2023年河南省商丘市虞城县求实中学中考数学二模试卷（含解析）

2023年河南省商丘市虞城县求实中学中考数学二模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  二十大代表共名这名党员代表了全国万党员的心声其中“万”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一长方体切去一角后如图所示，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图，，点是上一点，点是上一点，平分，且，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  关于菱形，下列说法错误的是(    )

A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 四条边相等 D. 对角线相等

7.  期末，班主任刘老师准备按一定权重综合打分确定本班三好学生人选，综合成绩由四部分组成：期末各科平均成绩点，班级投重成绩点，纪律节生综合成绩占，实践活动成绩占，小明上述四部分成绩依次为分、分，分、分，则小明评选三好学生的综合成绩(    )

A. 分 B. 分 C. 分 D. 分

8.  如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常随机闭合开关，，，中的两个，能让小灯泡发光的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，正方形中，点为原点，点，分别在轴，轴正半轴上，对角线，交于点，作以下操作：以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，两点；分别以大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线，交于点，交于点若点的坐标为，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，扇形中，，，点为的中点，过点作，交弧于点，将扇形上半部分绕点顺时针旋转得到图形，连接，则阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  ______．

12.  写出一个图象经过第三象限的函数解析式______ ．

13.  若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______ ．

14.  如图，中，点从点出发，匀速向点运动，连接，设的长为，的长为，则关于的函数图象如图所示，其中函数图象最低点，则的周长为______ ．

15.  如图，中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为，，射线分别交，于点，，当为等腰三角形时，的长为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

16.  解不等式组．
解方程．

四、解答题（本大题共7小题，共65.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
杭州年第届亚运会于年月日至月日举行，某校开展了“亚运知识”的主题知识竞赛活动百分制七八年级学生均参与了此次竞赛．
校团委分别从七，八年级同学的竞赛成绩中各抽查了名同学的成绩整理如下：
素材一：七年级名同学的成绩分布

素材二：七年级名同学成绩的统计量

素材三：八年级名同学成绩的统计量

素材四：七年级在范围内的学生成绩：
，，，，，，，，，，，，，，，，，．
请根据以上信息，解决以下问题：
已知七年级名学生成绩的众数落在范围内，则 ______ ， ______ ；
据以上所给的数据，你认为哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由；
已知该校七年级共有学生名，请估计该校七年级竞赛成绩在范围内的学生的人数．

18.  本小题分
如图，为的直径，点为上一点，过点作的垂线分别交于点，交于点，交过点的切线于点，连接，，．
试说明：．
填空：若，则
当 ______ 时，四边形是平行四边形；
当 ______ ，四边形是菱形．

19.  本小题分
嵩岳寺，又名大塔寺，位于登封县城西北千米太室山南麓，早先是北魏皇室的一座离宫，后改建为佛寺年月日，联合国教科文组织将中国的登封“天地之中”历史建筑群列为世界文化遗产，其中包括了嵩岳寺塔某校数学兴趣小组计划用无人机对该塔的高度进行测量，如图，当无人机飞到点正上方处的点时进行悬停，测得嵩岳寺塔的塔尖的俯角为，测得嵩岳寺塔的塔底的俯角为，，，，四点在同一个平面内，求塔的高度结果精确到米，参考数据：，，

20.  本小题分
如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点为原点，，，反比例函数上的图象经过的中点，交于点．
求反比例函数和直线的解析式；
若点为反比例函数图象上一个动点，点为轴上一个动点，是否存在以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由．

21.  本小题分
某经销商准备购入某品牌的智能电磁炉和配套的平底炖锅，经市场调研，购入个电磁炉和个平底炖锅需花费元，购入个电磁炉和个平底炖锅需花费元．
求电磁炉和平底炖锅的单价．
“五一”期间，厂家对该品牌的智能电磁炉和配套的平底炖锅实行优惠活动．
方案一：买一个电磁炉送一个平底炖锅；
方案二：所有商品打八折．
经销商准备购入个智能电磁炉和个配套的平底炖锅进行试销．
设方案一总费用为元，方案二总费用为元，分别求出，关于的函数解析式；
经销商选择哪种方案购买合算？
若方案一和方案二两种优惠方式可同时使用，请写出最合算的购买方式，并说明理由．

22.  本小题分
如图，抛物线交轴于，两点，交轴于，点为抛物线上一个动点，直线经过，两点．
求抛物线的解析式．
若点在第一象限抛物线上，且横坐标为．
直接写出不等式的解集；
若点为下方抛物线上一个动点，过点作轴，交于点，求的最大值．
横、纵坐标都是整数的点叫做整点，当点在第四象限时，如图，若线段、、围成的区域不含边界内有个整点，直接写出的取值范围．

23.  本小题分
等腰直角三角形中，，，为斜边上的中线，将线段绕点逆时针旋转当得到线段，点的对应点为点，过点作交直线于点，连接．
如图，当时，的度数为______ ，的值为______ ；
当时，中的结论是否成立？若成立，请仅就图的情形进行证明；若不成立，请说明理由；
点，，在一条直线上，若这三点互为中点时，直接写出此时的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是：．
故选：．
直接利用相反数的定义进行判断即可．
此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：从正面，可得如下图形：

故选：．
找到从正面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
又，
，
平分，
，
，
．
故选：．
首先根据和已知的度数求出的度数，然后根据角的平分线的定义求出的度数，最后根据“两直线平行，内错角相等”即可求出的度数．
本题主要考查平行线的性质和角的平分线的定义，熟练掌握平行线的三个性质定理是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、原式，故此选项不符合题意；
B、原式，故此选项不符合题意；
C、原式，故此选项不符合题意；
D、原式，故此选项符合题意；
故选：．
根据单项式除以单项式的运算法则判断，根据单项式乘单项式的运算法则判断，根据积的乘方运算法则判断，根据平方差公式判断．
本题考查整式的混合运算，掌握积的乘方运算法则，完全平方公式是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：菱形的性质有四边相等，对角线互相垂直平分，
对角线相等不是菱形的性质，
故选：．
利用菱形的性质，依次判断可求解．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：小明评选三好学生的综合成绩为分．
故选：．
利用加权平均数的公式即可求出答案．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
 

8.【答案】 

【解析】解：画树状图得：

共有种等可能的结果，能使灯泡发光的有种情况，
能让小灯泡发光的概率为，
故选：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能使灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作于点，过点作于，作于，

四边形为正方形，
，，，，
为等腰直角三角形，
点的坐标为，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
即：，
，
由作图可知：为的平分线，
又，，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
即：，
，
，，，
和均为等腰直角三角形，
，，
为的平分线，，，
，
，
四边形为正方形，
设，则，
在中，，
由勾股定理得：，
为的平分线，，，
，
，
，
解得：，
，
，
点的坐标为．
故选：．
过点作于点，过点作于，作于，先在中求出，则，进而再求出，再证四边形为正方形，设边长为，则，，据此得，据此可求出的值，进而即可求出点的坐标．
此题主要考查了正方形的判定和性质，基本作图尺规作已知角的平分线，角平分线的性质，勾股定理等知识点，解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定方法，理解正方形的性质和角平分线的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，点为的中点，
，
，，
，
，
，
，，
由旋转可得，图形的面积等于图形的面积，
阴影部分的面积为．
故选：．
由旋转可得，图形的面积等于图形的面积，阴影部分的面积为扇形的面积减去的面积再减去的面积．
本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用零指数幂的性质以及立方根的性质化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：写出一个图象经过第三象限的函数解析式：答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
利用一次函数或二次函数、反比例函数的性质分析得出符合题意的解析式即可．
此题主要考查了一次函数、二次函数、反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
即的取值范围为．
故答案为：．
利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

根据垂线段最短可知，当点运动到点时，取得最小值为，
图函数图象最低点，
此时，，
由图可知，当点运动到点时，所对的函数值为，
，
在中，，
在中，，
，
．
故答案为：．
过点作于点，根据垂线段最短可知，当点运动到点时，取得最小值为，结合图可得，，，根据勾股定理分别求出、的长，再根据三角形的周长公式计算即可．
本题主要考查动点问题的函数图象、勾股定理，理解函数图象中最低点坐标的实际意义是解题关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：分两种情况：
当时，如图：

，
，
，，
，
，
，
在中，，，，
，
，
，
，
，
，
．
当时，过点作于点，如图：

，
，
，，
，
，
，
设，则，
解得，
，，
，
，即，
，
，，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
故答案为：或．
分两种情况讨论：当时，当时，然后由题意分别求出的长即可．
本题考查了旋转变换，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练运用性质是解题关键．
 

16.【答案】解：解不等式，
得，
，
解不等式，
得，
，
不等式组的解集为；
方程两边同时乘以，
得，
即，
解得，
该方程的解为． 

【解析】先解出每一个不等式，再取两个解集的公共部分；
两边同时乘以，化成一元一次方程，再求解即可．
本题主要考查解不等式组和解分式方程，解不等式组的关键是要先解出每一个不等式，然后取公共部分即可，解分式方程的关键是要找准最简公分母．
 

17.【答案】   

【解析】解：将他们的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是，因此中位数是，即，
七年级竞赛成绩出现次数最多的是，因此众数是，即，
故答案为：，；
八年级学生掌握的相关知识较好，虽然七、八年级竞赛成绩的平均数、中位数相同，但是八年级的竞赛成绩的众数比七年级的高，因此八年级学生掌握的相关知识较好；
人，
答：估计该校七年级竞赛成绩在范围内的学生的人数是人．
依据中位数、众数的计算方法即可得出答案；
通过比较平均数、中位数、众数得出答案；
用样本估计总体即可．
本题考查频数分布表、中位数、众数以及用样本估计总体，理解统计图表中各个数量之间的关系是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
 

18.【答案】   

【解析】解：如图，连接，

与相切，
，
．
即，
，，
，，
；
当时，四边形是平行四边形，
理由：为的直径，，，，，，，，
，，四边形是平行四边形；
故答案为：；
当，四边形是菱形．
理由：为的直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
四边形是菱形．
故答案为：．
如图，连接，根据切线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，，于是得到；
根据圆周角定理得到，根据平行线的判定定理得到，根据平行四边形 大盘点多了即可得到四边形是平行四边形；
根据圆周角定理得到，求得，得到，根据三角形内角和定理得到，根据垂径定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，推出是等边三角形，得到，根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，求得，根据菱形的判定定理即可得到结论．
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等边三角形 的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，切线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图：延长交于点，

由题意得：，，
在中，，
，
在中，，
，
，
塔的高度约为． 

【解析】延长交于点，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】解：，，
，，
四边形是矩形，
，，，
，
点是的中点，
，
反比例函数上的图象经过的中点，
，
反比例函数的解析式为，
点在线段上，
设，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
，，以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形，
，，
点为反比例函数图象上一个动点，点为轴上一个动点，
设，，
设的中点为，
四边形是平行四边形，
，，
，，
解得，
点的坐标为，
点与点重合，
即直线与直线重合，
故不存在以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形． 

【解析】根据矩形的性质得到，，，求得，求得，求得反比例函数的解析式为，设直线的解析式为，解方程组即可得到结论；
设，，设的中点为，根据平行四边形的性质得到，，列方程得到，，解得，得到点的坐标为，推出点与点重合，即直线与直线重合，故不存在以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形．
本题是反比例函数的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
 

21.【答案】解：设电磁炉的单价为元，平底锅的单价为元，
，
解得：，
故电磁炉的单价为元，平底锅的单价为元；
，
，
整理后得：，，
当时，
则，
解得：，
当时，，
当时，，
故当时，第一种购买方案合算，
当时，两种购买方案同样合算，
当时，第二种购买方案合算；
若方案一和方案二可以同时使用，
则最优方案为：先通过方案一购买个电磁炉，赠送个平底锅，之后再需要购买的平底锅用方案二来购买，这样最为合算，
因为这样就相当于之后购买的平底锅都打了折，而第一种方案个之后的平底锅是没有折扣的． 

【解析】通过已知条件的两个等量关系，列出二元一次方程组，并求解得到结果；
通过给定的条件，列出对应的一次函数，并通过分段讨论，得出不同的范围的选择方案；
两种方案都可选择时，应先选第一种方案买个电磁炉，这样可以赠送个平底锅，这样最为合算，之后的平底锅应通过方案二，可以打八折．
本题考查了二元一次方程组的应用，考查了一次函数的应用，通过分段讨论，得到最优的方案．
 

22.【答案】解：抛物线交轴于，两点，交轴于，
，
解得，
抛物线的解析式为；
点在第一象限抛物线上，且横坐标为，与直线交于，两点，
不等式的解集为或；
当时，，
，
直线经过，两点，
，
解得，
，
设，则，
；
的最大值为；
由题意得：线段、、围成的区域不含边界内有个整点，
则这个整点为，，，
直线必经过点或经过与之间的点，不包括，
直线必经过点时，
，
解得，
．
直线必经过点时，
，
解得，
，
综上，的取值范围为． 

【解析】利用待定系数法解得即可；
根据函数的图象即可得到结论；
解方程得到，由于直线经过，两点，得到，解方程组得到，设，则，根据二次函数的性质即可得到结论；
通过分析找出个整点，并确定直线经过点的临界点，利用待定系数法求得对应的值，结合图形即可求得的取值范围．
本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求得函数的解析式，二次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，配方法求抛物线的顶点坐标，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

23.【答案】  

【解析】解：如图，，，为斜边上的中线，
，，，
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，
，
，，
，
，，
，
交直线于点，
，
，
，
故答案为：，．
成立，
证明：如图，，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，，
，
．
，，
，
，
，，
，
如图，为的中点，则，
，
，
，
；
如图，为的中点，则，
，，
，，
，
，，
，
；
如图，为的中点，则，
，
，
，
综上所述，的长是或或．
由，，为斜边上的中线，得，，，由旋转得，所以，，，可求得，，所以；因为，所以，则，于是得到问题的答案；
由，可证明，由，可证明，，即可证明∽，得，则，由，得；
先证明，得，再由勾股定理求得，然后分三种情况讨论，一是为的中点，则，求得；二是为的中点，则，求得；三是为的中点，则，求得．
此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．