精品解析：广东省汕头市高一下学期期末数学试题

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汕头市~普通高中教学质量监测高一数学一､单选题（本题共8小频.每小颗5分.北40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据条件可得，然后可得答案.【详解】因为，，所以所以故选：A2. （    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据复数代数形式的除法法则计算可得；【详解】解：故选：C3. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】当α⊥β时，平面α内的直线m不一定和平面β垂直，但当直线m垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件． 4. 下列区间中，函数单调递增的区间是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数的单调递增区间为，对于函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递增区间为，则，，A选项满足条件，B不满足条件；取，可得函数的一个单调递增区间为，且，，CD选项均不满足条件.故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．5. 函数的部分图象的大致形状是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】运用排除法，由，得出为奇函数， ，可排除得选项．【详解】由，所以为奇函数，排除A，C；因为 的大于0的零点中，最小值为；又因为，排除B，故选：D．【点睛】本题考查函数的图象的辨别，常从函数的奇偶性，特殊点的函数值的正负，函数的单调性运用排除法，属于基础题．6. 函数的最小正周期是A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先由诱导公式及两角的正弦公式将原式展开，再用二倍角公式及半角公式降幂，结合辅助角公式化为一个角的三角函数，用周期公式求出周期;【详解】.∴.故选C.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换、诱导公式、周期公式、辅助角公式等知识，熟练运用这些公式是解题的关键，属于基础题.7. 已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意及圆柱、球的对称，可求得圆柱底面圆半径，根据圆柱表面积的求法，即可得答案.【详解】由题意得球的半径为，设圆柱底面圆半径为r，根据圆柱和球的对称性可得，所以圆柱的表面积.故选：D8. 一个容器装有细沙，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，后剩余的细沙量为，经过8后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为（    ）.A. 24 B. 26 C. 8 D. 16【答案】D【解析】【分析】依题意有= ，解得，得到，再令,求解得到的值，减去最初的即得所求．【详解】依题意有= ，即 ，两边取对数得 ，当容器中只有开始时的八分之一，则有， 两边取对数得，所以再经过的时间为．故选:．二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9. 维生素又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素，现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每克维生素的含量（单位：），得到数据如下.则下列说法不正确的是（    ）猕猴桃  柚子 A. 每克柚子维生素含量的众数为B. 每克柚子维生素含量的分位数为C. 每克猕猴桃维生素含量的平均数高于每克柚子维生素含量的平均数D. 每克猕猴桃维生素含量的方差高于每克柚子维生素含量的方差【答案】BC【解析】【分析】利用众数的概念可判断A选项；利用百分位数的定义可判断B选项；利用平均数公式可判断C选项；利用方差公式可判断D选项.【详解】对于A选项，每克柚子维生素含量众数为，A对；对于B选项，每克柚子维生素含量的分位数为，B错；对于C选项，每克猕猴桃维生素含量的平均数为，每克柚子维生素含量的平均数为，C错；对于D选项，每克猕猴桃维生素含量的方差为，每克柚子维生素含量的方差为，D对.故选：BC.10. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）A. 函数的单调递增区间是B. 函数的值域是RC. 函数的图象关于对称D. 不等式的解集是【答案】BCD【解析】【分析】根据对数函数相关复合函数的单调性，值域，对称性，及解对数不等式，依次判断即可得出结果.【详解】对于A:因为为增函数,所以求的单调递增区间即求的单调递增区间,即.又对数函数的定义域有,解得.故函数的单调递增区间是.A错误；对于B：，由对数函数的定义域解得：，则，由于，所以，即函数的值域是，B正确；对于C: ,关于对称，所以函数的图象关于对称，故C正确；对于D: ,即，解得：，故D正确；故选：BCD.11. 已知向量，，则下列结论正确的是（    ）.A. 若，则B. 若，则C. 若取得最大值，则D. 的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】根据向量平行的坐标运算，结合同角三角函数的关系，可判断A的正误；根据向量垂直的坐标运算，结合同角三角函数的关系，可判断B的正误；根据数量积公式、辅助角公式、诱导公式，化简整理，即可判断C的正误；根据求模公式、辅助角公式，化简整理，可判断D的正误，即可得答案.【详解】对于A：若，则，所以，故A错误；对于B：若，则，所以，故B正确；对于C：，其中，当取得最大值时，则，所以，故C正确；对于D：，所以，其中，当时，，故D正确故选：BCD12. 已知函数，则（    ）A. 是周期函数 B. 的图象必有对称轴C. 的增区间为 D. 的值域为【答案】ABD【解析】【分析】对A，由可判断；对B，由可判断；对C，根据和的大小可判断；对D，求出在的取值范围即可.【详解】对A，，故是的周期，故A正确；对B，，故关于轴对称，故B正确；对C，当时，区间为，，，故在不单调递增，故C错误；对D，由AB可得，则关于对称，且周期为，故值域即为在的取值范围，此时，，，，，可知在单调递增，，，故的值域为.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题考查与三角函数相关函数的性质问题，解题的关键是判断出函数的周期和对称轴.三､填空题（每小题5分，共20分）.13. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.【答案】【解析】【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．【详解】根据题意可得基本事件数总为个.点数和为5的基本事件有，，，共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14. 已知正实数a，b满足，则的最小值为______．【答案】3【解析】【分析】利用基本不等式求目标式最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，，当且仅当时等号成立.故答案为：315. 已知，，，则、、 从小到大的顺序为_______.【答案】【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；【详解】解：，，，即，，所以故答案：16. 斧头的形状叫楔形，在《算数书》中又称之为“郓（yùn）都”或“潮（qiàn）堵”：其上底是一矩形，下底是一线段.有一斧头：上厚为三，下厚为六，高为五及袤（mào）为二，问此斧头的体积为几何？意思就是说有一斧头形的几何体，上底为矩形，下底为一线段，上底的长为3，下底线段长为6，上下底间的距离高为5，上底矩形的宽为2，则此几何体的体积是___________.
 【答案】20【解析】【分析】如图所示：过A作，垂足为M，连接MD，过B作，垂足为N，连接CN，将所求几何体分割成1个直三棱柱和2个全等的三棱锥，根据柱体、锥体的体积公式，代入数据，即可得答案.【详解】过A作，垂足为M，连接MD，过B作，垂足为N，连接CN，如图所示则三棱柱为直棱柱，三棱锥与三棱锥全等，由题意得AB=3，BC=2，EF=6，底边BC上的高为5，所以所以该几何体的体积.故答案为：20四､解答题（共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17. 已知函数（，且）满足.（1）求的值；（2）解不等式.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据解析式及题中所给数据，代入即可得a值（2）由（1）可得解析式，代入不等式，根据指数的运算性质即单调性，即可得答案.【小问1详解】因为所以，整理得，解得或（舍）【小问2详解】由（1）可得，所以，即为，整理可得，因为为单调递增函数，所以，解得，所以不等式的解集为18. 有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的（即百万分之一）的鱼被人食用后，就会对人体产生危害.在条鱼的样本中发现的汞含量（单位：）如下：（1）因为样本数据的极差为，所以取区间为，组距为，请把频率分布表补充完整；（2）请把频率分布直方图补充完整；（3）求得上述样本数据的平均数为和标准差为，则在上述样本中，有多少条鱼的汞含量在以平均数为中心、倍标准差的范围内？【答案】（1）频率分布表见解析    （2）频率分布直方图见解析    （3）【解析】【分析】（1）根据分组、频数、频率，结合题中数据可制成频率分布表；（2）根据频率分布表可作出频率分布直方图；（3）求出相应的区间，结合样本数据可得结果.【小问1详解】解：根据题意，频率分布表如下表所示：分组频数频率合计【小问2详解】解：频率分布直方图如下图所示：
【小问3详解】解：平均数为，标准差为，，，在上述样本中，其中汞含量在范围内的鱼的条数为.19. 如图，已知是底面为正方形的长方体，，，点是上的动点.
 （1）当为的中点时，求异面直线与所成的角的余弦值；（2）求与平面所成角的正切值的最大值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）过点作，垂足为，连接，则，得到或其补角是异面直线与所成的角，结合题设条件和，即可求解； （2）由平面，得到是与平面所成的角且，当最小时，得出，即可求解.【小问1详解】解：如图所示，过点作，垂足为，连接，则，所以或其补角是异面直线与所成的角，在中，因为，所以，又因为，，且，在中，，所以，即异面直线与所成的角的余弦值为.【小问2详解】解：由是长方体知，平面，所以是与平面所成的角，则，当最小时，最大，这时，又由直角中，可得，得，即与平面所成角的正切值的最大值为.20. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为.为钝角，且.（1）求小岛与小岛之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；（2）记为，为，求的值.【答案】（1）2，18平方（2）【解析】【分析】（1）由同角的平方关系，求出，在中结合余弦定理即可求出结果；（2）在中结合正弦定理求得，然后根据同角的平方关系求出，再由平面几何图形以及诱导公式求出和，然后利用两角和的正弦公式即可求出结果.【详解】（1）因为，且角为钝角，所以.在中，由余弦定理得，，所以，即，解得或（舍），所以小岛与小岛之间的距离为.∵，，，四点共圆，∴角与角互补，∴，，在中，由余弦定理得：，∴，∴.解得（舍）或.∴.∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方.（2）在中，由正弦定理，，即，解得 又因为，所以，且为锐角，所以为锐角，所以，又因为，， 所以.21. 如图，已知在矩形中，，，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：面；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析    （2）证明见解析    （3）【解析】【分析】（1）取线段的中点，连接、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立；（2）翻折前，利用勾股定理证明出，翻折后则有，，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（3）过点在平面内作，垂足为点，连接，分析可知二面角的平面角为，证明出，计算出的长，即可求得的余弦值，即为所求.【小问1详解】证明：取线段的中点，连接、，翻折前，在矩形中，为的中点，，则，所以，，翻折后，在三棱锥中，、分别为、的中点，则，平面，平面，平面，为的中点，且，则，所以，为的中点，又因为为的中点，所以，，平面，平面，所以，平面，，所以，平面平面，因为平面，平面.【小问2详解】证明：在矩形中，，，，，因为，则，因为，为的中点，所以，，则，所以，，所以，，则，在三棱锥中，则有，，因为，所以，面.【小问3详解】解：在三棱锥中，，，，所以，，，过点在平面内作，垂足为点，连接，平面，平面，，因为，，平面，平面，，所以，二面角的平面角为，在中，，，，由余弦定理可得，所以，，所以，，因为平面，平面，，所以，，故，因此，二面角的余弦值为.22. 已知函数，（1）判断 的奇偶性并证明；（2）若，求的最小值和最大值；（3）定义，设.若在内恰有三个不同的零点，求a的取值集合.【答案】（1）偶函数，证明见解析.    （2），    （3）【解析】【分析】（1）结合奇偶性的定义直接证明即可；（2）将看作整体，结合二次函数的性质即可求出最值；（3）由于，则转化为或，然后分类讨论即可求出结果.【小问1详解】是偶函数证：因为的定义域为,且∴f（x）是偶函数【小问2详解】当，则 又∴当时，当时，【小问3详解】因为都是偶函数.所以在上是偶函数，因为恰有3个零点，所以，则有：或，① 当时，即且时，因为当，令，因为，解得或，所以恰有3个零点，即满足条件：.② 当时，即且时，此时，当时，只有1个零点，且，所以恰有3个零点等价于恰有2个零点，所以，解得，此时有2个零点符合要求，当时只有一个零点x=0，有2个零点符合要求，当时，解得或，令解得或（舍去），所以的根为，要使恰有3个零点，则综上：【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．