精品解析：湖北省武汉市高三下学期五月模拟(二)数学试题

武汉市高三年级五月模拟试题（二）

数学试卷

武汉市教育科学研究院命制2022.5.

本试卷共6页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、单项选择题（每小题有且只有一个正确选项，把正确选项填涂在答题卡相应位置上.每小题5分，共40分）

1. 设集合，集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求解集合与集合，再利用交集运算求解.

【详解】解：因为，解得或，故，

又，解得，故.

所以.

故选：B.

2. 已知，，，则1a，b，c大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用指数函数及对数函数的性质即得．

【详解】∵，，

，

∴.

故选：A.

3. 已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解.

【详解】，，，，，

，所以.

故选：C

4. 设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（    ）

A.  B. -1 C. 1 D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用等差中项，及等差数列前n项和的性质即可求解.

【详解】解：在等差数列中，，，故，

又，故，

则，故.

故选：C.

5. 2021年12月22日教育部提出五项管理“作业、睡眠、手机、课外阅读、健康管理”，体育锻炼是五项管理中一个非常重要的方面，各地中小学积极响应教育部政策，改善学生和教师锻炼设施设备.某中学建立“网红”气膜体育馆（图1），气膜体育馆具有现代感、美观、大气、舒适、环保的特点，深受学生和教师的喜爱.气膜体育馆从某个角度看，可以近似抽象为半椭球面形状，该体育馆设计图纸比例（长度比）为1∶20（单位：m），图纸中半椭球面的方程为（）（如图2），则该气膜体育馆占地面积为（    ）

A. 1000m2 B. 540m2

C. 2000m2 D. 1600m2

【答案】D

【解析】

【分析】令得到半椭球面在平面上的边缘投影方程为，并确定半径，再应用圆的面积公式求面积.

【详解】当时，在平面上的边缘投影为，即，

所以投影是半径为2 m的圆，又体育馆设计图纸比例（长度比）为1∶20，

故实际投影半径为40 m的圆，则面积为.

故选：D

6. 已知正实数x，y，则“”是“”的（    ）

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据基本不等式“1”的妙用求出的最小值即可判定.

【详解】，当且仅当等号成立，所以充分性成立，

当时，，此时，所以必要性不成立.

故选：B.

7. 某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（    ）

A. 288 B. 336 C. 576 D. 1680

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意,分2步进行分析,由分步计数原理计算可得答案.

【详解】解:第一步:排白车,第一行选一个位置,则第二行有三个位置可选,由于车是不相同的,故白车的停法有种,

第二步,排黑车,若白车选,则黑车有共7种选择,黑车是不相同的,故黑车的停法有种，

根据分步计数原理,共有种,

故选：B

8. 已知偶函数（，）在上恰有2个极大值点，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用辅助角公式化简函数，根据偶函数的性质结合的取值范围，求解的值，最后化简得到，再根据函数在上恰有2个极大值，代入，即可求解的取值范围.

【详解】解：，

因为，则，故，

又函数为偶函数，故，解得，

故，

因为函数在上恰有2个极大值，故当时，，

即.

故选：D.

二、多项选择题（每小题有多于一个的正确选顶，全答对得5分，部分答对得2分，有错误选项的得0分）

9. 设复数，则（    ）

A. z的虚部为 B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据复数的运算化简，再结合复数的虚部，共轭复数，复数的模的概念判断各选项即可.

【详解】因为，

所以z的虚部为，A对，

，B错，

，C对，

，

，D错，

故选：AC.

10. 已知圆M：，直线l：，直线l与圆M交于A，C两点，则下列说法正确的是（    ）

A. 直线l恒过定点

B. 的最小值为4

C. 的取值范围为

D. 当最小时，其余弦值为

【答案】ABC

【解析】

【分析】A.直线方程变形为，即可判断定点坐标；B.根据定点是弦的中点时，此时最短；C.根据向量数量积公式，转化为求的最值；D.根据C即可判断.

【详解】A.直线，即，直线恒过点，故A正确；

B.当定点是弦的中点时，此时最短，圆心和定点的距离时，此时，故B正确；

C.当最小时，最小，此时，此时，当是直径时，此时最大，，此时，所以的取值范围为，故C正确；

D.根据C可知当最小时，其余弦值为，故D错误.

故选：ABC

11. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.则下列说法正确的是（    ）

A. 函数在区间（）上单调递增

B. 若函数，则的值域为

C. 若函数，则的值域为

D. ，

【答案】AC

【解析】

【分析】求出函数式确定单调性判断A；举特例说明判断B，D；变形函数式，分析计算判断C作答.

【详解】对于A，，，有，则函数在上单调递增，A正确；

对于B，，则，B不正确；

对于C，，

当时，，，有，

当时，，，有，的值域为，C正确；

对于D，当时，，有，D不正确.

故选：AC

12. 已知正方体的棱长为2（如图所示），点M为线段（含端点）上的动点，由点A，，M确定的平面为，则下列说法正确的是（    ）

A. 平面截正方体的截面始终为四边形

B. 点M运动过程中，三棱锥的体积为定值

C. 平面截正方体的截面面积的最大值为

D. 三棱锥的外接球表面积的取值范围为

【答案】BCD

【解析】

【分析】举例说明判断A；利用等体积法推理判断B；建立函数关系，借助函数性质计算判断C，D作答.

【详解】正方体的棱长为2，点M为线段（含端点）上的动点，

对于A，当点M与点C重合时，平面只与正方体的共点D的三个面有公共点，所得截面为三角形，A不正确；

对于B，点M到平面的距离为2，而，B正确；

对于C，当点M与点C重合时，截面为正三角形，其边长为，截面面积为，

当点M与点C不重合时，平面平面，如图，，

当点M与点重合时，截面是正方体的对角面，其面积为，

令，截面是等腰梯形，则，，

等腰梯形的高，

截面面积，

令，显然在上递增，，则，

所以截面面积，最大值为，C正确；

对于D，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，设点，，

三棱锥的外接球截平面所得截面小圆是的外接圆，其圆心为中点，

三棱锥的外接球球心O在过点E垂直于平面的直线l上，设点，

由得：，即，有，

所以三棱锥的外接球表面积，D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.

三、填空（每题5分，共20分，把正确答案填写在答题卡相应位置上

13. 已知，，，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的性质，结合数量积的运算律计算作答.

【详解】因，，，所以.

故答案为：

14. 已知函数，则__________.

【答案】-2

【解析】

【分析】利用复合函数求导法则求导，求出函数，再求函数值作答.

【详解】由函数求导得：，当时，，解得，

因此，，所以.

故答案为：-2

15. 奥运吉祥物“雪容融”是根据中国传统文化中灯笼的造型创作而成，现挂有如图所示的两串灯笼，每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯笼，直至某一串灯笼被摘完为止，则左边灯笼先摘完的概率为________.

【答案】##0.6875

【解析】

【分析】根据题意可知每次摘左边的灯笼和右边的灯笼的概率都是，再分2次，3次，4次先摘完左边的灯笼三种情况讨论，结合相互独立事件的乘法公式即可得出答案.

【详解】解：根据题意可知每次摘左边的灯笼和右边的灯笼的概率都是，

要使左边灯笼先摘完则摘灯笼的次数为2，3，4次，

若2次先摘完左边的灯笼，则概率为，

若3次先摘完左边的灯笼，则概率为，

若4次先摘完左边的灯笼，则概率为，

所以左边灯笼先摘完的概率为.

故答案：.

16. 已知，，是双曲线C：的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于点A，与右支交于点B，与内切圆的圆心分别为，，半径分别为，，则的横坐标为__________；若，则双曲线离心率为__________.

【答案】    ①.     ②. 2

【解析】

【分析】根据题意，利用三角形内切圆的性质及双曲线的定义可得双曲线焦点三角形内切圆圆心的横坐标为；利用三角形相似及两个内切圆半径的比值，构造的齐次方程，即可求解离心率.

【详解】

如图，在中，圆为内切圆，切点分别为，

故，

又是双曲线上的一点，故，即，

又，故，则.

故的内切圆的圆心横坐标为，

同理可得，的内切圆的圆心横坐标为，即；

又，则，

即，解得.

故答案为：；2.

四、解答题（要求写出必要的过程，第17题10分，第18~22题各12分，共70分.）

17. 记正项数列的前n项和为，且满足对任意正整数n有，，构成等差数列；等比数列的公比，，.

（1）求和的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

【答案】（1），；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用给定条件列式，结合“当时，”变形整理，求出，进而求出作答.

（2）利用（1）的结论求出，再利用裂项相消法求解作答.

【小问1详解】

依题意，，，当时，，

当时，，两式相减得：，

即，于是得，

则数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以；

依题意，，有，又，则，又，解得，

所以.

【小问2详解】

由（1）知，，，则，

，

所以.

18. 如图，在三棱锥中，平面平面,，，D，E分别为，中点，且.

（1）求的值；

（2）若，求二面角的余弦值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）作于F，连接，，则平面，，平面，可得，然后由射影定理可求得结果，

（2）取中点为G，连接，，可得为二面角的平面角，然后利用余弦定理求解即可

【小问1详解】

作于F，连接，，

∵平面平面，平面平面，，面

∴平面.

∵.∴平面，平面

∴,

∵，，，平面,

∴平面，平面，∴,

∵D，E分别为，中点，，，

∴，

∵，,

∴

∴

【小问2详解】

由，，取中点为G，连接，.

由，为等腰三角形，

故，，

则为二面角的平面角.

，.

.

所以二面角余弦值为.

19. 如图，在平面四边形中，，，.

（1）当，时，求的面积；

（2）当，时，求.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理求出，，再利用诱导公式、三角形面积公式计算作答.

（2）在和中用正弦定理求出AC，再借助同角公式求解作答.

【小问1详解】

当时，在中，由余弦定理得，

即，解得，，

因为，则，又，

所以的面积是.

【小问2详解】

在中，由正弦定理得，即，

在中，由正弦定理得，即，

则，整理得，而，为锐角，

所以.

20. 某社区拟对该社区内8000人进行核酸检测，现有以下两种核酸检测方案：

方案一：4人一组，采样混合后进行检测；

方案二：2人一组，采样混合后进行检测；

若混合样本检测结果呈阳性，则对该组所有样本全部进行单个检测；若混合样本检测结果呈阴性，则不再检测.

（1）某家庭有6人，在采取方案一检测时，随机选2人与另外2名邻居组成一组，余下4人组成一组，求该家庭6人中甲，乙两人被分在同一组的概率；

（2）假设每个人核酸检测呈阳性的概率都是0.01，每个人核酸检测结果相互独立，分别求该社区选择上述两种检测方案的检测次数的数学期望.以较少检测次数为依据，你建议选择哪种方案？

（附：，）

【答案】（1）；   

（2）建议选择方案一.

【解析】

【分析】（1）利用组合求出事件的基本事件数，再利用古典概率公式计算作答.

（2）求出两个方案检测对应组的检测次数的期望，再求出8000人检测总次数的期望，比较大小作答.

【小问1详解】

记该家庭6人中甲，乙两人被分在同一组为事件A，

则.

【小问2详解】

每个人核酸检测阳性概率为0.01，则每个人核酸检测呈阴性概率为0.99，

若选择方案一进行核酸检测，记小组4人的检测次数为，则可能取值为1，5，其分布列为：

则选择方案一，小组4人的检测次数期望为，

于是得该社区对8000人核酸检测总次数的期望为，

若选择方案二，记小组2人的检测次数为，则可能取值为1，3，其分布列为：

，

于是得该社区8000人进行核酸检测总次数的期望，

显然，所以建议选择方案一

21. 函数，其中a，b为实数，且.

（注为自然对数的底数）

（1）讨论的单调性；

（2）已知对任意，函数有两个不同零点，求a的取值范围.

【答案】（1）时，在上单调递减；

时，在上单调递减；在上单调递增.   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据导数与单调性的关系分和两种情况讨论即可；

（2）在的情况下，确定的单调性与最值情况，结合零点存在性定理判定a的取值范围.

【小问1详解】

，由，

当时，，在上单调递减；

当时，令得，

时，，在上单调递减；

时，，在上单调递增；

综上所述：

时，在上单调递减；

时，在上单调递减；在上单调递增.

【小问2详解】

由（1）可知：当时，在上单调递减；

在上单调递增；于是有

∵函数在定义域上有两个零点

∴，令，即有

，∴在单调递增，在单调递减，

又时，；时，注意到.

要使得成立，必有

即对任意，有恒成立，即恒成立

所以有恒成立，所以.

此时，

，

令，，

，

在单调递增.

，故，使得.又，故，使得；满足恰有两个零点.

综上所述，

【点睛】函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

22. 已知点在抛物线E：（）的准线上，过点M作直线与抛物线E交于A，B两点，斜率为2的直线与抛物线E交于A，C两点.

（1）求抛物线E的标准方程；

（2）（ⅰ）求证：直线过定点；

（ⅱ）记（ⅰ）中的定点为H，设的面积为S，且满足，求直线的斜率的取值范围.

【答案】（1）   

（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）

【解析】

【分析】（1）根据点在抛物线的准线上可得，即可求出抛物线方程

（2）（ⅰ）设直线的方程为，与抛物线联立方程组得到，再写出直线的方程，根据两点式写出 ，整理消去 ，即可求出直线所过定点

（ⅱ）因为，根据（ⅰ）中的结论和弦长公式求出，再根据列出关于的不等式，解出的范围即可

【小问1详解】

由题意可知C：（）的准线方程为：，

即，所以.

抛物线C的标准方程为

【小问2详解】

设，，，

（ⅰ）由题意知直线不与y轴垂直，故直线方程可设为：，

与抛物线方程联立

，化简得：，根据韦达定理可得：

即，

，直线方程为，整理得：.

又因为，即.

将代入化简可得：，

代入整理得：

故直线过定点

（ⅱ）由（ⅰ）知与x轴平行，直线的斜率一定存在

，

由（ⅰ）知

所以，又因为

即，化简得或

又由，得：且，即或

综上所述，