2023年四川省泸州市泸县中考数学一模试卷（含解析）

2023年四川省泸州市泸县中考数学一模试卷

1.  方程的解为(    )

A.  B.
C. ， D. ，

2.  下列事件为必然事件的是(    )

A. 太阳从西方升起 B. 任意画一个三角形，其内角和为
C. 世界杯足球赛罚点球，一定进球 D. 抛掷一枚硬币，一定正面朝上

3.  下列图形中是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  一元二次方程的根的情况为(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定

5.  对于二次函数的图象，下列说法正确的是(    )

A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 与x轴有两个交点

6.  如图，∽，AD和分别是和的高，若，，则与的面积的比为(    )

A. 4：9 B. 9：4 C. 2：3 D. 3：2

7.  在平面直角坐标系xOy中，以点为圆心，4为半径的圆与x轴的位置关系是(    )

A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 无法判断

8.  把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，四边形ABCD是的内接四边形，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，绕点O逆时针旋转到的位置，已知，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

11.  为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元，则平均每次降价的百分率为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知二次函数的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：

那么的值为(    )

A. 18 B. 15 C. 9 D. 3

13.  二次函数的最大值为______ .

14.  不透明袋子里装有仅颜色不同的4个白球和3个红球，从袋子中随机摸出一球，“摸出红球”的概率是______.

15.  如图，AB为的直径，E为弦CD的中点，若，且，则BC的长是______ .

16.  如图，是以原点为圆心，为半径的圆，点P是直线上的一点，过点P作的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为______.

17.  解方程：

18.  如图，AB是的直径，点C是圆上一点，连接AC和BC，过点C作于点
求证：∽；
若，，求的半径长.

19.  已知关于x的一元二次方程有两个实数根.
求m的取值范围；
如果方程的两个实数根为，，且，求m的值.

20.  如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是，，将绕点O逆时针旋转后得到
在网格中画出；
旋转过程中点B运动的路径为，求的长.

21.  如图，抛物线与x轴交于两点A，B，与y轴交于点
求抛物线的顶点坐标；
求的面积.

22.  某公司推出一种高效环保洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象刻画了该公司年初以来累积利润万元与销售时间月之间的关系即前t月的利润总和S与t之间的关系
根据图象，求累积利润万元与时间月之间的函数关系式：
求截止到几月末公司累积利润可达到30万元.

23.  为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动.学生根据自己的喜好选择一门艺术项目：书法，B：绘画，C：摄影，D：泥塑，E：剪纸，张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图如图所示

张老师调查的学生人数是______ 名.
现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书法的概率.

24.  如图，已知内接于，AB是的直径，的平分线交BC于点D，交于点E，连接EB，作，EF交AB的延长线于点
求证：；
求证：EF是的切线；
若，，求的半径和AD的长.

25.  如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点
求该二次函数的表达式；
连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：原方程移项，得
，
分解因式，得
  ，
即或，
解得：或，
所以方程的解为，
故选：
先移项得到，然后利用因式分解法求解方程即可．
本题主要考查解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解.
 

2.【答案】B 

【解析】解：太阳从西边升起，是不可能事件，故此选项不符合题意；
B.任意画一个三角形，其内角和为，是必然事件，故此选项符合题意；
C.世界杯足球赛罚点球，一定进球，是随机事件，故此选项不符合题意；
D.抛掷一枚硬币，一定正面朝上，是随机事件，故此选项不符合题意．
故选：
A.利用不可能事件的定义分析得出答案；
B.利用必然事件的定义分析得出答案；
C.利用随机事件的定义分析得出答案；
D.利用随机事件的定义分析得出答案．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握相应概念是关键．
 

3.【答案】C 

【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
 

4.【答案】C 

【解析】解：根据题意得，
方程没有实数根，
故选：
根据判别式的值确定根的情况即可．
本题主要考查根的判别式，能够熟练计算判别式并判断根的情况是解题关键．
 

5.【答案】C 

【解析】解：二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，抛物线与x轴没有公共点．
故选：
根据抛物线的性质由得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
本题考查了二次函数的性质：二次函数的顶点式为，的顶点坐标是，对称轴直线，当时，抛物线的开口向上，当时，抛物线的开口向下．
 

6.【答案】A 

【解析】

【分析】
根据相似三角形的性质可直接得出结论．
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形多边形的高的比等于相似比是解答此题的关键．
【解答】
解：∽，AD和分别是和的高，，，
其相似比为2：3，
与的面积的比为4：9；
故选：  

7.【答案】C 

【解析】解：圆心的坐标为，
圆心与x轴距离为4，等于其半径4，
以点为圆心，4为半径的圆与x轴的关系为相切．
故选：
先找出圆心到x轴的距离，再与圆的半径进行比较，若圆心到x轴的距离小于半径，则圆与x轴相交，大于半径则圆与x相离，若二者相等则相切．
本题主要考查了圆与直线的位置关系，点到坐标轴的距离，熟练掌握圆心距与圆到直线距离的大小关系对应的位置关系是关键．
 

8.【答案】C 

【解析】解：由题意得原抛物线的顶点为，
平移后抛物线的顶点为，
新抛物线解析式为，
故选：
易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．
考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得到新抛物线的顶点是解决本题的突破点．
 

9.【答案】D 

【解析】解：，
，
四边形ABCD为的内接四边形，
，
，
故选：
根据圆周角定理求出，再利用圆内接四边形性质得出，即可求出的度数．
本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理及圆内接四边形的性质是解答此题的关键．
 

10.【答案】D 

【解析】解：绕点O逆时针旋转到的位置，
，

故选：
首先根据旋转角定义可以知道，而，然后根据图形即可求出
此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识．
 

11.【答案】B 

【解析】解：由题意得：，
解得：或舍去
平均每次降价的百分率为
故选：
设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是，根据关键语句“连续两次降价后为81元，”可得答案．
本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是明确若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为
 

12.【答案】A 

【解析】解：由表可知，和时的y值相等，即两点关于对称轴对称，
则该二次函数的对称轴是，，
由二次函数的对称性得：时的y值与时的y值相等，即为，
将，代入二次函数的解析式得：，
则
，
，
故选：
根据和时的y值相等，两点关于对称轴对称可得对称轴，再根据二次函数的对称性可求出时，，从而可得，然后代入求值即可得．
本题考查了二次函数的对称性与对称轴，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
 

13.【答案】4 

【解析】解：，
此函数的顶点坐标是，
，抛物线开口向下，
当时，函数有最大值，最大值是
故答案为：
所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是，也就是当时，函数有最大值
本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．
 

14.【答案】 

【解析】解：不透明袋子里装有仅颜色不同的4个白球和3个红球，共7个球，
从袋子中随机摸出一个小球，摸出的球是红球的概率是
故答案为：
用红色球的个数除以球的总个数即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

15.【答案】4 

【解析】解：为的直径，E为弦CD的中点，
，
，
，
，
故答案为：
先由垂径定理的推论得出，从而得，再由圆周角定理得出，然后由直角三角形的性质得出答案．
本题考查垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理的推论，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质是解题词的关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：切线的性质，勾股定理，配方法的应用，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
由P在直线上，设，连接OQ，OP，由PQ为圆O的切线，得到，在直角三角形OPQ中，利勾股定理列出关系式，配方后利用二次函数的性质即可求出PQ的最小值．
【解答】
解：在直线上，
设P坐标为，
连接OQ，OP，由PQ为圆O的切线，得到，
在中，根据勾股定理得：，
，
则当时，切线长PQ的最小值为
故答案为：  

17.【答案】解：，
移项，得，，
提公因式，得，
解得， 

【解析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解即可．
本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

18.【答案】证明：是的直径，
，
，
，
，
，
又，
∽

解：在中，，，
，
∽，
，即，
，
的半径长为 

【解析】由直径所对圆周角为直角得出，则，再由，得，根据余角的性质得，又由，即可由相似三角形的判定定理得出结论；
先由勾股定理求得，再由∽，得，代入计算即可求得直径，从而求得半径．
本题考查圆周角定理的推论，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：根据题意，得，即，
；
由根与系数的关系，得，，
，
，即，
解得舍去，
的值为 

【解析】根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；
根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再由完全平方公式的变形得到，由此解方程即可得到答案．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，完全平方公式的变形求值，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图所示；

由勾股定理得：，
的长，
即的长为 

【解析】根据旋转的性质作图即可；
利用勾股定理求出OB，再利用弧长公式计算即可．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，弧长的计算，掌握旋转性质及弧长计算公式是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
抛物线的顶点坐标为；
解：令，则，
，
，
令，则，
解得：，，
，，
，
 

【解析】将抛物线解析式化成顶点式，即可求解；
先求得抛物线与y轴、x轴交点坐标，再由三角形面积公式求解即可．
本题考查求抛物线顶点坐标，抛物线与坐标轴的交点，三角形的面积，熟练掌握将抛物线解析式化成顶点式和求抛物线与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
 

22.【答案】解：二次函数的解析式
由图可知，图象经过，，，
将这三点的坐标分别代入解析式，得，
，
解得，
累积利润S与时间t之间的函数关系式
把代，即
解，舍去
答：截止到10月末公司累积利润可达到30万元． 

【解析】根据图象，用待定系数法求解即可；
代入累计利润的函数关系式里，求得月份．
本题考查待定系数法求二次函数解析式，由函数值求自变量值，熟练掌握从函数图象获取信息和用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
 

23.【答案】50 

【解析】解：张老师调查学生的人数为：名
答：张老师调查的学生人数是50名．
故答案为：50；
把2人选修书法的记为A、B，1人选修绘画的记为C，1人选修摄影的记为D，
画树状图如图：

共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，
所选2人都是选修书法的概率为
答：所选2人都是选修书法的概率是
由书法的人数除以所占百分比即可得出．
画树状图，共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，最后根据概率公式即可得出．
本题考查用列表法或画树状图法求概率，条形统计图和扇形统计图的理解与应用能力．涉及知识点：概率=所求情况数与中情况数之比．利用列表法或画树状图法以不错不漏地列出所有等可能的结果是解本题的关键．
 

24.【答案】证明：，，
，
；
证明：

连接OE，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：如图，设的半径为x，则，，

在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
的半径为15；
，，
∽，
，
，
是的直径，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
，
，
即，
 

【解析】由圆周角定理及已知条件进行等量代换，然后利用内错角相等两直线平行证明即可；
利用角平分线及圆周角定理得出E是的中点，再利用垂径定理及平行线的性质推导得出为直角，即可证明；
先证明∽，然后利用勾股定理计算得出AE，BE的长，再利用平行线所截线段成比例求出
本题主要考查平行的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，切线的证明以及相似三角形，掌握切线的证明，相似三角形的判定及计算是解决本题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线经过点，，
，
解得：，
该二次函数的表达式为；
存在，理由如下：
如图1，当点在BC上方时，
若，
则，即轴，
点与点C关于抛物线的对称轴对称，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
；
当点在BC下方时，设交x轴于点，
则，，
，
，
在中，，
，
解得：，
，
设直线CD的表达式为，则，
解得：，
直线CD的表达式为，
联立，得，
解得：舍去，，
，
综上所述，点P的坐标为或；
由知：抛物线的对称轴为直线，
，
设，且，
设直线AQ的表达式为，则
解得：，
直线AQ的表达式为，
当时，，
，
同理可得直线BQ的表达式为，
当时，，
，
，，
，
故的值为定值 

【解析】

【分析】
运用待定系数法即可求得答案；
分两种情况：当点P在BC上方时，根据平行线的判定定理可得轴，可得；当点P在BC下方时，设交x轴于点，则，，利用勾股定理即可求得，得出，再运用待定系数法求得直线CD的表达式为，通过联立方程组求解即可得出；
设，且，运用待定系数法求得直线AQ的表达式为，直线BQ的表达式为，进而求出点M，N的坐标，用t分别表示出EM，EN，即可得出答案．
【解答】
解：抛物线经过点，，
，
解得：，
该二次函数的表达式为；
存在，理由如下：
如图1，当点在BC上方时，
若，
则，即轴，
点与点C关于抛物线的对称轴对称，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
；
当点在BC下方时，设交x轴于点，
则，，
，
，
在中，，
，
解得：，
，
设直线CD的表达式为，则，
解得：，
直线CD的表达式为，
联立，得，
解得：舍去，，
，
综上所述，点P的坐标为或；
由知：抛物线的对称轴为直线，
，
设，且，
设直线AQ的表达式为，则
解得：，
直线AQ的表达式为，
当时，，
，
同理可得直线BQ的表达式为，
当时，，
，
，，
，
故的值为定值
【点评】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，平行线的性质及应用，等腰三角形的判定，二次函数的性质，勾股定理等知识，属于中考压轴题，掌握相关知识并能综合运用是解题关键．