2023年湖南省娄底市中考数学二模试卷（含解析）

2023年湖南省娄底市中考数学二模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取株水稻苗，测得苗高单位：分别是：，，，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

4.  中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代纳米技术取得了突破性进展，并于年第四季度进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，纳米米，用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列关于防范“新冠肺炎”的标志中是中心对称图形的是(    )

A. 戴口罩讲卫生 B. 勤洗手勤通风
C. 有症状早就医 D. 少出门少聚集

6.  如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线上，若，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

7.  某同学在解不等式组的过程中，画的数轴除不完整外，没有其它问题．他解的不等式组可能是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如果，那么取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  将一些小圆点按如图规律摆放，前个图形中分别有小圆点个，个，个，个，依此规律，第个图形中，小圆点有个．(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，已知一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象经过点，则关于的不等式组的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

12.  如图，在边长为的菱形中，，动点在边上与点，均不重合，点在对角线上，与相交于点，连接，，若，则下列结论：；；；的最小值为其中正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  在函数中，自变量的取值范围是______．

14.  关于的方程的两个根分别是、，则        ．

15.  如图所示的电路图中，当随机闭合，，，中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为______．

16.  如图，掷铁饼者是希腊雕刻家米隆于约公元前年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间．掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看像一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约米，则“弓”所对的圆心角度数为______．

17.  如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象交于，两点，过点作轴于点，连接若，则        ．

18.  如果一个数的平方等于，记作，这个数叫做虚数单位形如为有理数的数叫复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似如：，，请利用以前学习过的有关知识将化简成的形式为即化为分母中不含的形式 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
中华五千年的历史孕育了深厚的民族文化，每一部国学经典都是无尽的宝藏，内含古代人民智慧的结晶陈阳的学校开展了“品读经典文学”的读书打卡活动，为了解学生平均每天“品读经典文学”的时间，在全校范围内随机抽查了部分学生进行调查统计，并将调查统计的结果分为四类，每天诵读时间分钟的学生记为类，分钟分钟的学生记为类，分钟分钟的学生记为类，分钟的学生记为类将收集的数据绘制成如图不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
这次共抽查了多少名学生进行调查统计，并补全条形统计图；
求“类”所在扇形的圆心角度数；
如果该校共有名学生，请你估计该校类学生有多示人？

22.  本小题分
如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为已知液压杆，当，时，求的长参考数据：，，，

 

23.  本小题分
某服装店用元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了元．
这两次各购进这种衬衫多少件？
若第一批衬衫的售价是元件．老板想让这两批衬衫售完后的总利润为元，则第二批衬衫每件售价多少元？

24.  本小题分
如图，在中，是的直径，是的切线，切点是，连接，过点作，与交于点，连接．
求证：是的切线；
若的半径为，，求的长度．

25.  本小题分
如图，是正方形的对角线上一点，点在上，且．
求证：；
求证：；
试探究，，三者之间满足的数量关系，并证明你的结论．

26.  本小题分
如图，二次函数的图象经过点，且与直线交于坐标轴上的，两点，动点在直线下方的二次函数图象上．

求此二次函数解析式；
如图，连接，，设的面积为，求的最大值；
如图，抛物线上是否存在点，使得？若存在，则求出直线的解析式及点坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
利用相反数的定义判断．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：将这组数据从小到大重新排列为，，，，，，，，，
这组数据的众数为，中位数为，
故选：．
将这组数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

5.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称的概念．判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转度后与原图形重合．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，
直角三角板的直角顶点在直线上，，
，
，
，
故选：．
根据直角三角形的直角与平角之间的关系可得到与互余，再根据平行线的性质可知的度数．
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：、不等式组无解，与数轴不合，不符合题意；
B、不等式组的解集为，与数轴相吻合，符合题意；
C、不等式组的解集为，与数轴不合，不符合题意；
D、不等式组无解，与数轴不合，不符合题意；
故选：．
求出每个不等式组的解集，与数轴相比较可得．
本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
解得．
故选A．
根据二次根式的被开方数是一个的数，可得不等式，解即可．
本题考查了二次根式的化简与性质．解题的关键是要注意被开方数的取值范围．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意可知，第个图形，有个小圆点，
第个图形，有个小圆点，
第个图形，有个小圆点，
第个图形，有个小圆点，

第个图形，有个小圆点，
第个图形中，小圆点有个．
故选：．
根据个角的小圆点数为定值，中间的圆点数为，相加计算求解即可．
本题考查了图形类规律，推导出一般规律是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式，利用函数图象，写出在轴上方且函数的函数值小于函数的函数值对应的自变量的范围即可．
【解答】
解：当时，的图象在轴上方，此时；
当时，的图象在的图象下方，此时，
所以不等式组的解集为．
故选：。  

11.【答案】 

【解析】解：连结、、，，设半径为，
，，，
，
的内切圆与，，分别相切于点，，，
，，，且，
，
四边形是正方形，

，
，
，
故选：．
连结、、，，设半径为，利用面积公式求出内切圆半径，，再说明四边形是正方形，得，
本题考查了勾股定理，三角形内切圆，面积法求内切圆半径，扇形面积等知识，解题关键是求出内切圆半径．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，
，，，
，
，
≌，
，，故A正确；
，，，
≌，
，
，
，故B正确；
，，
∽，
，
，
，
，故C正确；
以为底边，在的下方作等腰，使，

，，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
连接，交于，此时最小，是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，
的最小值为，故D错误．
故选：．
根据菱形的性质，利用证明≌，可得，故A正确；利用菱形的轴对称知，≌，得，则，故B正确，利用∽，得，且，可得C正确，利用定角对定边可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接，交于，此时最小，是的垂直平分线，利用含角的直角三角形的性质可得的最小值，从而解决问题．
本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用定边对定角确定点的运动路径是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
 

14.【答案】 

【解析】解：关于的方程的两个根分别是、，
，，
，，
．
故答案为：．
根据根于系数的关系求出和的值，再代入计算即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设、、、中分别用、、、表示，
画树状图得：

共有种等可能的结果，能够让灯泡发光的有种结果，
能够让灯泡发光的概率为：，
故答案为：．
根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．正确的画出树状图是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设“弓”所对的圆心角度数为，
弧长，
，
即“弓”所对的圆心角度数为，
故答案为：．
由弧长公式进行变形计算即可．
本题考查了弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：函数的图象与函数的图象交于，两点，
点和点关于原点对称，
，
是的中线，
，
，即，
设点，
，，
，
．
故答案为：．
首先根据题意得到点和点关于原点对称，进而得到，然后由三角形中线的性质得到，点，根据三角形面积公式代入求解即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形的面积等知识，解题的关键是得出是的中线．
 

18.【答案】 

【解析】解：




，
故答案为：．
利用平方差公式和完全平方公式进行计算，即可解答．
本题考查了实数的运算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

20.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

21.【答案】解：本次共抽查学生人，
答：本次共抽查学生人．
条形图中“类”对应的人数为人，补全图形如下：

“类”所在扇形的圆心角度数为．
答：“类”所在扇形的圆心角度数；
人，
答：估计该校类学生有人， 

【解析】根据类人数及其百分比可得总人数；总人数乘以类百分比可得其人数，即可补全条形统计图；
用类的人数除以总人数可以求得的值，用乘以“类”的百分比即可；
总人数乘以样本中类学生的百分比．
本题考查条形统计图、用样本估计总体、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

22.【答案】解：，
，

，
，
，
，
，

 

【解析】利用锐角三角函数可求，的长，即可求解，结合图形求得的长度．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数求线段的长是解题的关键．
 

23.【答案】解：设第二次购进衬衫件，则第一次购进衬衫件，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
．
答：第一次购进衬衫件，第二次购进衬衫件．
由可知，第一次购进衬衫的单价为元件，第二次购进衬衫的单价为元件，
设第二批衬衫每件售价为元件，
依题意，得：，
解得：，
答：第二批衬衫每件售价为元． 

【解析】设第二次购进衬衫件，则第一次购进衬衫件，根据单价总价数量结合第二次的进价每件比第一次降低了元，列出分式方程，解方程即可；
设第二批衬衫每件售价为元件，由题意：第一批衬衫的售价是元件．老板想让这两批衬衫售完后的总利润为元，列出一元一次方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出一元一次方程．
 

24.【答案】证明：如图，连接，
是的切线，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
是的半径，
是的切线；
解：如图，连接，
在中，，
是的直径，
，
，
，
∽，
，即，
解得：． 

【解析】连接，证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理证明结论；
证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
本题考查的是切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

25.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
；

证明：四边形是正方形，
由得：≌，
，
，
，
，
，
．
在四边形中，
，
；

解：，证明如下：
由得是等腰直角三角形，
，
在中，由勾股定理得：，
四边形是正方形，
，
． 

【解析】根据正方形的性质四条边都相等可得，对角线平分一组对角线可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后等量代换即可得证；
根据全等三角形对应角相等可得，根据等边对等角可得，从而得到，再根据求出，然后根据四边形的内角和定理求出，进而得出结论；
由得是等腰直角三角形，则，最后由勾股定理得，即可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质，证出为等腰直角三角形是解题的关键．
 

26.【答案】解：直线分别交轴、轴于点、点，
，，
把、、代入，
得，解得，
此二次函数解析式为．
如图，作轴于点，交直线于点．
设，则，
，
，
，
当时，的最大值为．
存在．
如图，连接并延长到点，使，连接交抛物线于点，作轴于点．
，，，
，
，
∽，
，
，
垂直平分，
，
．
，，，
≌，
，，，
．
设直线的解析式为，则，解得，
．
由，得，，
；
作点关于轴的对称点，则，连接并延长交抛物线于点，则．
设直线的解析式为，则，解得，
．
由，得，，

综上所述，直线的解析式为，或直线的解析式为， 

【解析】先由直线交坐标轴于，两点，求出点、的坐标，再将点、、的坐标代入，求出、、的值；
过点作轴的垂线，交于点，用点的横坐标表示线段的长，求出关于的函数关系式，再根据二次函数的性质求的最大值；
连接，可证明，将延长至的二倍就得到点关于直线的对称点，连接交抛物线于另一点，得到，由全等三角形的性质求得点的坐标，再用待定系数法求出的解析式；作点关于轴的对称点，用类似的方法求出另一个符合条件的点的坐标和直线的解析式．
此题重点考查二次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质、用待定系数法求函数的解析式、解一元二次方程等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，解第题时要注意分类讨论，以免漏解．此题中等难度，但涉及的方法较多，且有多种不同的解题方法，练习时应尝试使用不同的方法，考试时应选择较简捷的方法．