精品解析：湖南省长沙市长沙县高一下学期期末数学试题

高中一年二期期末检测试卷

数学

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 如图，四边形中，，则相等的向量是（    ）

A. 与 B. 与 C. 与 D. 与

【答案】D

【解析】

【分析】判断出四边形为平行四边形，结合平行四边形的性质以及相等向量的定义可得出合适的选项.

【详解】因为在四边形中，，则四边形为平行四边形，

故，，，，

故选：D.

2. 设复数z满足（其中i为虚数单位），则（    ）

A.  B.  C. 5 D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数求模长公式进行计算.

【详解】.

故选：A

3. 圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为，则球的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设出球的半径为R，得到圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，由圆柱体积列出方程，求出半径R，从而求出球的体积.

【详解】设球的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，

所以，解得：，

则球的体积为

故选：A

4. 为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为（    ）

A. 3 B. 5 C. 6 D. 9

【答案】C

【解析】

【分析】用列举法一一表示出该试验中样本点，从而求出该试验中样本点的个数

【详解】由题意，得样本点为（数学，计算机），（数学，航空模型），（数学，绘画），（计算机，航空模型），（计算机，绘画），（航空模型，绘画），共6个，

故选：C．

5. “治国之道，富民为始.”共同富裕是社会主义的本质要求，是中国式现代化的重要特征，是人民群众的共同期盼.共同富裕是全体人民通过辛勤劳动和相互帮助最终达到丰衣足食的生活水平，是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕．请你运用数学学习中所学的统计知识加以分析，下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（       ）

A. 平均数小，方差大 B. 平均数小，方差小

C. 平均数大，方差大 D. 平均数大，方差小

【答案】D

【解析】

【分析】根据平均数与方差的含义即可求解.

【详解】方差反映的是一组数据的波动情况，方差越大说明数据偏离平均水平的程度越大，平均数是整体的平均水平，是一组数据的集中程度的刻画，所以最能体现共同富裕要求的是平均数大，方差小.

故选：D

6. 设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【详解】设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”，则“lm且ln”，反之若“lm且ln”，当m//n时，推不出“l”，∴ “l”是“lm且ln”的充分不必要条件，选A．

7. 如图所示，在平行四边形中，，为的中点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量加减法的几何意义将转化为、即可.

【详解】

.

故选：B

8. 人类通常有O，A，B，AB四种血型，某一血型的人可以给哪些血型的人输血，是有严格规定的．设X代表O，A，B，AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者，则输血规则如下：①X→X；②O→X；③X→AB．已知我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照上述规则，若受血者为A型血，则一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为（       ）

A. 0.31 B. 0.48 C. 0.65 D. 0.69

【答案】D

【解析】

【分析】由题可得O型血和A型血可以为这位受血者输血，即可求出.

【详解】若受血者为A型血，则O型血和A型血可以为这位受血者输血，所以一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为.

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 下列命题错误的是（       ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，，

【答案】ABC

【解析】

【分析】由线面平行的判定及性质依次判断即可.

【详解】对于A，还可能是，A错误；对于B，的位置关系不确定，B错误；

对于C，还可能是，C错误；对于D，由线面平行的判定知D正确.

故选：ABC.

10. 在中，角、、所对的边分别为、、，且、、，下面说法错误的是（    ）

A.

B. 是锐角三角形

C. 的最大内角是最小内角的倍

D. 内切圆半径为

【答案】BCD

【解析】

【分析】A选项，由正弦定理判断；B选项，根据，得到中最大角为角，再利用余弦定理判断；C选项，假设，由求解判断；D选项，设的内切圆半径为，由求解判断.

【详解】A选项，∵，、、，∴，对，

B选项，由于，则中最大角为角，

∵，∴，∴是钝角三角形，错，

C选项，假设的最大内角是最小内角的倍，则，

即，

又，即，，不符合题意，错，

D选项，∵，∴，

∴，

设的内切圆半径为，则，

∴，错，

故选：BCD

11. 下列命题中是真命题的有（    ）

A. 有A，B，C三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30

B. 一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同

C. 若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲

D. 某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间内的频率为

【答案】BD

【解析】

【分析】利用分层抽样中样本的抽样比等于各层的抽样比即可判断A，求出这一组数据的平均数、众数、中位数即可判B，计算乙的方差，比较方差大小即可判断C，利用落在区间内的个数除以总的个数计算概率，即可判断D，从而得出正确选项.

【详解】对于选项A：根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为，故选项A 不正确；

对于选项B：数据1，2，3，3，4，5的平均数为，众数和中位数都是，故选项B正确；

对于选项C：乙组数据的平均数为，乙组数据的方差为

，所以这两组数据中较稳定的是乙，故选项C不正确；

对于选项D：样本数据落在区间有120，122，116，120有个，所以样本数据落在区间内频率为，故选项D正确，

故选：BD

12. 如图所示是正方体的平面展开图，那么在正方体中（    ）

A.

B. EF和BC所成的角是60°

C. 直线AC和平面ABE所成的角是30°

D. 如果平面平面，那么直线直线.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据正方体的平面展开图还原正方体，利用正方体的性质，结合异面直线的位置关系，线面位置关系及面面平行的性质依次判断各项正误.

【详解】

如图，把正方体的平面展开图还原成正方体.

在正方体中，可知，

故异面直线与所成的角即为与所成的角为，故A项错误；

同理，与所成的角即为与所成的角为，故B项正确；

在正方体中，，，，，故平面，则点到平面的距离为，

设直线与平面所成的角为，则，故，故C项正确；

在正方体中，，

则平面平面，平面平面于直线，平面平面，故直线直线，故D项正确.

故选：BCD.

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 我国2021年9月至2022年3月的居民消费指数（上年同月＝100）分别为100.7，101.5，102.3，101.5，100.9，100.9，101.5，则这组数据的第20百分位数是________．

【答案】100.9

【解析】

【分析】利用百分位数的定义去求这组数据的第20百分位数即可

【详解】将这组数据按从小到大排列为100.7，100.9，100.9，101.5，101.5，101.5，102.3，

由7×20%＝1.4，可知这组数据的第20百分位数为第2项数据，即100.9．

故答案为：100.9

14. 从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题中条件，列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率.

【详解】从甲、乙、丙三人中任选两名代表，所包含的基本事件有(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共三个，其中甲被选中包含(甲，乙)，(甲，丙)共两个基本事件，故甲被选中的概率为.

故答案为：.

15. 已知正方体的棱长为1，则点B到直线的距离为_________．

【答案】

【解析】

【分析】连接，过B作，则即为所求，由三角形等面积计算求解.

【详解】解：如图，连接，过B作，则即为点B到直线的距离，

在正方体中，平面，，在直角中，，且，所以 ，点B到直线距离为.

故答案为：.

16. 已知是的中线，若，，则的最小值是____________．

【答案】 1

【解析】

【详解】试题分析：因为，又，所以，即，的最小值是1.

考点：向量数量积

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知复数，，i为虚数单位．

（1）若，求z的共轭复数；

（2）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先由复数除法运算化简求出，即可得出共轭复数；

（2）先求出，根据象限列出不等式即可求出.

【小问1详解】

由，所以；

【小问2详解】

由题意，复数，，则，   

 ∵复数在复平面上对应的点在第一象限，

∴解得，

∴实数a的取值范围．

18. 从1~30这30个整数中随机选择一个数，设事件M表示选到的数能被2整除，事件N表示选到的数能被3整除．求下列事件的概率：

（1）这个数既能被2整除也能被3整除；

（2）这个数能被2整除或能被3整除；

（3）这个数既不能被2整除也不能被3整除．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）求出既能被2整除也能被3整除的数的个数，再由古典概型求解即可；

（2）先由古典概型求出，再由求解即可；

（3）由对立事件的概率公式求解即可.

【小问1详解】

1~30这30个整数中既能被2整除也能被3整除的有5个，∴；

【小问2详解】

1~30这30个整数中能被2整除的有15个，能被3整除的有10个，所以，，

；

【小问3详解】

由于事件“这个数既不能被2整除也不能被3整除”与事件“这个数能被2整除或能被3整除”互为对立事件，

则．

19. 已知向量，，，．

（1）求；

（2）若，求实数的值．

（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）   

（3）且

【解析】

【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示即可求出；

（2）根据平面向量线性运算的坐标表示以及向量平行的坐标表示即可解出；

（3）根据平面向量数量积的坐标表示即可解出．

【小问1详解】

因为，，，．

【小问2详解】

，，

，， 解得．

【小问3详解】

与的夹角是钝角，，且，

，且，解得且．

20. 在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角C的大小；

（2）若，且，求△ABC的周长．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解；（2）根据余弦定理即可求解.

【小问1详解】

由及正弦定理得   

    因为，故．   

    又∵ 为锐角三角形，所以．

【小问2详解】

由余弦定理，   

    ∵，得

    解得：或  

∴ 的周长为．

21. 年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境，某部门在某小区年龄处于岁的人中随机地抽取人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据.

（1）求、、的值；

（2）根据频率分布直方图，估计这人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）；

（3）从年龄段在的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取人进行专访，并在这人中选取人作为记录员，求选取的名记录员中至少有一人年龄在中的概率.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】（1）由频率分布直方图和频数分布表能求出、、；

（2）根据频率分布直方图，能估计这人年龄的平均值；

（3）从年龄段在的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取人进行专访，中选人，分别记为、、、、，中选人，分别记为、、、，在这人中选取人作为记录员，利用列举法列举出所有的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】（1）由题意得：；

（2）根据频率分布直方图，估计这人年龄的平均值为：；

（3）从年龄段在的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取人进行专访，

从中选：人，分别记为、、、、，

从中选：人，分别记为、、、，

在这人中选取人作为记录员，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共种，

选取的名记录员中至少有一人年龄在包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共种，

因此，选取的名记录员中至少有一人年龄在中的概率.

【点睛】本题考查频率、平均数、概率的求法，考查频数分布表、频率分布直方图、分层抽样、古典概型的性质等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是基础题.

22. 如图，四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，侧面为矩形，，，.

（1）证明：平面平面；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据勾股定理可证，易证，再根据面面垂直判定定理即可证明结果；

（2）因为，由（1）可知平面，由此可知是三棱锥高，再根据，由此即可求出结果.

【小问1详解】

证明：中，因为，，，

所以.

所以，

又侧面为矩形，

所以，

又，，平面.

所以平面，

又平面，

所以平面平面.

【小问2详解】

解：因为，平面，

所以平面，

易得，，，，

所以的面积.

三棱锥的体积.