题型十一 综合探究题 类型五 与圆有关的探究题（专题训练）-中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

题型十一 综合探究题

类型五 与圆有关的探究题（专题训练）

1.（2021·浙江中考真题）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点E，满足，连结并延长交的延长线于点F，与交于点G．

（1）若，请用含的代数式表列．

（2）如图2，连结．求证；．

（3）如图3，在（2）的条件下，连结，．

①若，求的周长．

②求的最小值．

2.（2021·浙江中考真题）在扇形中，半径，点P在OA上，连结PB，将沿PB折叠得到．

（1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B．

①求的度数．

②求AP的长．

（2）如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长．

3.（2021·山东中考真题）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且．连接并延长，与的延长线相交于点E．

（1）求证：；

（2）与，分别交于点F，H．

①若，如图2，求证：；

②若圆的半径为2，，如图3，求的值．

4.（2021·浙江台州市·中考真题）如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4，点A是⊙O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作平行四边形ABCD．

（1）如图2，若点A是劣弧的中点．

①求证：平行四边形ABCD是菱形；

②求平行四边形ABCD的面积．

（2）若点A运动到优弧上，且平行四边形ABCD有一边与⊙O相切．

①求AB的长；

②直接写出平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值．

5.（2021·天津中考真题）已知内接于，点D是上一点．

（Ⅰ）如图①，若为的直径，连接，求和的大小；

（Ⅱ）如图②，若//，连接，过点D作的切线，与的延长线交于点E，求的大小．

6．（2021·浙江中考真题）如图，锐角三角形内接于，的平分线交于点，交边于点，连接．

(1)求证：．

(2)已知，，求线段的长（用含，的代数式表示）．

(3)已知点在线段上（不与点，点重合），点在线段上（不与点，点重合），，求证：．

7.（2021·山东中考真题）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC

（1）求证：AG＝GH；

（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；

（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？

8.（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”．

（1）如图，点的横､纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”是______________；

（2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线段”，求的值；

（3）在中，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长．

9.（2021·湖北中考真题）如图，在菱形中，是对角线上一点（），，垂足为，以为半径的分别交于点，交的延长线于点，与交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若是的中点，，．

①求的长；

②求的长．

10.（2021·四川中考真题）如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．

（1）求证：直线AC是⊙O的切线；

（2）求△ABC的面积；

（3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．

①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；

②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．

11.（2020•南京）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．

（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．

为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC+CB＜AC′+C'B．请完成这个证明．

（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．

①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；

②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．

12.（2020•河南）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．

（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为　　，连接BD，可求出的值为　　；

（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，

①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；

②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．

13.（2020•达州）（1）[阅读与证明]

如图1，在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．

①完成证明：∵点E是点C关于AM的对称点，

∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．

∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，

∴AE＝AB，得∠3＝∠4．

在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝　　°．

在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝　　°．

②求证：BF＝AF+2FG．

（2）[类比与探究]

把（1）中的“正△ABC”改为“正方形ABDC”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：

①∠FEG＝　　°；

②线段BF、AF、FG之间存在数量关系　　．

（3）[归纳与拓展]

如图3，点A在射线BH上，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），在∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．则线段BF、AF、GF之间的数量关系为　　．

14.（2020•鄂州）如图所示：⊙O与△ABC的边BC相切于点C，与AC、AB分别交于点D、E，DE∥OB．DC是⊙O的直径．连接OE，过C作CG∥OE交⊙O于G，连接DG、EC，DG与EC交于点F．

（1）求证：直线AB与⊙O相切；

（2）求证：AE•ED＝AC•EF；

（3）若EF＝3，tan∠ACE时，过A作AN∥CE交⊙O于M、N两点（M在线段AN上），求AN的长．

15.（2020•长沙）如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为4，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE．

（1）求∠AOB的度数；

（2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度；

（3）分别记△ODE，△CDE的面积为S1，S2，当S12﹣S22＝21时，求弦AC的长度．

16.．（2020•广元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．

（1）如图1，求证：AB为⊙O的切线；

（2）如图2，AB与⊙O相切于点E，连接CE交OA于点F．

①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．

②若OF：FC＝1：2，OC＝3，求tanB的值．

17．（2020•连云港）（1）如图1，点P为矩形ABCD对角线BD上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于点E、F．若BE＝2，PF＝6，△AEP的面积为S1，△CFP的面积为S2，则S1+S2＝　　；

（2）如图2，点P为▱ABCD内一点（点P不在BD上），点E、F、G、H分别为各边的中点．设四边形AEPH的面积为S1，四边形PFCG的面积为S2（其中S2＞S1），求△PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）；

（3）如图3，点P为▱ABCD内一点（点P不在BD上），过点P作EF∥AD，HG∥AB，与各边分别相交于点E、F、G、H．设四边形AEPH的面积为S1，四边形PGCF的面积为S2（其中S2＞S1），求△PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）；

（4）如图4，点A、B、C、D把⊙O四等分．请你在圆内选一点P（点P不在AC、BD上），设PB、PC、围成的封闭图形的面积为S1，PA、PD、围成的封闭图形的面积为S2，△PBD的面积为S3，△PAC的面积为S4，根据你选的点P的位置，直接写出一个含有S1、S2、S3、S4的等式（写出一种情况即可）．