问题：
(1)下列说法正确的是______ .
A.样本为n名学生
B.a=12
C.m=40
(2)“90≤x≤100”这组的数据的众数是______ .
(3)随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是______ ；平均分是______ ；
(4)若学生竞赛成绩达到96分以上(含96分)获奖，请你估计全校1200名学生中获奖的人数.
18. 已知反比例函数的图象经过三个点A(−4,−3)，B(2m,y1)，C(6m,y2)，其中m>0.
(1)当y1−y2=4时，求m的值；
(2)如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标(不需要写解答过程).
19. 已知：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD，BC于点E，F，作BH⊥AF于点H，分别交AC，CD于点G，P，连接GE，GF.
(1)求证：△OAE≌△OBG；
(2)判断四边形BFGE是什么特殊四边形？并证明你的结论．
20. 某企业生产一种新产品，每件成本为50元.由于新产品市场有率较低，去年上市初期销量逐渐减少，1至6月，月销售量y(件)与月份x(月)满足一次函数关系：随着新产品逐渐得到市场认可，销量增加，6至1月，月销售量y(件)与月份x(月)满足二次函数关系，且6月份的月销售量是该二次函数的最小值，函数关系如图所示.
(1)求y1、y2与x之间的函数关系式；
(2)已知去年1至6月每件该产品的售价z(元)与月份x之间满足函数关系：z=60+52x(1≤x≤6,x为整数).除成本外，平均每销售一件产品还需额外支出杂费p元，p与月份x之间满足函数关系：p=12x(1≤x≤6,x为整数)，从7月至12月每件产品的售价和杂费均稳定在6月的水平.去年1至12 月，该产品在第几月获得最大利润？并求出最大利润.
(3)今年以来，由于物价上涨及积压了去年未销售的产品等因素，该企业每月均需支出杂费6000 元(不论每月销售量如何，且天数不满一月时按整月计算).为了出售去年积压的4000 件该产品，企业计划以单价70元销售，每月可卖出350件.为了尽快回笼资金并确保获利，企业决定降价销售，每件该产品每降价1元(降价金额为整数)，每月可多卖出50 件，且要求在5个月内(含5 个月)将这批库存全部售出，如何定价可使获利最大？
21. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
[观察与猜想]
(1)如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、AD上的两点，连接DE、CF，DE⊥CF，则DECF的值为=______ ；
(2)如图②，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则CEBD的值为______ .
[性质探究]
(3)如图③，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90∘.点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F.求证：DE⋅AB=CF⋅AD；
[拓展延伸]
已知四边形ABCD是矩形，AD=6，AB=8
(4)如图④，点P是BC上的点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上.求OCOE的值；
(5)如图⑤，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，延长EP、AB交于点G.当BG=2时，DE=______ .
22. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠ACB=90∘，AB=10cm，BC=8cm，OD垂直平分AC.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF//AC，分别交AD，OD于点F，G.连接OP，EG.设运动时间为t(s)(0
(2)设四边形PEGO的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、111是有理数，故A符合题意；
B、315是无理数，故B不符合题意；
C、π是无理数，故C不符合题意；
D、−2是无理数，故D不符合题意；
故选：A.
根据有理数和无理数统称为实数，判断即可．
本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：0.000000006=6×10−9.
故选：D.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C
【解析】解：左起第1、3、4这三个图形既是中心对称图形又是轴对称图形，
第二个图形是中心对称图形，不是轴对称图形，
故选：C.
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4.【答案】B
【解析】解：①xy25−xy2=−45xy2，故①是错误的；
②(−3a2b)2=9a4b2，故②是错误的；
③a3⋅b÷a=a2b，故③是正确的的；
④(−mn3)2=m2n6，故④是正确的的；
故选：B.
分别根据合并同类项，积的乘方，单项式的除法，积的乘方法则求解．
本题考查了单项式乘单项式，熟记幂的运算法则是解题的关键，
5.【答案】C
【解析】解：从上面看可得到一个正方形，正方形里面有一条撇向的实线．
故选：C.
找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
6.【答案】B
【解析】解：如图，连接CD，
∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90∘，
∵AC=4，CD=2，
∴cos∠ACD=CDAC=24=12，
∴∠ACD=60∘，
∵∠EHF=70∘，
∴∠ACB=2∠EHF=140∘，
∴∠DCB=∠ACB−∠ACD=140∘−60∘=80∘，
∵CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD=180∘−80∘2=50∘，
∴∠BDF=∠CDB−∠CDF=90∘−50∘=40∘，
故选：B.
连接CD，由切线的性质得出CD⊥AB，∠CDB=90∘，利用解直角三角形求出∠ACD=60∘，由圆周角定理求出∠ACB=140∘，进而求出∠DCB=80∘，再利用等腰三角形的性质求出∠CDF的度数，继而求出∠BDF的度数．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90∘，根据勾股定理求出答案．
【解答】
解：连接BF，
∵BC=6，点E为BC的中点，
∴BE=3，
又∵AB=4，
∴AE=AB2+BE2=5，
由折叠知，BF⊥AE(对应点的连线必垂直于对称轴)，
∴12×AE×BH=12×AB×BE，
∴BH=AB×BEAE=125，
则BF=245，
∵FE=BE=EC，
∴∠BFC=90∘，
∴CF=62−(245)2=185.
故选D.
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的图象及一次函数的图象，解题关键是熟记一次函数图象与系数的关系，二次函数图象与系数的关系．
可先根据一次函数的图象判断a、−b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，逐项分析判断正误．
【解答】
解：A.由一次函数y=ax−b的图象可得：a>0，−b>0，此时二次函数y=−ax2−b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标为−b大于零，故A正确；
B.由一次函数y=ax−b的图象可得：a<0，−b>0，此时二次函数y=−ax2−b的图象应该开口向上，顶点的纵坐标为−b大于零，故B错误；
C.由一次函数y=ax−b的图象可得：a<0，−b>0，此时二次函数y=−ax2−b的图象应该开口向上，故C错误；
D.由一次函数y=ax−b的图象可得：a>0，−b>0，此时二次函数y=−ax2−b的图象应该开口向下，故D错误；
故选A.
9.【答案】k>−14且k≠2
【解析】解：根据题意得：(2k−1)2−4k(k−2)>0k−2≠0，
解得k>−14且k≠2.
故答案是：k>−14且k≠2.
关于x的函数y=(k−2)x2−(2k−1)x+k的图象与x轴有两个交点，则判别式b2−4ac>0，且二次项系数不等于0，据此列不等式求解．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．
△=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
10.【答案】24
【解析】解：设袋中共有m个白球，则摸到红球的概率P(红球)=66+m，
∴66+m=60300，
解得m=24，
经检验：m=24是分式方程的解，且符合题意，
所以估计袋子中白球的数量是24个，
故答案为：24.
设袋中共有m个白球，根据摸到红球的概率求出白球的数量，即可解答．
考查利用样本估计总体和频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
11.【答案】65×1−10%×1+5%−501−x2=65−50
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
每个季度平均降低成本的百分率为x，根据利润=售价-成本价，结合半年以后的销售利润为(65−50)元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：依题意，得：65×(1−10%)×(1+5%)−50(1−x)2=65−50.
故答案为：65×(1−10%)×(1+5%)−50(1−x)2=65−50.
12.【答案】32−102
【解析】解：∵BE平分∠DBC，
∴∠CBE=∠FBE，
∵CF⊥BE，
∴∠BEC=∠BEF=90∘，
又∵BE=BE，
∴△BEC≌△BEF(ASA)，
∴CE=FE，BF=BC=22，
同理：CH=GH，DG=CD=2，
∴HE是△CGF的中位线，
∴HE=12GF，
在矩形ABCD中，BC=22，CD=2，
由勾股定理得：BD=BC2+CD2=10，
∴GF=BF+DG−BD=32−10，
∴HE=32−102，
故答案为：32−102.
先证明△BEC≌△BEF，可得CE=FE，BF=BC=22，同理：CH=GH，DG=CD=2，从而得HE=12GF，再利用勾股定理得BD=10，进而即可求解．
本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，推出HE是△CGF的中位线是解题的关键．
13.【答案】解：如图，⊙O为所作．
【解析】先作AE的垂直平分线得到中点P，则以AE为直径可作⊙P，再过D点作AB的垂线交⊙P于Q点，接着在AC上截取AF=AQ，然后过F点作AC的垂线交DE的垂直平分线于O点，则以O点为圆心，OF为半径作圆即可．
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理、切线的判定与性质．
14.【答案】解：(1)(1−2a−2)÷a2−8a+164−a2
=a−4a−2÷(a−4)2−(a2−4)
=a−4a−2⋅−(a−2)(a+2)(a−4)2
=−a−2a−4；
(2){x−3(x−2)⩽4①1+2x3>x−1②，
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x<4，
故原不等式组的解集为：1≤x<4，
则其最大的整数解是：3.
【解析】(1)先通分，再把能分解的因式进行分解，除法转为乘法，再约分即可；
(2)利用解一元一次不等式组的方法进行求解，再确定其最大整数解即可．
本题主要考查分式的混合运算，解一元一次不等式组，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
15.【答案】解：(1)34；
(2)游戏不公平，理由如下：
列表得：
共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即(A,C)(C,A).
∴P(两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形)=212=16≠12.
∴游戏不公平，
修改规则：若抽到的两张牌面图形都是中心对称图形(或若抽到的两张牌面图形都是轴对称图形)，则小明获胜，否则小亮获胜．
【解析】本题考查用列举法求概率，中心对称图形和轴对称图形．
(1)直接根据概率公式计算即可．
(2)首先列表列出可能的情况，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，由概率公式得出概率，可得出游戏不公平，修改为概率相等即可使得游戏公平．
【解答】
解：(1)纸牌A、B、C、D中，是中心对称图形的有A、C、D，
则从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是34，
故答案为34；
(2)见答案．
16.【答案】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，过点A作AF⊥DE，垂足为F，
则∠AFE=∠AFD=∠DEC=∠DEB=∠B=90∘，∠CDE=37∘，∠ADF=73∘，
∴四边形ABEF是矩形，
∴AB=EF=200米，AF=BE，
设CD=x米，
在Rt△CDE中，DE=CD⋅cos37∘≈45x(米)，
CE=CD⋅sin37∘≈35x(米)，
∴DF=DE−EF=(45x−200)米，
∵BC=500米，
∴AF=BE=AB−CE=(500−35x)米，
在Rt△ADF中，tan73∘=AFDF≈103，
∴AF=103DF，
∴500−35x=103×(45x−200)，
解得：x≈357，
∴中餐台C到就餐区D(即CD)的距离为357米．
【解析】过点D作DE⊥BC，垂足为E，过点A作AF⊥DE，垂足为F，根据题意可得∠AFE=∠AFD=∠DEC=∠DEB=∠B=90∘，∠CDE=37∘，∠ADF=73∘，从而可得四边形ABEF是矩形，进而可得AB=EF=200米，AF=BE，然后设CD=x米，在Rt△CDE中，利用锐角三角函数的定义求出DE，CE的长，从而求出BE，AF，DF的长，最后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了矩形的判定，解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17.【答案】B9683.582.6分
【解析】解：(1)样本为n名学生的竞赛成绩，故选项A错误，不符合题意；
n=8÷16%=50，则a=50×24%=12，故选项B符合题意；
m=1−16%−24%−20%=40%，故选项C错误，不符合题意；
故选：B；
(2)∵90≤x≤100”这组的数据如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100.
∴“90≤x≤100”这组的数据的众数是96，
故答案为：96；
(3)随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是(83+84)÷2=83.5，
平均分是：150×(65×8+75×12+50×40%×88+95×10)=82.6(分)，
故答案为：83.5，82.6；
(4)1200×550=120(人)，
答：估计全校1200名学生中获奖的有120人．
(1)根据统计表和统计图中的数据，可以判断哪个选项符合题意；
(2)根据题目中的数据，可以写出“90≤x≤100”这组的数据的众数；
(3)根据题目中的数据，可以计算出中位数和平均数；
(4)根据题目中的数据，可以计算出全校1200名学生中获奖的人数．
本题考查扇形统计图、统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18.【答案】解：(1)设反比例函数的解析式为y=kx，
∵反比例函数的图象经过点A(−4,−3)，
∴k=−4×(−3)=12，
∴反比例函数的解析式为y=12x，
∵反比例函数的图象经过点B(2m,y1)，C(6m,y2)，
∴y1=122m=6m，y2=126m=2m，
∵y1−y2=4，
∴6m−2m=4，
∴m=1，
经检验，m=1是原方程的解．
故m的值是1；
(2)设BD与x轴交于点E.
∵点B(2m,6m)，C(6m,2m)，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，
∴D(2m,2m)，BD=6m−2m=4m.
∵三角形PBD的面积是8，
∴12BD⋅PE=8，
∴12⋅4m⋅PE=8，
∴PE=4m，
∵E(2m,0)，点P在x轴上，
∴点P坐标为(−2m,0)或(6m,0).
【解析】(1)先根据反比例函数的图象经过点A(−4,−3)，利用待定系数法求出反比例函数的解析式为y=12x，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出y1=122m=6m，y2=126m=2m，然后根据y1−y2=4列出方程6m−2m=4，解方程即可求出m的值；
(2)设BD与x轴交于点E.根据三角形PBD的面积是8列出方程12⋅4m⋅PE=8，求出PE=4m，再由E(2m,0)，点P在x轴上，即可求出点P的坐标．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，正确求出双曲线的解析式是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90∘.
∵BH⊥AF，
∴∠AHG=∠AHB=90∘，
∴∠GAH+∠AGH=90∘=∠OBG+∠AGH，
∴∠GAH=∠OBG，
即∠OAE=∠OBG.
在△OAE与△OBG中，
∠OAE=∠OBGOA=OB∠AOE=∠BOG，
∴△OAE≌△OBG(ASA)；
(2)解：四边形BFGE为菱形；理由如下：
在△AHG与△AHB中，
∠GAH=∠BAHAH=AH∠AHG=∠AHB，
∴△AHG≌△AHB(ASA)，
∴GH=BH，
∴AF是线段BG的垂直平分线，
∴EG=EB，FG=FB.
∵∠BEF=∠BAE+∠ABE=67.5∘，∠BFE=90∘−∠BAF=67.5∘，
∴∠BEF=∠BFE，
∴EB=FB，
∴EG=EB=FB=FG，
∴四边形BFGE是菱形．
【解析】(1)由正方形的性质得出OA=OB，∠AOE=∠BOG=90∘，再由角的互余关系证出∠OAE=∠OBG，由ASA即可证明△OAE≌△OBG；
(2)先证明△AHG≌△AHB，得出GH=BH，由线段垂直平分线的性质得出EG=EB，FG=FB；再证出∠BEF=∠BFE，得出EB=FB，因此EG=EB=FB=FG，即可得出结论．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、菱形的判定；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)设y1=kx+b(k≠0,1≤x≤6)，
由图可知，y1经过点(1,600)和(4,450)，
∴k+b=6004k+b=450，
∴k=−50b=650，
∴y1=−50x+650(1≤x≤6)，
当x=6时，y1=y2=−50×6+650=350，
∴设y2=a(x−6)2+350(a≠0,6
∴430=a(10−6)2+350，
∴a=5，
∴y2=5(x−6)2+350=5x2−60x+530(6
当1≤x≤6时，w=(60+52x−50−12x)⋅(−50x+650)，
整理得：w=−100x2+800x+6500=−100(x−4)2+8100，
∵−100<0，
∴当x=4时，获得最大利润，最大利润为8100元，
当7≤x≤12时，此时z=60+52×6=75(元)，p=12×6=3(元)，
则w=(75−50−3)[5(x−6)2+350]=110(x−6)2+7700，
∵110>0，
∴当7≤x≤12时，y随x的增大而增大，
∴当x=12时，获得最大利润，最大利润为110×(12−6)2+7700=11660(元)，
∵11660>8100，
∴该产品在去年12月获得最大利润，最大利润为11660元；
(3)设降价m元销售(m为整数)，所获的利润为w′元，
由题意得：w′=(70−50−m)×4000−6000×4000350+50m，
∵要求在5个月内(含5 个月)将这批库存全部售出，
∴4000350+50m≤5，
解得：m≥9，
∵70−50−m>0，即m<20，
∴9≤m<20，
∵4000能被350+5m整除，
∴m可以取9，13，
当m=9时，w′=(70−50−9)×4000−6000×4000350+50×9=14000，
当m=13时，w′=(70−50−13)×4000−6000×4000350+50×13=4000，
∵14000>4000，
∴当每件该产品降价9元时，获利最大．
【解析】(1)根据题意可设y1=kx+b(k≠0,1≤x≤6)，y2=a(x−6)2+350(a≠0,6
(3)设降价m元销售(m为整数)，所获的利润为w′元，根据题意可得w′=(70−50−m)×4000−6000×4000350+50m，根据每件产品获利大于0和要求在5个月内(含5个月)将这批库存全部售出得9≤m<20，再由4000350+50m为整数得m可以取9，13，最后分别代入求出利润对比即可．
本题主要考查二次函数的应用、一次函数的应用、用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质．在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
21.【答案】147 83
【解析】(1)解：如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠A=∠CDF=90∘，
∵DE⊥CF，
∴∠DCF=90∘−∠EDC=∠ADE，
∴△ADE≌△DCF(ASA)，
∴DE=CF，
∴DECF=1，
故答案为：1；
(2)解：如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90∘=∠CDE，
∵CE⊥BD，
∴∠DCE=90∘−∠BDC=∠ADB，
∴△DCE∽△ADB，
∴CEBD=CDAD，
∵AD=7，CD=4，
∴CEBD=47，
故答案为：47；
(3)证明：过F作FK⊥BC于K，如图：
∵∠A=∠B=90∘，FK⊥BC，
∴四边形ABKF是矩形，
∴AB=FK，AF//BC，
∴∠FCK=∠GFD，
∵∠G=∠A=90∘，∠ADE=∠GDF，
∴∠AED=∠GFD，
∴∠FCK=∠AED，
∵∠FKC=90∘=∠A，
∴△FKC∽△DAE，
∴FKAD=CFDE，
∴FK⋅DE=AD⋅CF，
∴DE⋅AB=CF⋅AD；
(4)解：过O作OM⊥AD于点M，ON⊥CD于点N，如图：
∴∠OMD=∠OND=90∘，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=6，AB=CD=8，∠MDN=∠A=∠BCD=90∘，
∴四边形OMDN是矩形，
∴∠MON=90∘，
∵PE⊥CF于点O，
∴∠COE=90∘，
∴∠CON=∠EOM=90∘−∠EON，
∵∠ONC=∠OME=90∘，
∴△ONC∽△OME，
∴OCOE=ONOM，
∵∠OND=∠BCD，
∴ON//BC，
∴△DON∽△DBC，
∴ONBC=ODBD，
同理OMAB=ODBD，
∴ONBC=OMAB，
∴ONOM=BCAB，
∴OCOE=BCAB=68=34；
(5)解：连接CE、CG，如图：
∵∠ABC=90∘，
∴∠PBG=180∘−∠ABC=90∘，
∴∠PBG=∠POC=90∘，
∵∠BPG=∠OPC，
∴△BPG∽△OPC，
∴PBPO=PGPC，
∴PBPG=POPC，
∵∠OPB=∠CPG，
∴△OPB∽△CPG，
∴∠CBD=∠OGC，
由(4)知OCOE=34，
∵CBCD=68=34，
∴OCOE=CBCD，
∵∠COE=∠BCD=90∘，
∴△COE∽△BCD，
∴∠CDB=∠OEC，
∴∠OGC+∠OEC=∠CBD+∠CDB=90∘，
即∠ECG=90∘，
∴∠BCG=∠DCE=90∘−∠BCE，
∵∠CBG=∠CDE=90∘，
∴△CBG∽△CDE，
∴BGDE=CBCD=34，
∴DE=43BG=43×2=83，
故答案为：83.
(1)由四边形ABCD是正方形，DE⊥CF，证明△ADE≌△DCF(ASA)，可得DE=CF，即可得到答案；
(2)由四边形ABCD是矩形，CE⊥BD，证明△DCE∽△ADB，可得CEBD=CDAD，即可得到答案；
(3)过F作FK⊥BC于K，由∠A=∠B=90∘，FK⊥BC，得四边形ABKF是矩形，有AB=FK，AF//BC，可证△FKC∽△DAE，从而FKAD=CFDE，即得DE⋅AB=CF⋅AD；
(4)过O作OM⊥AD于点M，ON⊥CD于点N，证明△ONC∽△OME，有OCOE=ONOM，而ONBC=ODBD，OMAB=ODBD，可得ONBC=OMAB，有ONOM=BCAB，故OCOE=BCAB=34；
(5)连接CE、CG，证明△BPG∽△OPC，得PBPO=PGPC，又∠OPB=∠CPG，可得△OPB∽△CPG，故∠CBD=∠OGC，由OCOE=CBCD，可得△COE∽△BCD，故∠CDB=∠OEC，即可得∠ECG=90∘，从而△CBG∽△CDE，有BGDE=CBCD=34，所以DE=43BG=83.
本题考查四边形综合应用，涉及正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，熟练掌握正方形的性质和矩形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于考试压轴题．
22.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∵∠ACB=90∘，AB=10cm，BC=8cm，
∴AC=102−82=6(cm)，
∵OD垂直平分线段AC，
∴OC=OA=3(cm)，∠DOC=90∘，
∵CD//AB，
∴∠BAC=∠DCO，
∵∠DOC=∠ACB，
∴△DOC∽△BCA，
∴ACOC=ABCD=BCOD，
∴63=10CD=8OD，
∴CD=5(cm)，OD=4(cm)，
∵PB=t，PE⊥AB，
易知：PE=34t，BE=54t，
当点E在∠BAC的平分线上时，
∵EP⊥AB，EC⊥AC，
∴PE=EC，
∴34t=8−54t，
∴t=4.
∴当t为4秒时，点E在∠BAC的平分线上．
(2)如图，连接OE，PC.
S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+(S△OPC+S△PCE−S△OEC)
=12⋅(4−45t)⋅3+[12⋅3⋅(8−45t)+12⋅(8−54t)⋅35t−12⋅3⋅(8−54t)
=−38t2+158t+6(0
(3)存在．
∵S=−38(t−52)2+26732(0
(4)存在．如图，连接OQ.
∵OE⊥OQ，
∴∠EOC+∠QOC=90∘，
∵∠QOC+∠QOG=90∘，
∴∠EOC=∠QOG，
∴tan∠EOC=tan∠QOG，
∴ECOC=GQOG，
∴8−54t3=35t4−45t，
整理得：5t2−66t+160=0，
解得t=165或10(舍弃)
∴当t=165秒时，OE⊥OQ.
【解析】(1)当点E在∠BAC的平分线上时，因为EP⊥AB，EC⊥AC，可得PE=EC，由此构建方程即可解决问题．
(2)根据S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+(S△OPC+S△PCE−S△OEC)构建函数关系式即可．
(3)利用二次函数的性质解决问题即可．
(4)证明∠EOC=∠QOG，可得tan∠EOC=tan∠QOG，推出ECOC=GQOG，由此构建方程即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
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