人教版九年级上册21.1 一元二次方程优秀精练

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专题21.1 一元二次方程（知识梳理与题型讲解）【知识点1】一元二次方程的概念方程中只含有一个未知数的整式方程，并可以化成 的形式，这样的方程叫一元二次方程。构成一元二次方程的条件：（1）整式方程；（2）二次项系数; （3）一定是整理后化为的形式。【例1】下列方程是一元二次方程的是（    ）A．       B．       C．        D．【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，进行判断即可． 解：A、是一元二次方程，故该选项符合题意；B、含有两个未知数，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；C、不是整式方程，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；D、未知数的最高次数是1，故是一元一次方程，该选项不符合题意．故选：A．【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2．【变式】下列方程是一元二次方程的是（    ）A．   B．（a，b，c均为常数）C．   D．【答案】C【分析】根据形如（a，b，c均为常数）的整式方程判断即可．      A、中有分式，不是一元二次方程，故不符合题意；B、是一元二次方程，故不符合题意；C、整理得是一元二次方程，故符合题意；D、整理得不是一元二次方程，故不符合题意；故选C．【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，形如（a，b，c均为常数）的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【知识点2】一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。【例2】将方程化成的形式，则，，的值分别为（    ）A．，，   B．，，   C．，，   D．，，【答案】C【分析】将原方程化为一般形式，进而可得出，，的值．解：将原方程化为一般形式得：，∴，，．故选：C．【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式，牢记“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式”是解题的关键．【变式】把方程化成的形式后，a，b，c的值分别是多少？（   ）A．3、7、1       B．2、       C．1、       D．3【答案】C【分析】把一元二次方程化成一般式，写出a，b，c的值即可．解：∴a，b，c的值分别是1、，故选C．【点拨】本题考查一元二次方程的一般形式，能运用整式的乘法进行整理是解题的关键． 【知识点3】根据实际问题列简单的一一元二次方程从实际问题中抽象出一元二次方程的一般步骤（1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间关系；（2）选择合适的未知数，一般设为x;（3）确定等量关系；（4）根据等量关系列出一元二次方程，并化为一般形式。【例3】根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：（1）一个矩形的长比宽多，面积是，矩形的长和宽各是多少？（2）有一根长的铁丝，怎样用它围成一个面积为的矩形？（3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？【答案】（1），；（2），；（3），【分析】（1）设宽为xcm，根据矩形的面积＝长×宽列出方程解答即可；（2）设矩形的长为则矩形的宽为根据矩形的面积＝长×宽列出方程解答即可；（3）设有人参加聚会，根据握手次数＝×人数×（人数−1）列出方程即可．解：（1）设矩形的宽为则矩形的长为由矩形的面积公式得（2）设矩形的长为则矩形的宽为由矩形的面积公式得（3）设有人参加聚会，根据题意得可知即．【点拨】本题考查了根据实际问题列出一元二次方程的知识，列一元二次方程的关键是找到实际问题中的相等关系．【变式】根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：（1）一个圆的面积是，求半径；（2）一个直角三角形的两条直角边相差，面积是，求较长的直角边的长．【答案】（1）；（2）；【分析】（1）根据圆的面积公式列出方程即可；（2）根据直角三角形的面积公式计算即可．解：（1）设这个圆的半径为R，由圆的面积公式得，∴；（2）设这个直角三角形较长的直角边为，由直角三角形的面积公式得，，．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，解决问题的关键是找出实际问题中的相等关系． 【知识点4】一元二次方程的的近似解的具体步骤（1）列表，根据未知数的取值，分别计算的值；（2）在表中找出可能使的值等于0的符合要求的未知数的取值范围；（3）进一步在（2）中的范围内列表、计算、估计范围，直到近似解符合题中精确度的要求为止。【例4】根据下表的对应值，试判断一元二次方程 的一个解的取值范围是（　　）x 14 0.060.02 A．    B．C．    D．【答案】C【分析】利用表中数据得到，于是可判断x在范围内取某一个值时，，所以得到一元二次方程的一解的取值范围．解：∵当时，当时，∴当x在中取一个值时，，∴一元二次方程的某一个解的取值范围是．故答案为：C．【点拨】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解．【变式】根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（    ）A．解的整数部分是，十分位是 B．解的整数部分是，十分位是C．解的整数部分是，十分位是 D．解的整数部分是，十分位是【答案】B【分析】通过观察表格可得时，，即可求解．解：由表格可知，当时，，当时，，∴时，，∴解的整数部分是，十分位是．故选：B．【点拨】本题考查一元二次方程的解，通过观察所给的信息，确定一元二次方程解的范围是解题的关键． 【题型一】根据一元二次方程的概念确定参数的值【例1】若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值是（    ）A． B．1 C．或 D．0【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．∵关于的一元二次方程的常数项为0，∴且，解得．故选A．【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，以及一般形式，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．【变式】若是关于的一元二次方程，则的值是(　　)A． B． C． D．不能确定【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义，得出，进而即可求解．解：∵是关于的一元二次方程，∴，解得：，故选：C．【点拨】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【题型二】利用一元二次方程的解求方程中待定字母的值【例2】关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（　　）A． B．1 C．1或 D．或0【答案】A【分析】根据方程是一元二次方程，可得，将代入解析式，求出的值即可．解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0，∴，，∴；故选A．【点拨】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程二次项系数不为0，使等式成立的未知数的值是方程的解，是解题的关键．【变式】关于的一元二次方程的解为，则的值为（    ）A．    B．     C． D．【答案】C【分析】根据一元二次方程的概念可求出的值，根据解为可求出的值，由此即可求解．解：关于的一元二次方程，∴，解得，，∴一元二次方程，∵解为，∴，解得，，∴，故选：．【点拨】本题主要考查一元二次方程，理解一元二次方程的概念，一元二次方程的解的概念，代数式求值的方法是解题的关键． 【题型三】根据实际问题列出一元二次方程【例3】南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长及阔各几步．”译文：一块矩形田地的面积是864平方步，它的长和宽共60步，问它的长和宽各是多少步？设这块矩形田地的长为步，根据题意可列方程为______．【答案】【分析】由矩形田地的长与宽的和是60步，可得出矩形田地的宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积是864平方步，即可得出关于x的一元二次方程．解：若设这块矩形田地的长为步，则宽为步，依题意，得．故答案为： ．【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式】如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽若设道路宽为，则根据题意可列方程为___________________   【答案】【分析】利用平移可把草坪把为一个长为，宽为的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程．解：利用平移，原图可转化为，如图所示，      设小路宽为x米，根据题意得：，故答案为：．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键． 【题型四】对于含有参数的一元二次方程的系数进行讨论【例4】已知关于x的方程．(1)当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；(2)当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．解：（1）由是一元一次方程，得，解得，原方程变为：，∴解得；（2）由是一元二次方程，得，解得，∴时，是一元二次方程，二次项系数是，一次项系数是，常数项是．【点拨】本题考查了一元二次方程，二次项系数等于零，一次项系数不等于零是元一次方程得我定义；熟练掌握定义是解答本题的关键．【变式】 为何值时，关于 的方程 ：(1)  是一元二次方程；(2)  是一元一次方程，并求出对应方程的解．【分析】（1）将方程整理为：，当二次项系数不为0时，方程为一元二次方程；（2）将方程整理为的形式，当二次项系数为0时，方程为一元一次方程，      求出的值，再解一元一次方程即可．（1）解：，整理得：，∴当，即时，方程为一元二次方程．（2）解：由（1）知，方程为：，∴当，即时，方程为一元一次方程，此时方程变为：，∴，解得：．【点拨】本题考查一元二次方程和一元一次方程的定义，以及解一元一次方程．熟练掌握相关概念，正确的求出的值，是解决本题的关键．【题型五】利用一元二次方程的解求代数式的值【例5】若m是一元二次方程的根，则的值为_____【答案】6【分析】根据一元二次方程的解的定义可得出，从而可求出，，再将整理变形，最后整体代入求值即可．解：∵m是一元二次方程的根，∴，∴，，∴                    ．【点拨】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值是解题关键．【变式】已知是方程的一个根，则_________．【答案】【分析】根据一元二次方程的根的定义，将a代入已知方程，即可求得和的值，从而求得的值．解：∵是方程的一个根，∴，且∴，两端同除以得：，∴故答案为：【点拨】本题主要考查一元二次方程的根的定义．理解一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．