精品解析：安徽省定远中学2023届高三下学期第一次模拟检测数学试卷（解析版）

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2023届高三数学第一次模拟检测试卷第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知全集，集合，，则（    ）A. {x|或} B. {x|或}C.  D. {x【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用补集、并集的定义求解作答.【详解】全集，集合，则或，而，所以或.故选：A2 已知复数，，则等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】结合复数的减法运算，即可求解.【详解】复数，，则.故选：3. 在中，，若，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】将表示成，再根据，利用平面向量数量积的运算求出的值.【详解】,,,则，，,,,,,,即.故选：D.4. 如图，在长方体中，已知，，E为的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义，利用几何法找到所成角，结合余弦定理即可求解.【详解】取的中点F，连接EF，CF，，易知，所以为异面直线BD与CE所成的角或其补角.因为，，所以由余弦定理得.故选：C
 5. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”主要指德育“乐”主要指美育“射”和“御”就是体育和劳动“书”指各种历史文化知识“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次，讲座次序要求“礼”在第一次，“射”和“数”相邻，“射”和“御”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（     ）种A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意“礼”的次序一定，因此分类考虑“射”的次序排法，再考虑“数”以及“御”的次序牌法，根据分类加法计算原理可求得答案.【详解】由题意，“礼”排第一，当“射”排第二或六时，“数”只有一种次序，其余全排列，有种次序，当“射”排第三、四、五时，“数”有两种次序可选，“御”也有两种次序可选，其余全排列，此时有种次序，故“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种，故选：A．6. 已知直线是函数（）图象的一条对称轴，则在上的值域为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先由对称轴求出，再求在上的值域即可.【详解】∵直线是函数（）图象的一条对称轴，∴，，∴，，∵，∴时，，.当时，， ∴当时，取最小值，当时，取最大值，∴，，∴在上的值域为.故选：D.7. 在三棱锥中，和为等边三角形，二面角的余弦值为，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的体积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】设外接球的球心O在平面内的射影为，在平面内的射影为，由三棱锥的体积为求得等边三角形的边长，结合图形求得，，进而求得外接球的半径，即可求得球的体积.【详解】如图所示，设外接球的球心O在平面内的射影为，在平面内的射影为是BC中点，则二面角的平面角为，设，三棱锥的高为h，因为和是等边三角形，则，，而，则，即，解得，则，根据正弦定理可得，则，，设，因为，则则，所以，所以外接球O的半径，故所求外接球O的体积为.故选：A【点睛】方法点睛：求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果涉及几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.8. 已知，设，则（   ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】将化为，和b比较，确定变量，构造函数，利用其导数判断其单调性，即可比较大小，再比较，即可得答案.【详解】由于，故设函数 ，当时，，即在上单调递增，由于，故，即，又，故，故选：D【点睛】关键点睛：比较的大小时，要注意根据两数的结构特征，确定变量，从而构造函数，这是比较大小关键的一步，然后利用导数判断函数的单调性，即可求解.二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）9. 已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ）A. 关于轴对称B. 有一条对称轴C. 是周期函数D. 【答案】BCD【解析】【分析】根据函数为奇函数，又不恒为零，可以否定A；根据可知B成立；结合奇偶性与对称性可得周期性，判定C成立；根据奇函数的性质,结合及周期性，对称性可以求得的值，进而判定D.【详解】∵是定义域为的奇函数，且，可知函数不可能同时为偶函数，故A错误；∵，∴有一条对称轴，故B正确；由将换成得到,∵是奇函数，∴，∴,．的周期为4，故正确；为奇函数，．，，．．．故正确.故选：.10. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的有（    ）A. B. 向量与夹角的余弦值为C. 平面的一个法向量是D. 【答案】BCD【解析】【分析】A选项，求得的坐标，进而求出；B选项，利用空间向量夹角公式求解；C选项，记，验证即可；D选项，验证即可.【详解】对于A，，，，，故A错误；对于B，，，，，则，故B正确；对于C，，，记，则，所以，又平面，，则平面，故是平面的一个法向量，故C正确；对于D，，，故D正确.故选：BCD.11. 已知抛物线的焦点为，点，，为抛物线上不与重合的动点，为坐标原点，则下列说法中，正确的有（    ）A. 若中点纵坐标为2，则的斜率为2B. 若点恰为的垂心，则的周长为C. 若与的倾斜角互补，则的斜率恒为D. 若，则点纵坐标的取值范围是【答案】BD【解析】【分析】使用抛物线的性质解题，结合斜率的运算公式可以排除选项A；利用垂心的性质，选项B正确；利用斜率的二级结论，排除选项C；利用，选项D正确。【详解】对于选项A，设，，则由，在抛物线上可得，，所以，当中点纵坐标为2时，，所以，A错误；对于选项B，若点恰为的垂心，则由，可得，关于轴对称，所以，则，，又由可得，所以，则，，所以，，则的周长为，B正确；对于选项C，若与倾斜角互补，则，即，所以，则，故C错误；对于选项D，若，由可得，即，即（，与2互不相等），将看作关于的一元二次方程，令，解得，又当时，，当时，方程无解，所以点纵坐标，故D正确，故选：BD.12. 已知定义在R的函数在上单调递增，，且图象关于点对称，则下列结论中正确的是（    ）A. B. 在单调递减C. D. 在上可能有1012个零点【答案】AD【解析】【分析】对A选项：首先得到其对称轴为，再根据关于对称，可得到；对B选项：根据函数周期性，单调性以及对称性分析在单调性；对C选项：根据周期性、对称性分析判断；对D选项：先分析函数在上的零点，再结合周期性分析判断.【详解】对A：∵函数的图象关于点对称，则，∴，又∵，则函数的图象关于点对称，且，可得，故，A正确；对B：由选项A可知：函数的周期为4，且函数的图象关于点对称，故函数的图象关于点对称，则，且函数的周期为4，则，即，由选项A可知：，则，可得，即函数为偶函数，∵函数在上单调递增，则函数在上单调递减，且函数的图象关于点对称，故函数上单调递减，但不能确定在是否连续不断，故无法判断在上的单调性，B错误；对C：∵函数的周期为4，则，∵，则，故，C错误；对D：∵，令，则，解得，则，故在一个周期内至少有2个零点，可得在上至少有个零点，且，故在上至少有1012个零点，例如，符合题意，但在内无零点，由函数的性质可知：在内均无零点，故在一个周期内只有2个零点，可知在上有1012个零点，故在上可能有1012个零点，D正确；故选：AD.第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 在的展开式中，含项的系数为__________．【答案】448【解析】【分析】根据二项式定理，写出展开式通项，利用赋值法，可得答案.【详解】由题意，其展开式的通项为，令，解得，则含的系数为.故答案为：.14. 已知圆及点，设分别是直线和圆上的动点，则的最小值为__________.【答案】##【解析】【分析】先求出点关于直线的对称点，从而将问题转化为求的最小值，由此利用点到圆上的点的最小距离即可得解.【详解】因为圆，所以圆心，半径为，所以圆心到直线的距离为，则直线与圆相离，设点关于直线的对称点为，则，解得，则，结合图像，可知，又到圆上点的最短距离为，所以，则，所以的最小值为.故答案为：. .15. 已知直线与椭圆交于两点，线段中点在直线上，且线段的垂直平分线交轴于点，则椭圆的离心率是__________.【答案】【解析】【分析】利用点差法证明二级结论，再结合，则两式相比可得，即，代入即可求出离心率.【详解】设，其中，显然点在椭圆内，记坐标原点为，直线的斜率分别为，易知三条直线斜率均存在，又，两式相减整理可得，即，又，所以两式相比可得，即，代入，整理可得，所以离心率.故答案为：.16. 已知，为正实数，函数在处的切线斜率为，则的最小值为 ______ ．【答案】【解析】【分析】利用导数的几何意义求得，再根据基本不等式，求最值.【详解】函数，所以因为函数的图象在处的切线斜率为，所以，因为，为正实数，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．故答案为：．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 设函数，若锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC外接圆的半径为R，．（1）若，求B；（2）求的取值范围．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】(1)先利用三角恒等变换化简，解出，再用正弦定理解三角形即可；(2)先得出，再利用正弦定理将化为，最后利用三角函数的性质得出范围即可.【小问1详解】由题意得又，所以，解得．又根据正弦定理，有，，，由，有，得，因为A，，所以，∴．【小问2详解】由（1）知，，所以，因为，即，所以，则，，有，所以，所以的取值范围为．18. 等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求证：.【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意和等差数列的通项公式列出方程组，解之即可求解；（2）由（1）得，则，利用裂项相消求和法可得，即可证明.【小问1详解】设等差数列首项为，公差为，由题意得，解得，所以的通项公式为；小问2详解】由（1）知，，则，，，，，19. 为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占. 数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常整理   不经常整理   合计   （1）求图1中的值以及学生期中考试数学成绩的上四分位数；（2）根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关?（3）用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望.附： 【答案】（1），分    （2）有关    （3）分布列见解析，【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图各个小矩形的面积和为1，求出的值，进而可求出上四分位数；（2）先求出数学优秀和不优秀的人，常整理错题和不经常整理错题的人，得到列联表，根据列联表求出值，从而得出判断；（3）先求出的可能取值，并求出相应取值的概率，从而求出分布列和期望.【小问1详解】由题意可得，解得，学生期中考试数学成绩的上四分位数为：分；【小问2详解】数学成绩优秀的有人，不优秀的人人，经常整理错题的有人，不经常整理错题的是人，经常整理错题且成绩优秀的有人，则 数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常整理352560不经常整理152540合计5050 100零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，根据列联表中的数据，经计算得到可得，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于；【小问3详解】由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，不经常整理错题的有2人，则可能取为0，1，2，经常整理错题的3名学生中，恰抽到k人记为事件，则参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到人记为事件则，，，，，，，，，故X的分布列如下：X012P则可得X的数学期望为20. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，点H为线段PB上一点（不含端点），平面AHC⊥平面PAB．（1）证明：；（2）若，四棱锥P－ABCD的体积为，求二面角P－BC－A的余弦值．【答案】（1）见解析    （2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直性质定理与线面垂直性质定理，结合公理2，可得线面垂直，可得答案；（2）根据二面角的平面角定义作图，利用等面积法以及棱锥体积公式，求得边长，结合直角三角形的性质，可得答案.【小问1详解】平面，且平面，过点所有垂直于的直线都在平面内，平面平面，且平面，存在一条过的直线平面，且平面，平面，，则平面，平面平面，与为同一条直线，即平面，平面，.【小问2详解】在平面内，过作，且，连接，作图如下：平面，且平面，，同理可得，，，平面，平面，平面，为二面角的平面角，在中，，且，则，在四棱锥中，底面的面积，则其体积，解得，在中，，故二面角的余弦值为.21. 如图，过抛物线的焦点F作直线l交E于A，B两点，点A，B在x轴上的射影分别为D，C．当AB平行于x轴时，四边形ABCD的面积为4．（1）求p的值；（2）过抛物线上两点的弦和抛物线弧围成一个抛物线弓形，古希腊著名数学家阿基米德建立了这样的理论：以抛物线弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点为顶点作抛物线弓形的内接三角形，则抛物线弓形的面积等于该内接三角形面积的倍．已知点P在抛物线E上，且E在点P处的切线平行于AB，根据上述理论，从四边形ABCD中任取一点，求该点位于图中阴影部分的概率为时直线l的斜率．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）当AB平行于x轴时，四边形ABCD为矩形，根据矩形面积公式求出p的值；（2）设，，，，将直线和抛物线联立得韦达定理，求出，点P到AB的距离，求出，又四边形ABCD是直角梯形或矩形，求出，即可求出的值.【小问1详解】当AB平行于x轴时，四边形ABCD为矩形，，，所以，解得．【小问2详解】由（1），抛物线，即，，，设，，，，则，，联立得，，则，点P到AB的距离，所以，，又，所以，又四边形ABCD是直角梯形或矩形，所以，所以概率，解得，所以该点位于图中阴影部分的概率为时直线l的斜率为．22. 已知函数，.（1）写出函数在的零点个数，并证明；（2）当时，函数有零点，记的最大值为，证明：.【答案】（1）唯一的零点，证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先求出导函数，即可得到导函数的单调性，从而得到，即在上单调递减，在根据零点存在性定理判断可得；（2）依题意可得，令，求出函数的导函数，由（1）可知的单调性，从而得到，再证即可；【详解】（1）函数在有唯一零点理由如下：由题意得，，易知单调递减，且，所以，所以在上单调递减，，，所以在上有唯一的零点.（2）令，即，令，所以，由（1）可知在上有唯一的零点.且在上单调递增，在上单调递减，所以处取得极大值即最大值，所以.下证，一方面，另一方面，欲证，又，所以只需要证明，记，，由前面可知在上单调递减，所以，证毕.