初中数学苏科版九年级上册1.1 一元二次方程精品练习题

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专题1.4 解一元二次方程——直接开平方法和配方法（知识梳理与题型讲解）【知识点1】用直接开平方法解一元二次方程利用平方根的定义，直接开平方法求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 类型：（1）；（2）（3）【例1】方程的两个根是（    ）A.，       B．，C．，       D．，【答案】D【分析】根据直接开平方法求解即可．解：，，，，故选：D．【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练运用直接开平方法是解题的关键．【变式1】若，则的值为（    ）A．      B．      C．或        D．【答案】A【分析】用直接开平方法即可进行解答．解：，，或，∵，，，故选：A．【点拨】本题主要考查了直接开平方法，解题的关键是掌握用直接开平方法求解一元二次方程的方法和步骤．【变式2】已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（　　）A．，         B．，C．，                             D．，【答案】C【分析】把看作关于的一元二次方程，则或，然后解两个一次方程即可．解：方程、，均为常数且的解是，，对于关于的一元二次方程的解，即或，即，，关于的一元二次方程的解是，．故选：C．【点拨】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 【知识点2】用配方法解一元二次方程用配方法解一元二次方程的步骤：（1）化：方程两边同时除以二次项的系数，把二次项系数化为1；（2）移：把一元二次方程常数项移到方程的另一边；（3）配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程化为（4）解：开方，解得：【例2】用配方法解方程：（1）；                        （2）．【答案】(1)，；              (2) ，【分析】（1）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答．（1）解：，，，，，；（2），，，，，，，．【点拨】本题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握解一元二次方程——配方法是解题的关键．【变式1】用配方法解下列一元二次方程：（2）；                        （2） ．【答案】(1)         (2)【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可．解：（1），      ，，，（2），，，，，∴【点拨】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟记配方的步骤是解此题的关键．【变式2】用配方法解下列方程：（1）．                           （2）．【答案】(1)，；         (2)，【分析】（1） 先化简，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（1） 先化简，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．解:（1） 或，．（2）化成即，【点拨】考查解一元二次方程-配方法，解题关键是掌握配方法的步骤：①将常数项移到方程的右侧．②将二次项系数化为1．③结合直接开方法求解． 【题型一】配方法求值【例1】已知，则的最小值是（    ）A．8 B． C． D．9【答案】A【分析】由已知得，注意x的取值范围，代入再配方，利用非负数的性质即可求解．解：∵，∴，且即，∴，∵，∴当时，的最小值是，故选：A．【点拨】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式及确定x的取值范围是解决问题的关键．【变式1】对于任意实数x，多项式的值是（    ）A．负数 B．非正数 C．正数 D．无法确定正负的数【答案】C【分析】用配方法把多项式配方，再利用非负数的性质判断多项式的值的情况．解：∵，∴多项式的值是正数，故选：C．【点拨】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．熟练掌握配方法是解决此类问题的关键．【变式2】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．例如：求代数式x2+4x+5的最小值？解答过程如下：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1．∵（x+2）2≥0，∴当x＝－2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1，∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值为1．根据上述方法，可求代数式－x2－6x＋12有最_____（填“大”或“小”）值，为_________．【答案】     大     21【分析】原式配方后，利用非负数的性质求出最大值即可．解：﹣x2－6x+12＝12﹣（x2＋6x）＝12﹣（x2＋6x+9﹣9）＝12﹣（x＋3）2＋9＝21﹣（x＋3）2，∵（x＋3）2≥0，∴当（x＋3）2＝0时，21﹣（x＋3）2取得最大值21．故答案为：大，21【点拨】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【题型二】用配方法解决实际问题【例2】数学社团的同学们想用边长为的正方形铝板，设计小组会徽，下面是“兴趣小组”和“智慧小组”的设计方案，请认真阅读，并解决问题：“兴趣小组”：我们小组设计的会徽如图1所示，它是由四个全等的“黄金矩形”组成的正方形图案，在该图案中“矩形的宽与长的比等于矩形的长与正方形的边长之比”．“智慧小组”：我们小组设计的会徽如图2所示，它是由四个全等的直角三角形组成的“赵爽弦图”，其中小正方形的面积为．    解决问题：(1)“兴趣小组”设计的方案中，小矩形的长约等于 （精确到）．(2)请你求出“智慧小组”设计的方案中，小直角三角形的两条直角边分别是多少？【答案】(1) ;   (2) 小直角三角形的短直角边为，长直角边为【分析】（1）由黄金矩形结合题意可得，再分别求解，可得答案；（2）由题意可得：正方形，，，可得正方形的边长为，设，，则，，再解方程即可．解：（1）解：如图，∵矩形的宽与长的比等于矩形的长与正方形的边长之比，黄金矩形，∴，   ∵正方形，，∴，（2）如图，由题意可得：正方形，，，     ∴正方形的边长为，设，，∴，，∴，整理可得：，解得：，（负数舍去）∴，答：小直角三角形的短直角边为，长直角边为．【点拨】本题考查的是黄金矩形的含义，勾股定理的应用，一元二次方程的应用，正方形的性质，二次根式的混合运算，理解题意，选择合适的解题工具是解本题的关键．【变式】如图，公园里有两块边长分别为a，b的正方形区域A、B，其中阴影部分M为雕塑区，面积为m，其他部分种植花草．  (1)  用含a，b，m的代数式表示种植花草的面积______；(2)  若正方形A的一个顶点恰为正方形B的中心，a比b大20，M的面积是A的，求a的值．  【答案】(1) ；  (2)  60【分析】（1）根据两个正方形区域的面积和雕塑区的面积之间的关系求解即可；（2）根据M的面积是A的列方程求解即可．（1）解：种植花草的面积；（2）依题意得，，，．列方程得，，解得，∵，∴．【点拨】此题考查了列代数式，一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【题型三】利用配方法解与三角形的形状有关的问题【例3】已知：a、b、c是的三边，且，的形状是 ________ ．【答案】直角三角形【分析】等式配方成，利用非负数性求得a、b、c的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解．解：∵，∴，∴，∴，，，∴，，，∵，∴的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．【点拨】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．【变式】 阅读材料：若，求、的值．，，，，．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知一个三角形的三边长分别为、、，且、、都是正整数，并满足：，则______．（2）已知、、是的三边长，且满足，试判断的形状．（3）试探究关于、的代数式是否有最小值，若存在，求出最小值及此时、的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）4；（2）为等边三角形；（3）最小值为25，此时，．【分析】（1）根据题干中叙述的方法，对等式拆分整理后，利用完全平方公式变形后根据非负数的性质即可得出a和b的值，再结合三角形三边关系即可得出c的值；（2）根据题干中叙述的方法，对等式拆分整理后，利用完全平方公式变形后根据非负数的性质即可得出a、b、c的值，由此可判断三角形的形状；（3）根据题干中叙述的方法，对代数式拆分后，利用完全平方公式变形，根据平方的非负性即可得出代数式的最小值和此时的x和y的值．解：（1）∵，∴，∴，∴，∵三角形的三边长分别为、、，且、、都是正整数，∴，，符合条件的c的值为4故答案为：4；（2）∵，∴，∴，∴，∴，，∴，为等边三角形；（3）==，∵，，∴当，，代数式有最小值为25，此时，．【点拨】本题考查完全平方公式的应用．解题的关键是明确题目中的材料，可以将问题中方程转化为材料中的形式．