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2023年北京市昌平区中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年北京市昌平区中考数学二模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年北京市昌平区中考数学二模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 经文化和旅游部数据中心测算，2023年清明节假期(4月5日)，全国国内旅游出游2376.64万人次，较去年清明节当日增长22.7%.将23766400用科学记数法表示应为( )
A. 237.664×105 B. 23.7664×106 C. 2.37664×107 D. 2.37664×108
2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是( )
A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 圆柱 D. 长方体
3. 若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论正确的是( )
A. |a|>|b| B. ab>0 C. −a>b D. a
口味
顾客1
顾客2
顾客3
顾客4
顾客5
A
7
9
8
6
10
B
5
6
10
10
9
A. xA−>xB−，SA2=SB2 B. xA−=xB−，SA2>SB2
C. xA−=xB−，SA2
A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4
6. 一个不透明的盒子中装有10个除颜色外无其他差别的小球，其中有1个黄球和3个绿球，其余都是红球，从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为( )
A. 35 B. 310 C. 15 D. 13
7. 船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔.只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，P，M，N是网格线交点，当船航行到点P的位置时，此时与两个灯塔M，N间的角度(∠MPN的大小)一定无触礁危险.那么，对于A，B，C，D四个位置，船处于_____时，也一定无触礁危险.( )
A. 位置A B. 位置B C. 位置C D. 位置D
8. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到表格如表．
供水时间x(小时)
0
2
4
6
8
箭尺读数y(厘米)
6
18
30
42
54
那么箭尺读数y和供水时间x最可能满足的函数关系是( )
A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 二次函数关系 D. 反比例函数关系
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若代数式1x−4有意义，则实数x的取值范围是______ ．
10. 分解因式：2x3−4x2+2x=______．
11. 分式方程1x=2x+3的解为 ．
12. 写出一个比 2大且比 17小的整数______．
13. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥AC，若BC=2，DE=1，则S△BCD= ______ ．
14. 不等式x+1<4+3x2的解集为______ ．
15. 一个正多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个正多边形是正______ 边形．
16. 某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满．
(1)要想使花费最少，需要______ 间两人间；
(2)现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要______ 间三人间．
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题5.0分)
计算：(1− 5)0+|− 2|−2cos45°+(14)−1．
18. (本小题5.0分)
已知5x2−x−2=0，求代数式(2x+1)(2x−1)+x(x−1)的值．
19. (本小题5.0分)
用尺规“三等分任意角”是数学史上一个著名难题，它已经被数学家伽罗瓦用《近世代数》和《群论》证明是不可能的.但对于特定度数的已知角，如90°角，45°角等，是可以用尺规进行三等分的.下面是小明的探究过程：
已知：如图1，∠AOB=90°．
求作：射线OE，OG三等分∠AOB．
作法：如图2，
①在射线OB上取任一点C；
②分别以O，C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在OB上方交于点E，在OB下方交于点F，连接CE；
③作直线EF交OC于点D；
④以D为圆心，OD长为半径作圆，交线段CE于点G(点G不与点C重合)；
⑤作射线OG，OE．
所以射线OG，OE即为所求射线．
(1)利用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵OE=OC=CE，
∴△COE为等边三角形．
∴∠COE=60°．
∴∠AOE=∠AOB−∠COE=30°．
∵OC为⊙D的直径，
∴∠CGO= ______ °.
又∵OE=OC，OG⊥EC，
∴OG平分∠EOC ______ (填推理的依据)．
∴∠COG=∠EOG=12∠COE=30°．
∴∠AOE=∠COG=∠EOG．
即射线OE，OG三等分∠AOB．
20. (本小题5.0分)
关于x的一元二次方程x2−kx+k−1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于0，求k的取值范围．
21. (本小题5.0分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是过点O作BC的平行线与过点B作BD的垂线(垂足为B)的交点．
(1)求证：四边形OEBC是平行四边形；
(2)连接AE，求证：四边形AEBO是矩形．
22. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx(k≠0)过点(1,3)．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)当0
如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，过点A作直线PA，使∠PAC=∠ABC．
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)点D是弧BC中点，连接DO并延长，分别交BC，PA于点E，F，若BC=8，cos∠PAC=45，求线段DF的长．
24. (本小题6.0分)
兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展.小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高1m的墙体A处，另一端固定在离地面高1m的墙体B处，记大棚的截面顶端某处离A的水平距离为x m，离地面的高度为y m，测量得到如表数值：
x/m
0
1
2
4
5
y/m
1
83
113
113
83
小梅根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小梅的探究过程，请补充完整：
(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点(x,y)，并画出函数的图象；
解决问题：
(2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为______ m；此时距离A的水平距离为______ m；
(3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面1.5m时补光效果最好，若在距离A处水平距离1.5m的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少m？(灯的大小忽略不计)
25. (本小题6.0分)
某学校初中各年级进行体质健康测试，为了解学生成绩，从七年级和九年级各随机抽取40名学生的成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a.七年级成绩的频数分布直方图如图(数据分成5组)：
60≤x<70，70≤x<80，0≤x<90，90≤x<100，100≤x<110
b.七年级成绩在80≤x<90这一组的是：
82 82 83 84 85 85 85 87 87 88 88
c.七年级、九年级成绩的平均数、中位数如表：
平均数
中位数
七年级
87.55
m
九年级
86.25
90
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m的值；
(2)分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，不少于90分就可以赋予“优秀”等级，七年级赋予“优秀”等级的学生人数为p1，九年级赋予“优秀”等级的学生人数为p2，判断p1，p2大小，并说明理由；
(3)该校共有七年级学生310人，不少于80分就可以赋予“良好”等级，估计该校七年级所有学生本次体质健康测试成绩等级为良好及以上的人数为______ (直接写出结果)．
26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系xOy中，点(2a+1,m)，(b,n)是抛物线y=ax2−2a2x+c(a≠0,c>0)上的点．
(1)当a=1时，求抛物线对称轴，并直接写出m与c大小关系；
(2)若对于任意的2≤b≤4，都有m>c>n，求a的取值范围．
27. (本小题7.0分)
在等边△ABC中，点D是AB中点，点E是线段BC上一点，连接DE，∠DEB=α(30°≤α<60°)，将射线DA绕点D顺时针旋转α，得到射线DQ，点F是射线DQ上一点，且DF=DE，连接FE，FC．
(1)补全图形；
(2)求∠EDF度数；
(3)用等式表示FE，FC的数量关系，并证明．
28. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P，点Q和直线l，点P关于l的对称点P′，点Q是直线l上一点，将线段P′Q绕点P′逆时针旋转90°得到P′K，如果线段P′K与直线l有交点，称点K是点P关于直线l和点Q的“双垂点”．
(1)若P(2,1)，点K1(1,1)，K2(1,0)，K3(1,−2)中是点P关于x轴和点Q的“双垂点”的是______ ；
(2)若点Q(0,5)，点P，K是直线y=x+3上的点，点K是点P关于y轴和点Q的“双垂点”，求P点的坐标；
(3)点P在以(0,t)为圆心，1为半径的圆M上，直线l：y=x+2，若圆M上存在点K是点P关于直线l和点Q的“双垂点”，直接写出t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：23766400=2.37664×107．
故选：C．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：根据主视图与左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形判断出这个几何体是三棱柱．
故选：B．
根据三视图的定义解答即可．
本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握三视图的定义是解答本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：由图可知，−2
B.∵a<−1<0<2
根据实数a，b在数轴上的点的位置，判断a、b的符号以及绝对值的大小即可对选项逐一判断．
本题考查了实数与数轴的对应关系以及绝对值，认真分析数轴得到有用信息是解决本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A味道的平均数为7+9+8+6+105=8，方差为15×[(7−8)2+(9−8)2+(8−8)2+(6−8)2+(10−8)2]=2，
B味道的平均数为5+6+10+10+95=8，方差为15×[(5−8)2+(6−8)2+(10−8)2+(10−8)2+(9−8)2]=4.4．
故选：C．
根据算术平均数和方差公式计算出结果，即可得出答案．
本题考查了算术平均数和方差，熟练掌握算术平均数和方差的公式是关键．
5.【答案】C
【解析】解：连接B′D′，
∵四边形A′B′C′D′是正方形，
∴∠B′C′D′=90°，
∴B′D′是圆O的直径，
∵正方形ABCD的面积为4，
∴正方形ABCD的边长为2，
∵正方形ABCD的与A′B′C′D′是位似图形，AB：A′B′=1：2，
∴B′C′=C′D′=4，
∴B′D′= 42+42=4 2，
∴四边形A′B′C′D′的外接圆的半径为2 2，
故选：C．
连接B′D′，根据正方形的性质得到∠B′C′D′=90°，得到B′D′是圆O的直径，根据相似比的概念求出B′C′=C′D′=4，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是位似变换、相似多边形的性质，熟记90°的圆周角所对的弦是直径是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵盒子中装有6个红球，1个黄球和3个绿球，共有10个球，
∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是610=35；
故选：A．
直接根据概率公式求解．
本题考查了概率公式，掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：如图，连接MB，NB，
设正方形网格边长为1，则NB=MP=3 2，PN=BM= 10，
∵MN=NM，
∴△BMN≌△PNM(SSS)，
∴∠P=∠B，
∵当船航行到点P的位置时，一定无触礁危险，
∴船处于B时，也一定无触礁危险，
故选：B．
连接MB，NB，设正方形网格边长为1，用勾股定理求出NB=MP=3 2，PN=BM= 10，证明△BMN≌△PNM(SSS)，得到∠P=∠B，选出船的位置．
本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：根据表格中数据可知，每经过2小时，箭尺的读数增加12厘米，
∴猜测箭尺读数y和供水时间x最可能满足的函数关系是一次函数，
设这条直线所对应的函数表达式为y=kx+b，
则，2k+b=18b=6，
解得：k=6b=6，
∴y=6x+6，
当x=4时，y=6×4+6=30；
当x=6时，y=6×6+6=42，
当x=8时，y=8×6+6=54，
∴箭尺读数y和供水时间x最可能满足的函数关系是一次函数．
故选：B．
根据表格数据判断箭尺读数y和供水时间x最可能满足的函数关系是一次函数，然后设出一次函数解析式，用待定系数法求出函数解析式，再把其他数据代入验证即可．
本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
9.【答案】x≠4
【解析】解：因为分式有意义的条件是分母不能等于0，
所以x−4≠0，
所以x≠4．
故答案为：x≠4．
根据分式有意义的条件，分母不能等于0，列不等式求解即可．
本题主要考查分式有意义的条件，解决本题的关键是要熟练掌握分式有意义的条件．
10.【答案】2x(x−1)2
【解析】解：2x3−4x2+2x
=2x(x2−2x+1)
=2x(x−1)2．
故答案为：2x(x−1)2．
先提取公因式2x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11.【答案】x=3
【解析】解：1x=2x+3，
方程两边都乘以x(x+3)约去分母得：
x+3=2x，
解这个整式方程得x=3，
检验：当x=3时，x(x+3)≠0，
∴x=3是原分式方程的解．
故答案为：x=3．
先去分母化为整式方程，解整式方程，检验即可．
本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．
12.【答案】3(答案不唯一)
【解析】解：∵ 2<2<3<4< 17，
∴写出一个比 2大且比 17小的整数如3(答案不唯一)；
故答案为：3(答案不唯一)．
先对 2和 17进行估算，再根据题意即可得出答案．
此题考查了估算无理数的大小，估算出 2<2<3<4< 17是解题的关键．
13.【答案】1
【解析】解：过点D作DF⊥BC于点F，如图所示．
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，
∴DF=DE=1．
∴S△BCD=12⋅BC⋅DF
=12×2×1
=1．
故答案为：1．
过点D作DF⊥BC于点F，则DF=DE，再利用三角形的面积公式，即可求出△BCD的面积．
本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，牢记“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键．
14.【答案】x>−2
【解析】解：去分母得：2x+2<4+3x，
移项得：2x−3x<4−2，
合并同类项得：−x<2，
系数化为1得：x>−2．
故答案为x>−2．
本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，按照解一元一次不等式的步骤求得x的解集．
本题主要考查了解一元一次不等式的方法，需要注意在不等式两边都除以同一个负数时，应改变不等号的方向．
15.【答案】六
【解析】解：设正多边形的边数是n，根据题意得，
(n−2)⋅180°=2×360°，
解得n=6，
∴这个多边形为六边形．
故答案为：六．
根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于(n−2)⋅180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
16.【答案】1 8
【解析】解：(1)∵200÷2=100(元/人)，250÷3=2503(元/人)，100>2503，
∴三人间的人均费用低，
∴租住的两人间越少，花费越少．
∵27÷3=9(间)，23÷3=7(间)……2(人)，2÷2=1(间)，
∴要想使花费最少，需要租住1间两人间．
故答案为：1；
(2)∵200×0.8÷2=(80元/人)，80<2503，
∴两人间的人均费用低，
∴租住的两人间越多，花费越少．
设男生租住a间两人间，b间三人间，女生租住m间两人间，n间三人间，
根据题意得：2a+3b=27，2m+3n=23，
∴b=9−23a，n=23−2m3．
又∵a，b，m，n均为非负整数，
∴a=0b=9或a=3b=7或a=6b=5或a=9b=3或a=12b=1；m=1n=7或m=4n=5或m=7n=3或m=10n=1．
又∵a+m≤15，
∴a+m的最大值为13，此时b+n的值为8，
∴要想花费最少，需要租住8间三人间．
故答案为：8．
(1)利用每个房间的人均费用=该房间的收费÷房间可住人数，可分别求出两人间及三人间的人均费用，比较后可得出三人间的人均费用低，进而可得出租住的两人间越少，花费越少，再结合男、女生人数，即可找出当租住1间两人间时总花费最少；
(2)同(1)，可找出租住的两人间越多，花费越少，设男生租住a间两人间，b间三人间，女生租住m间两人间，n间三人间，根据男、女生的人数及男女不能混住且所有租住房间必须住满，可得出关于a，b(m,n)的二元一次方程，结合a，b，m，n均为非负整数，可得出a，b，m，n的值，再结合a+m≤15，即可得出a+m的最大值，以及此时b+n的值，此题得解．
本题考查了二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，找出租住的两人间越少，花费越少；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
17.【答案】解：原式=1+ 2−2× 22+4
=5．
【解析】利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值等知识，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：(2x+1)(2x−1)+x(x−1)
=4x2−1+x2−x
=5x2−x−1，
∵5x2−x−2=0，
∴5x2−x=2，
当5x2−x=2时，原式=2−1=1．
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把5x2−x=2代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】90 等腰三角形三线合一
【解析】(1)解：如图2中，射线OE，OG即为所求．
(2)证明：∵OE=OC=CE，
∴△COE为等边三角形．
∴∠COE=60°．
∴∠AOE=∠AOB−∠COE=30°．
∵OC为⊙D的直径，
∴∠CGO=90°．
又∵OE=OC，OG⊥EC，
∴OG平分∠EOC(等腰三角形三线合一)．
∴∠COG=∠EOG=12∠COE=30°．
∴∠AOE=∠COG=∠EOG．
即射线OE，OG三等分∠AOB．
故答案为：90，等腰三角形三线合一．
(1)根据要求作出图形即可；
(2)构造等边三角形的性质解决问题即可．
把太空舱作图−应用与设计作图，等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】(1)证明：由题意可知：Δ=k2−4k+4=(k−2)2≥0，
∴方程总有两个实数根；
(2)解：∵x2−kx+k−1=0，
∴(x−k+1)(x−1)=0，
∴x=k−1或x=1，
∵方程有一个根小于0，
∴k−1<0，
∴k<1．
【解析】(1)根据判别式即可求出答案；
(2)根据因式分解法可求出方程的两根，然后列出不等式即可求出k的范围．
本题考查一元二次方程，熟练运用一元二次方程的解法是解题的关键．
21.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
又∵BE⊥BD，
∴BE//AC，
即：BE//OC，
∵OE//BC，
∴四边形OEBC是平行四边形．
(2)由(1)可知：四边形OEBC是平行四边形，
∴OC//BE，OC=BE，
∵四边形ABCD为菱形，
∴OC=OA，
∴BE//OA，BE=OA，
∴四边形AEBO为平行四边形，
又∵BE⊥BD，
∴四边形AEBO是矩形．
【解析】1)由菱形的性质可得出：AC⊥BD，再根据BE⊥BD可得出BE//OC，然后再根据已知条件OE//BC即可判定四边形OEBC是平行四边形；
(2)首先根据(1)的结论得出OC//BE，OC=BE，再根据菱形的性质得出OC=OA，据此可得到BE//OA，BE=OA，于是可先判定四边形AEBO为平行四边形，最后再根据已知条件BE⊥BD即可判定四边形AEBO是矩形．
此题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，解答此题的关键是熟练掌握菱形的两组对边分别平行；四条边都相等；对角线互相垂直平分；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
22.【答案】解：∵函数y=kx(k≠0)过点(1,3)，
∴3=k1，
∴k=3，
∴这个反比例函数的解析式为y=3x；
(2)当m<0时，当0
即3>m，
∴m的取值范围是0
(2)分情况讨论：当m<0和m>0时，分别求解即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及待定系数法求解析式，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∵∠PAC=∠ABC，
∴∠PAC+∠BAC=90°，
∴PA⊥AB，
∴PA是⊙O的切线；
(2)解：由(1)知∠PAC=∠ABC，∠ACB=90°，
∵cos∠PAC=45，
∴cos∠ABC=BCAB=8AB=45，
∴AB=10，
∵点D是弧BC中点，
∴BD=CD，
∴OD⊥BC，BE=12BC=12×8=4，
∵PA⊥AB，OD⊥BC，
∴∠FAO=∠OEB=90°，
∵∠AOF=∠BOE，
∴△AOF∽△EOB，
∴AOOE=OFOB，
∵OE= OB2−BE2= 52−42=3，
∴53=OF5，
∴OF=253，
∴DF=253+5=403．
【解析】(1)根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据垂直的定义得到PA⊥AB，根据切线的判定定理得到PA是⊙O的切线；
(2)由(1)知∠PAC=∠ABC，∠ACB=90°，根据三角函数的定义得到AB=10，根据垂径定理得到OD⊥BC，BE=12BC=12×8=4，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，三角函数的定义，熟练掌握切线的判定和性质定理是解题的关键．
24.【答案】4 3
【解析】解：(1)如图所示：
(2)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把(0,1)，(1,83)，(2,113)代入解析式得：c=1a+b+c=834a+2b+c=113，
解得a=−13b=2c=1，
∴y=−13x2+2x+1=−13(x−3)2+4，
∵顶点坐标为(3,4)，
∴大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为4m，此时距离A的水平距离为3m，
故答案为：4，3；
(3)当x=1.5时，y=−13(1.5−3)2+4=134，
∵134−1.5=74(m)，
∴补光灯悬挂部分的长度应是74m.
(1)建立坐标系，用描点法画出函数图象；
(2)根据表格数据和图象用待定系数法求出函数解析式；
(3)把x=1.5代入解析式求出y的值，再用y的值−1.5即可．
本题考查二次函数的应用，关键是根据表格数据和图象用待定系数法求出函数解析式．
25.【答案】217
【解析】解：(1)由题意可知，m=87+872=87；
(2)由题意得p1=7+10=17，p2≥19，
∴p2>p1；
(3)310×40−5−740=217(人)，
即估计该校七年级所有学生本次体质健康测试成绩等级为良好及以上的人数大约为217人．
故答案为：217．
(1)根据中位数的定义解答即可；
(2)根据样本中两个年级的“优秀”等级所占比例判断即可；
(3)用中位数乘样本中良好及以上的人数所占比例即可．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
26.【答案】解：(1)当a=1时，抛物线y=x2−2x+c，抛物线过点(3,m)，(0,c)，
∵对称轴为直线x=−−21=1，
∴点(3,m)比点(0,c)离对称轴水平距离远，且抛物线开口向上，
∴m>c；
(2)①a>0，
∵m>c，
∴a<2a+12，
∴2a<2a+1恒成立，
∵c>n，
∴a>b2，
∵2≤b≤4，
∴a>2；
②当−12≤a<0时，
∵m>c，
∴a≥2a+12，
∴2a≥2a+1恒不成立，
∴−12≤a<0(舍)；
③当a<−12时，2a+1<0，
∵m>c，
∴a<2a+12，
∴2a<2a+1恒成立，
∵c>n，
∴a
∴a<1，
∴a<−12，
综上所述，a>2或a<−12．
【解析】(1)当a=1时，抛物线为y=x2−2x+c，得到抛物线过点(3,m)，(0,c)，求得对称轴为直线x=1，于是得到结论；
(2)①a>0，求得a<2a+12，于是得到2a<2a+1恒成立，根据c>n，得到a>b2，于是得到a>2；②当−12≤a<0时，求得a≥2a+12，得到2a≥2a+1恒不成立，求得−12≤a<0(舍)；③当a<−12时，求得a<2a+12，于是得到a
27.【答案】解：
(1)
(2)∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°．
∵射线DA绕点D顺时针旋转α，得到射线DQ，
∴∠ADF=α．
∴∠BDF=180°−α．
∵∠DEB=α，
∴∠BDE=180°−∠B−∠DEB=180°−60°−α=120°−α．
∴∠EDF=∠BDF−∠BDE=180°−α−(120°−α)=60°．
(3)FE=FC，
证明如下：在CA上截取CG，使CG=CE，
连接EG，
连接DG，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，AC=BC．
∴△EGC是等边三角形．
∴∠GEC=60°，GE=EC．
∵∠EDF=60°，DE=DF，
∴△DEF是等边三角形．
∴∠DEF=60°，DE=EF．
∴∠DEF+∠FEG=∠GEC+∠FEG．
∠DEG=∠FEC．
∴△DEG≌△FEC(SAS)．
∴DG=FC．
∵AC−GC=BC−EC，
∴AG=BE．
∵点D是AB的中点，
∴AD=DB．
∵∠A=∠B，
∴△BDE≌△ADG(SAS)，
∴DE=DG，
∴FE=FC．
【解析】(1)根据题意可直接画出图形，
(2)利用旋转的性质和三角形内角和定理解答，
(3)添加辅助线得到△CEG，进而△CEG为等边三角形，可得线段相等，再证明△BDE≌△ADG即可得出FE=FC．
此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、三角形相似、旋转的特征，本题有一定难度．
28.【答案】K1，K2
【解析】解：(1)∵P(2,1)关于x轴的对称点为P′(2,−1)，∵K1(1,1)，K2(1,0)，K3(1,−2)，
∴线段P′K1和线段P′K2与直线l有交点，
故点K1(1,1)，K2(1,0)，K3(1,−2)中是点P关于x轴和点Q的“双垂点”的是K1，K2，
故答案为：K1，K2，
(2)根据题意，点P是直线y=x+3上的点，则点P关于y轴的对称点在直线y=−x+3上，由题意可知，点K在直线y=x+3上，P′Q=P′K且P′Q⊥P′K，如图，作P′A⊥y轴于点A，分别作P′C⊥x轴，KC⊥y轴，KC交y轴于点B，P′C与KC交于点C，
∴四边形ABCP′为矩形．
∴∠QP′K=∠AP′C=90°，∠QP′A=∠KP′C，P′Q=P′K，
∵∠QAP′∠KCP′=90°，
∴△OP′A≌△KP′C(AAS)，
∴P′A=P′C，QA=KC，
∴四边形ABCP′为正方形．
设P′(m,−m+3)，
∴A(0,−m+3)，C(m,−2m+3)，
∵QA=KC=5−(−m+3)=m+2，
∴K(−2,−2m+3)，
将K(−2,−2m+3)代入直线y=x+3中，得m=1，
∴P′(1,2)，
∴P(−1,2)．
(3)解：由(1)可得，K点的轨迹为垂直于直线l垂直的一条直线，
当t>0时，如图所示，在⊙M′上找到一点P′，得K点落在y=x+2上，
则当K的轨迹所在直线k与⊙M相切时，t取得最大，
∵M(0,t)，关于直线y=x+2对称，
∴M′(t−2,2)，
如图所示，当K刚好在直线y=x+2上时，K(1,3)，
依题意，△QP′K是等腰直角三角形，
∵直线l与直线k垂直，且过点K(1,3)，
∴直线k的解析式为y=−x+4，
∵r=1t=4+ 2；
如图所示，当t<0时，
同理可得t=− 2，
综上所述，t的取值范围为− 2≤t≤4+ 2．
(1)根据新定义进行判断即可求解；
(2)根据题意得出点P是直线y=x+3上的点，则点P关于y轴的对称点在直线y=−x+3上，点K在直线y=x+3上，P′Q=P′K且P′Q⊥P′K，别作P′C⊥x轴，KC⊥y轴，KC交y轴于点B，P′C与KC交于点C，证明△OP′A≌△KP′C，设P′(m2−m+3)得出K(−2,−2m+3)代入直线y=x+3，求得P′(1,2)，即可求得P(−1,2)；
(3)根据新定义可得K的轨迹与直线y=x+2垂直，在⊙M′上找到一点P′，得K点落在y=x+2上，则当K的轨迹所在直线k与⊙M相切时，t取得最大值，根据题意画出图形，求得t的最大值，同理可得t的最小值．
本题是圆的综合题，考查了几何新定义，切线的性质，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，理解新定义中K点轨迹是解题的关键．
2023年北京市昌平区中考数学二模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 经文化和旅游部数据中心测算，2023年清明节假期(4月5日)，全国国内旅游出游2376.64万人次，较去年清明节当日增长22.7%.将23766400用科学记数法表示应为( )
A. 237.664×105 B. 23.7664×106 C. 2.37664×107 D. 2.37664×108
2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是( )
A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 圆柱 D. 长方体
3. 若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论正确的是( )
A. |a|>|b| B. ab>0 C. −a>b D. a
口味
顾客1
顾客2
顾客3
顾客4
顾客5
A
7
9
8
6
10
B
5
6
10
10
9
A. xA−>xB−，SA2=SB2 B. xA−=xB−，SA2>SB2
C. xA−=xB−，SA2
A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4
6. 一个不透明的盒子中装有10个除颜色外无其他差别的小球，其中有1个黄球和3个绿球，其余都是红球，从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为( )
A. 35 B. 310 C. 15 D. 13
7. 船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔.只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，P，M，N是网格线交点，当船航行到点P的位置时，此时与两个灯塔M，N间的角度(∠MPN的大小)一定无触礁危险.那么，对于A，B，C，D四个位置，船处于_____时，也一定无触礁危险.( )
A. 位置A B. 位置B C. 位置C D. 位置D
8. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到表格如表．
供水时间x(小时)
0
2
4
6
8
箭尺读数y(厘米)
6
18
30
42
54
那么箭尺读数y和供水时间x最可能满足的函数关系是( )
A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 二次函数关系 D. 反比例函数关系
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若代数式1x−4有意义，则实数x的取值范围是______ ．
10. 分解因式：2x3−4x2+2x=______．
11. 分式方程1x=2x+3的解为 ．
12. 写出一个比 2大且比 17小的整数______．
13. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥AC，若BC=2，DE=1，则S△BCD= ______ ．
14. 不等式x+1<4+3x2的解集为______ ．
15. 一个正多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个正多边形是正______ 边形．
16. 某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满．
(1)要想使花费最少，需要______ 间两人间；
(2)现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要______ 间三人间．
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题5.0分)
计算：(1− 5)0+|− 2|−2cos45°+(14)−1．
18. (本小题5.0分)
已知5x2−x−2=0，求代数式(2x+1)(2x−1)+x(x−1)的值．
19. (本小题5.0分)
用尺规“三等分任意角”是数学史上一个著名难题，它已经被数学家伽罗瓦用《近世代数》和《群论》证明是不可能的.但对于特定度数的已知角，如90°角，45°角等，是可以用尺规进行三等分的.下面是小明的探究过程：
已知：如图1，∠AOB=90°．
求作：射线OE，OG三等分∠AOB．
作法：如图2，
①在射线OB上取任一点C；
②分别以O，C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在OB上方交于点E，在OB下方交于点F，连接CE；
③作直线EF交OC于点D；
④以D为圆心，OD长为半径作圆，交线段CE于点G(点G不与点C重合)；
⑤作射线OG，OE．
所以射线OG，OE即为所求射线．
(1)利用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵OE=OC=CE，
∴△COE为等边三角形．
∴∠COE=60°．
∴∠AOE=∠AOB−∠COE=30°．
∵OC为⊙D的直径，
∴∠CGO= ______ °.
又∵OE=OC，OG⊥EC，
∴OG平分∠EOC ______ (填推理的依据)．
∴∠COG=∠EOG=12∠COE=30°．
∴∠AOE=∠COG=∠EOG．
即射线OE，OG三等分∠AOB．
20. (本小题5.0分)
关于x的一元二次方程x2−kx+k−1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于0，求k的取值范围．
21. (本小题5.0分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是过点O作BC的平行线与过点B作BD的垂线(垂足为B)的交点．
(1)求证：四边形OEBC是平行四边形；
(2)连接AE，求证：四边形AEBO是矩形．
22. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx(k≠0)过点(1,3)．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)当0
如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，过点A作直线PA，使∠PAC=∠ABC．
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)点D是弧BC中点，连接DO并延长，分别交BC，PA于点E，F，若BC=8，cos∠PAC=45，求线段DF的长．
24. (本小题6.0分)
兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展.小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高1m的墙体A处，另一端固定在离地面高1m的墙体B处，记大棚的截面顶端某处离A的水平距离为x m，离地面的高度为y m，测量得到如表数值：
x/m
0
1
2
4
5
y/m
1
83
113
113
83
小梅根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小梅的探究过程，请补充完整：
(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点(x,y)，并画出函数的图象；
解决问题：
(2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为______ m；此时距离A的水平距离为______ m；
(3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面1.5m时补光效果最好，若在距离A处水平距离1.5m的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少m？(灯的大小忽略不计)
25. (本小题6.0分)
某学校初中各年级进行体质健康测试，为了解学生成绩，从七年级和九年级各随机抽取40名学生的成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a.七年级成绩的频数分布直方图如图(数据分成5组)：
60≤x<70，70≤x<80，0≤x<90，90≤x<100，100≤x<110
b.七年级成绩在80≤x<90这一组的是：
82 82 83 84 85 85 85 87 87 88 88
c.七年级、九年级成绩的平均数、中位数如表：
平均数
中位数
七年级
87.55
m
九年级
86.25
90
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m的值；
(2)分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，不少于90分就可以赋予“优秀”等级，七年级赋予“优秀”等级的学生人数为p1，九年级赋予“优秀”等级的学生人数为p2，判断p1，p2大小，并说明理由；
(3)该校共有七年级学生310人，不少于80分就可以赋予“良好”等级，估计该校七年级所有学生本次体质健康测试成绩等级为良好及以上的人数为______ (直接写出结果)．
26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系xOy中，点(2a+1,m)，(b,n)是抛物线y=ax2−2a2x+c(a≠0,c>0)上的点．
(1)当a=1时，求抛物线对称轴，并直接写出m与c大小关系；
(2)若对于任意的2≤b≤4，都有m>c>n，求a的取值范围．
27. (本小题7.0分)
在等边△ABC中，点D是AB中点，点E是线段BC上一点，连接DE，∠DEB=α(30°≤α<60°)，将射线DA绕点D顺时针旋转α，得到射线DQ，点F是射线DQ上一点，且DF=DE，连接FE，FC．
(1)补全图形；
(2)求∠EDF度数；
(3)用等式表示FE，FC的数量关系，并证明．
28. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P，点Q和直线l，点P关于l的对称点P′，点Q是直线l上一点，将线段P′Q绕点P′逆时针旋转90°得到P′K，如果线段P′K与直线l有交点，称点K是点P关于直线l和点Q的“双垂点”．
(1)若P(2,1)，点K1(1,1)，K2(1,0)，K3(1,−2)中是点P关于x轴和点Q的“双垂点”的是______ ；
(2)若点Q(0,5)，点P，K是直线y=x+3上的点，点K是点P关于y轴和点Q的“双垂点”，求P点的坐标；
(3)点P在以(0,t)为圆心，1为半径的圆M上，直线l：y=x+2，若圆M上存在点K是点P关于直线l和点Q的“双垂点”，直接写出t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：23766400=2.37664×107．
故选：C．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：根据主视图与左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形判断出这个几何体是三棱柱．
故选：B．
根据三视图的定义解答即可．
本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握三视图的定义是解答本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：由图可知，−2
B.∵a<−1<0<2
根据实数a，b在数轴上的点的位置，判断a、b的符号以及绝对值的大小即可对选项逐一判断．
本题考查了实数与数轴的对应关系以及绝对值，认真分析数轴得到有用信息是解决本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A味道的平均数为7+9+8+6+105=8，方差为15×[(7−8)2+(9−8)2+(8−8)2+(6−8)2+(10−8)2]=2，
B味道的平均数为5+6+10+10+95=8，方差为15×[(5−8)2+(6−8)2+(10−8)2+(10−8)2+(9−8)2]=4.4．
故选：C．
根据算术平均数和方差公式计算出结果，即可得出答案．
本题考查了算术平均数和方差，熟练掌握算术平均数和方差的公式是关键．
5.【答案】C
【解析】解：连接B′D′，
∵四边形A′B′C′D′是正方形，
∴∠B′C′D′=90°，
∴B′D′是圆O的直径，
∵正方形ABCD的面积为4，
∴正方形ABCD的边长为2，
∵正方形ABCD的与A′B′C′D′是位似图形，AB：A′B′=1：2，
∴B′C′=C′D′=4，
∴B′D′= 42+42=4 2，
∴四边形A′B′C′D′的外接圆的半径为2 2，
故选：C．
连接B′D′，根据正方形的性质得到∠B′C′D′=90°，得到B′D′是圆O的直径，根据相似比的概念求出B′C′=C′D′=4，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是位似变换、相似多边形的性质，熟记90°的圆周角所对的弦是直径是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵盒子中装有6个红球，1个黄球和3个绿球，共有10个球，
∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是610=35；
故选：A．
直接根据概率公式求解．
本题考查了概率公式，掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：如图，连接MB，NB，
设正方形网格边长为1，则NB=MP=3 2，PN=BM= 10，
∵MN=NM，
∴△BMN≌△PNM(SSS)，
∴∠P=∠B，
∵当船航行到点P的位置时，一定无触礁危险，
∴船处于B时，也一定无触礁危险，
故选：B．
连接MB，NB，设正方形网格边长为1，用勾股定理求出NB=MP=3 2，PN=BM= 10，证明△BMN≌△PNM(SSS)，得到∠P=∠B，选出船的位置．
本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：根据表格中数据可知，每经过2小时，箭尺的读数增加12厘米，
∴猜测箭尺读数y和供水时间x最可能满足的函数关系是一次函数，
设这条直线所对应的函数表达式为y=kx+b，
则，2k+b=18b=6，
解得：k=6b=6，
∴y=6x+6，
当x=4时，y=6×4+6=30；
当x=6时，y=6×6+6=42，
当x=8时，y=8×6+6=54，
∴箭尺读数y和供水时间x最可能满足的函数关系是一次函数．
故选：B．
根据表格数据判断箭尺读数y和供水时间x最可能满足的函数关系是一次函数，然后设出一次函数解析式，用待定系数法求出函数解析式，再把其他数据代入验证即可．
本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
9.【答案】x≠4
【解析】解：因为分式有意义的条件是分母不能等于0，
所以x−4≠0，
所以x≠4．
故答案为：x≠4．
根据分式有意义的条件，分母不能等于0，列不等式求解即可．
本题主要考查分式有意义的条件，解决本题的关键是要熟练掌握分式有意义的条件．
10.【答案】2x(x−1)2
【解析】解：2x3−4x2+2x
=2x(x2−2x+1)
=2x(x−1)2．
故答案为：2x(x−1)2．
先提取公因式2x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11.【答案】x=3
【解析】解：1x=2x+3，
方程两边都乘以x(x+3)约去分母得：
x+3=2x，
解这个整式方程得x=3，
检验：当x=3时，x(x+3)≠0，
∴x=3是原分式方程的解．
故答案为：x=3．
先去分母化为整式方程，解整式方程，检验即可．
本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．
12.【答案】3(答案不唯一)
【解析】解：∵ 2<2<3<4< 17，
∴写出一个比 2大且比 17小的整数如3(答案不唯一)；
故答案为：3(答案不唯一)．
先对 2和 17进行估算，再根据题意即可得出答案．
此题考查了估算无理数的大小，估算出 2<2<3<4< 17是解题的关键．
13.【答案】1
【解析】解：过点D作DF⊥BC于点F，如图所示．
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，
∴DF=DE=1．
∴S△BCD=12⋅BC⋅DF
=12×2×1
=1．
故答案为：1．
过点D作DF⊥BC于点F，则DF=DE，再利用三角形的面积公式，即可求出△BCD的面积．
本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，牢记“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键．
14.【答案】x>−2
【解析】解：去分母得：2x+2<4+3x，
移项得：2x−3x<4−2，
合并同类项得：−x<2，
系数化为1得：x>−2．
故答案为x>−2．
本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，按照解一元一次不等式的步骤求得x的解集．
本题主要考查了解一元一次不等式的方法，需要注意在不等式两边都除以同一个负数时，应改变不等号的方向．
15.【答案】六
【解析】解：设正多边形的边数是n，根据题意得，
(n−2)⋅180°=2×360°，
解得n=6，
∴这个多边形为六边形．
故答案为：六．
根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于(n−2)⋅180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
16.【答案】1 8
【解析】解：(1)∵200÷2=100(元/人)，250÷3=2503(元/人)，100>2503，
∴三人间的人均费用低，
∴租住的两人间越少，花费越少．
∵27÷3=9(间)，23÷3=7(间)……2(人)，2÷2=1(间)，
∴要想使花费最少，需要租住1间两人间．
故答案为：1；
(2)∵200×0.8÷2=(80元/人)，80<2503，
∴两人间的人均费用低，
∴租住的两人间越多，花费越少．
设男生租住a间两人间，b间三人间，女生租住m间两人间，n间三人间，
根据题意得：2a+3b=27，2m+3n=23，
∴b=9−23a，n=23−2m3．
又∵a，b，m，n均为非负整数，
∴a=0b=9或a=3b=7或a=6b=5或a=9b=3或a=12b=1；m=1n=7或m=4n=5或m=7n=3或m=10n=1．
又∵a+m≤15，
∴a+m的最大值为13，此时b+n的值为8，
∴要想花费最少，需要租住8间三人间．
故答案为：8．
(1)利用每个房间的人均费用=该房间的收费÷房间可住人数，可分别求出两人间及三人间的人均费用，比较后可得出三人间的人均费用低，进而可得出租住的两人间越少，花费越少，再结合男、女生人数，即可找出当租住1间两人间时总花费最少；
(2)同(1)，可找出租住的两人间越多，花费越少，设男生租住a间两人间，b间三人间，女生租住m间两人间，n间三人间，根据男、女生的人数及男女不能混住且所有租住房间必须住满，可得出关于a，b(m,n)的二元一次方程，结合a，b，m，n均为非负整数，可得出a，b，m，n的值，再结合a+m≤15，即可得出a+m的最大值，以及此时b+n的值，此题得解．
本题考查了二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，找出租住的两人间越少，花费越少；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
17.【答案】解：原式=1+ 2−2× 22+4
=5．
【解析】利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值等知识，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：(2x+1)(2x−1)+x(x−1)
=4x2−1+x2−x
=5x2−x−1，
∵5x2−x−2=0，
∴5x2−x=2，
当5x2−x=2时，原式=2−1=1．
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把5x2−x=2代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】90 等腰三角形三线合一
【解析】(1)解：如图2中，射线OE，OG即为所求．
(2)证明：∵OE=OC=CE，
∴△COE为等边三角形．
∴∠COE=60°．
∴∠AOE=∠AOB−∠COE=30°．
∵OC为⊙D的直径，
∴∠CGO=90°．
又∵OE=OC，OG⊥EC，
∴OG平分∠EOC(等腰三角形三线合一)．
∴∠COG=∠EOG=12∠COE=30°．
∴∠AOE=∠COG=∠EOG．
即射线OE，OG三等分∠AOB．
故答案为：90，等腰三角形三线合一．
(1)根据要求作出图形即可；
(2)构造等边三角形的性质解决问题即可．
把太空舱作图−应用与设计作图，等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】(1)证明：由题意可知：Δ=k2−4k+4=(k−2)2≥0，
∴方程总有两个实数根；
(2)解：∵x2−kx+k−1=0，
∴(x−k+1)(x−1)=0，
∴x=k−1或x=1，
∵方程有一个根小于0，
∴k−1<0，
∴k<1．
【解析】(1)根据判别式即可求出答案；
(2)根据因式分解法可求出方程的两根，然后列出不等式即可求出k的范围．
本题考查一元二次方程，熟练运用一元二次方程的解法是解题的关键．
21.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
又∵BE⊥BD，
∴BE//AC，
即：BE//OC，
∵OE//BC，
∴四边形OEBC是平行四边形．
(2)由(1)可知：四边形OEBC是平行四边形，
∴OC//BE，OC=BE，
∵四边形ABCD为菱形，
∴OC=OA，
∴BE//OA，BE=OA，
∴四边形AEBO为平行四边形，
又∵BE⊥BD，
∴四边形AEBO是矩形．
【解析】1)由菱形的性质可得出：AC⊥BD，再根据BE⊥BD可得出BE//OC，然后再根据已知条件OE//BC即可判定四边形OEBC是平行四边形；
(2)首先根据(1)的结论得出OC//BE，OC=BE，再根据菱形的性质得出OC=OA，据此可得到BE//OA，BE=OA，于是可先判定四边形AEBO为平行四边形，最后再根据已知条件BE⊥BD即可判定四边形AEBO是矩形．
此题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，解答此题的关键是熟练掌握菱形的两组对边分别平行；四条边都相等；对角线互相垂直平分；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
22.【答案】解：∵函数y=kx(k≠0)过点(1,3)，
∴3=k1，
∴k=3，
∴这个反比例函数的解析式为y=3x；
(2)当m<0时，当0
即3>m，
∴m的取值范围是0
(2)分情况讨论：当m<0和m>0时，分别求解即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及待定系数法求解析式，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∵∠PAC=∠ABC，
∴∠PAC+∠BAC=90°，
∴PA⊥AB，
∴PA是⊙O的切线；
(2)解：由(1)知∠PAC=∠ABC，∠ACB=90°，
∵cos∠PAC=45，
∴cos∠ABC=BCAB=8AB=45，
∴AB=10，
∵点D是弧BC中点，
∴BD=CD，
∴OD⊥BC，BE=12BC=12×8=4，
∵PA⊥AB，OD⊥BC，
∴∠FAO=∠OEB=90°，
∵∠AOF=∠BOE，
∴△AOF∽△EOB，
∴AOOE=OFOB，
∵OE= OB2−BE2= 52−42=3，
∴53=OF5，
∴OF=253，
∴DF=253+5=403．
【解析】(1)根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据垂直的定义得到PA⊥AB，根据切线的判定定理得到PA是⊙O的切线；
(2)由(1)知∠PAC=∠ABC，∠ACB=90°，根据三角函数的定义得到AB=10，根据垂径定理得到OD⊥BC，BE=12BC=12×8=4，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，三角函数的定义，熟练掌握切线的判定和性质定理是解题的关键．
24.【答案】4 3
【解析】解：(1)如图所示：
(2)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把(0,1)，(1,83)，(2,113)代入解析式得：c=1a+b+c=834a+2b+c=113，
解得a=−13b=2c=1，
∴y=−13x2+2x+1=−13(x−3)2+4，
∵顶点坐标为(3,4)，
∴大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为4m，此时距离A的水平距离为3m，
故答案为：4，3；
(3)当x=1.5时，y=−13(1.5−3)2+4=134，
∵134−1.5=74(m)，
∴补光灯悬挂部分的长度应是74m.
(1)建立坐标系，用描点法画出函数图象；
(2)根据表格数据和图象用待定系数法求出函数解析式；
(3)把x=1.5代入解析式求出y的值，再用y的值−1.5即可．
本题考查二次函数的应用，关键是根据表格数据和图象用待定系数法求出函数解析式．
25.【答案】217
【解析】解：(1)由题意可知，m=87+872=87；
(2)由题意得p1=7+10=17，p2≥19，
∴p2>p1；
(3)310×40−5−740=217(人)，
即估计该校七年级所有学生本次体质健康测试成绩等级为良好及以上的人数大约为217人．
故答案为：217．
(1)根据中位数的定义解答即可；
(2)根据样本中两个年级的“优秀”等级所占比例判断即可；
(3)用中位数乘样本中良好及以上的人数所占比例即可．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
26.【答案】解：(1)当a=1时，抛物线y=x2−2x+c，抛物线过点(3,m)，(0,c)，
∵对称轴为直线x=−−21=1，
∴点(3,m)比点(0,c)离对称轴水平距离远，且抛物线开口向上，
∴m>c；
(2)①a>0，
∵m>c，
∴a<2a+12，
∴2a<2a+1恒成立，
∵c>n，
∴a>b2，
∵2≤b≤4，
∴a>2；
②当−12≤a<0时，
∵m>c，
∴a≥2a+12，
∴2a≥2a+1恒不成立，
∴−12≤a<0(舍)；
③当a<−12时，2a+1<0，
∵m>c，
∴a<2a+12，
∴2a<2a+1恒成立，
∵c>n，
∴a
∴a<1，
∴a<−12，
综上所述，a>2或a<−12．
【解析】(1)当a=1时，抛物线为y=x2−2x+c，得到抛物线过点(3,m)，(0,c)，求得对称轴为直线x=1，于是得到结论；
(2)①a>0，求得a<2a+12，于是得到2a<2a+1恒成立，根据c>n，得到a>b2，于是得到a>2；②当−12≤a<0时，求得a≥2a+12，得到2a≥2a+1恒不成立，求得−12≤a<0(舍)；③当a<−12时，求得a<2a+12，于是得到a
27.【答案】解：
(1)
(2)∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°．
∵射线DA绕点D顺时针旋转α，得到射线DQ，
∴∠ADF=α．
∴∠BDF=180°−α．
∵∠DEB=α，
∴∠BDE=180°−∠B−∠DEB=180°−60°−α=120°−α．
∴∠EDF=∠BDF−∠BDE=180°−α−(120°−α)=60°．
(3)FE=FC，
证明如下：在CA上截取CG，使CG=CE，
连接EG，
连接DG，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，AC=BC．
∴△EGC是等边三角形．
∴∠GEC=60°，GE=EC．
∵∠EDF=60°，DE=DF，
∴△DEF是等边三角形．
∴∠DEF=60°，DE=EF．
∴∠DEF+∠FEG=∠GEC+∠FEG．
∠DEG=∠FEC．
∴△DEG≌△FEC(SAS)．
∴DG=FC．
∵AC−GC=BC−EC，
∴AG=BE．
∵点D是AB的中点，
∴AD=DB．
∵∠A=∠B，
∴△BDE≌△ADG(SAS)，
∴DE=DG，
∴FE=FC．
【解析】(1)根据题意可直接画出图形，
(2)利用旋转的性质和三角形内角和定理解答，
(3)添加辅助线得到△CEG，进而△CEG为等边三角形，可得线段相等，再证明△BDE≌△ADG即可得出FE=FC．
此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、三角形相似、旋转的特征，本题有一定难度．
28.【答案】K1，K2
【解析】解：(1)∵P(2,1)关于x轴的对称点为P′(2,−1)，∵K1(1,1)，K2(1,0)，K3(1,−2)，
∴线段P′K1和线段P′K2与直线l有交点，
故点K1(1,1)，K2(1,0)，K3(1,−2)中是点P关于x轴和点Q的“双垂点”的是K1，K2，
故答案为：K1，K2，
(2)根据题意，点P是直线y=x+3上的点，则点P关于y轴的对称点在直线y=−x+3上，由题意可知，点K在直线y=x+3上，P′Q=P′K且P′Q⊥P′K，如图，作P′A⊥y轴于点A，分别作P′C⊥x轴，KC⊥y轴，KC交y轴于点B，P′C与KC交于点C，
∴四边形ABCP′为矩形．
∴∠QP′K=∠AP′C=90°，∠QP′A=∠KP′C，P′Q=P′K，
∵∠QAP′∠KCP′=90°，
∴△OP′A≌△KP′C(AAS)，
∴P′A=P′C，QA=KC，
∴四边形ABCP′为正方形．
设P′(m,−m+3)，
∴A(0,−m+3)，C(m,−2m+3)，
∵QA=KC=5−(−m+3)=m+2，
∴K(−2,−2m+3)，
将K(−2,−2m+3)代入直线y=x+3中，得m=1，
∴P′(1,2)，
∴P(−1,2)．
(3)解：由(1)可得，K点的轨迹为垂直于直线l垂直的一条直线，
当t>0时，如图所示，在⊙M′上找到一点P′，得K点落在y=x+2上，
则当K的轨迹所在直线k与⊙M相切时，t取得最大，
∵M(0,t)，关于直线y=x+2对称，
∴M′(t−2,2)，
如图所示，当K刚好在直线y=x+2上时，K(1,3)，
依题意，△QP′K是等腰直角三角形，
∵直线l与直线k垂直，且过点K(1,3)，
∴直线k的解析式为y=−x+4，
∵r=1t=4+ 2；
如图所示，当t<0时，
同理可得t=− 2，
综上所述，t的取值范围为− 2≤t≤4+ 2．
(1)根据新定义进行判断即可求解；
(2)根据题意得出点P是直线y=x+3上的点，则点P关于y轴的对称点在直线y=−x+3上，点K在直线y=x+3上，P′Q=P′K且P′Q⊥P′K，别作P′C⊥x轴，KC⊥y轴，KC交y轴于点B，P′C与KC交于点C，证明△OP′A≌△KP′C，设P′(m2−m+3)得出K(−2,−2m+3)代入直线y=x+3，求得P′(1,2)，即可求得P(−1,2)；
(3)根据新定义可得K的轨迹与直线y=x+2垂直，在⊙M′上找到一点P′，得K点落在y=x+2上，则当K的轨迹所在直线k与⊙M相切时，t取得最大值，根据题意画出图形，求得t的最大值，同理可得t的最小值．
本题是圆的综合题，考查了几何新定义，切线的性质，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，理解新定义中K点轨迹是解题的关键．
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