精品解析：四川省江油中学2022-2023学年高三上学期第三次阶段考试数学（文）试题（解析版）

四川省江油中学2020级高三上期第三次阶段考试

文科数学

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1. 已知集合，，则集合的元素个数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意结合一元二次不等式求集合A，再利用集合的交集运算求解.

【详解】∵，

∴，即集合的元素个数为3.

故选：C.

2. 若复数z满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由复数的运算法则即可求解.

【详解】由可得：

.

故选：D

3. 若，则的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】区间长度之比即为概率之比.

【详解】由，得，而，

由几何概型可知：的概率.

故选：D

4. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据指对、数函数的单调性结合充分、必要条件分析判断.

【详解】∵在上单调递增，

∴，

又∵在R上单调递增，

∴，

由可得，但由不能得到，例如，

故“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

5. 已知函数，则的大致图象是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先函数的奇偶性排除两个选项，在根据函数的零点位置及范围内的函数值正反，得最符合的函数图象即可.

【详解】解：函数，定义域为，所以

所以函数奇函数，故排除B，D选项；

当时，令得，所以函数最小正零点为，

则，则符合图象特点的是选项A，排除选项C.

故选：A.

6. 如图所示的程序框图中，若输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据程序框图，明确该程序功能是求分段函数的值，由此根据该函数值域，可求得答案.

【详解】由程序框图可知：运行该程序是计算分段函数的值，

该函数解析式为： ，

输出的函数值在区间 内 ，必有当时，，

当 时 ， ，

即得 ．

故选∶C．

7. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ）

A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位

C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位

【答案】D

【解析】

【分析】化简得到，根据图象的平移得到答案.

【详解】.

故向左平移个单位长可以得到的图像.

故选：D.

8. 蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率每分钟鸣叫的次数与气温单位：存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了关于的线性回归方程．则当蟋蟀每分钟鸣叫次时，该地当时的气温预报值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求得样本中心点的坐标从而得到，然后将代入计算即可得到结果．

【详解】，，

则样本中心点为，代入，可得，即，

所以，

当时，．

所以当蟋蟀每分钟鸣叫60次时，该地当时的气温预报值为35．

故选：C．

9. 等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于，两点，，则的实轴长为（    ）

A. 2 B. 22 C. 4 D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用，即可求得结论.

【详解】解：设等轴双曲线的方程为，

抛物线，，则，，

抛物线的准线方程为，

设等轴双曲线与抛物线的准线的两个交点，，

则，

.

将，代入，得，

，

等轴双曲线的方程为，即，

的实轴长为.

故选：C.

10. 已知定义在上的奇函数满足，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由条件可得是周期函数，周期为4，然后可得答案.

【详解】因为定义在上的奇函数满足，

所以，

所以，

所以是周期函数，周期为4

所以

故选：C

11. 已知，直线与y轴的交点为A，与x轴的交点为B，与的交点为C.当四边形OACB的面积取最小值时，点B到直线的距离是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出直线所过定点为得C点坐标，再求出A，B点坐标，写出四边形面积，利用均值不等式求最小值，确定时，再由点到直线距离求解即可.

【详解】如图，

直线，都过点，

即点C坐标是.

在中，令，得，所以，

同理可得，

所以，

当且仅当，即时等号成立.

所以当时，四边形OACB的面积取最小值.

此时，点B的坐标为，直线的方程是，

点B到直线的距离是.

故选：B.

12. 设双曲线的左、右焦点分别为，，过点作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且在线段的垂直平分线上，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】依题意作图，根据双曲线的几何性质和双曲线的定义，列方程即可求解.

【详解】依题意，如图：

设M，N的中点为P，连接 ，则点P在以原点为圆心，半径为c的圆上，并且有 ， ；

直线l的方程为 ，令 ，

，由双曲线的性质可得 ，

解得 ，

在 中， ，在 中， ，

解得 ，由于 ， ，

解得 ；

故选：D.

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13. 若满足约束条件则的最大值为________.

【答案】5

【解析】

【分析】由约束条件做出可行域，将问题转化为在轴的截距，采用数形结合的方式即可得到结果.

【详解】

由约束条件可知，可行域如上图所示，

令，则，当在轴的截距最小时，最大

由，求得，则

所以

故答案为:

14. 已知等差数列的前项和为，若，则________

【答案】

【解析】

【分析】设等差数列的公差为，根据求得首项和公差，从而可得出答案.

【详解】解：设等差数列的公差为，

则，解得，

所以，

.

故答案为：31

15. 一束光线从点射出，经轴上一点反射后到达圆上一点，则的最小值为_____．

【答案】

【解析】

【分析】由题知圆的圆心坐标为，半径为，设设关于轴对称的点为，进而结合，求解即可.

【详解】解：由题知：圆的圆心坐标为，半径为，

如图，设关于轴对称的点为，

所以，

因为，当且仅当三点共线，

，当且仅当三点共线，

所以，，当且仅当，三点共线，三点共线时等号成立，

所以，的最小值为
 

故答案为：

16. 已知关于的不等式的解集为R，则的最大值是______．

【答案】1

【解析】

【分析】首先分类讨论时，不成立，当时，等价为在R上恒成立，即于相切时，取得最大值，根据导数的几何意义得到，再构造函数，利用导数求解最大值即可.

【详解】由题知：，

当时，不等式的解集为R，

等价于不等式的解集为R，

设，，即在R上为减函数，不符合题意.

当时，不等式的解集为R，

等价于在R上恒成立，

即于相切时，取得最大值.

设的切点为，则，切线为，

即，即.

设，，

所以，，为增函数，

，，为减函数.

所以，即的最大值为1.

故答案为：1

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 年四川持续出现高温天气，导致电力供应紧张．某市电力局在保证居民生活用电的前提下，尽量合理利用资源，保障企业生产．为了解电力资源分配情况，在8月初，分别对该市A区和区各10个企业7月的供电量与需求量的比值进行统计，结果用茎叶图表示如图．

（1）求区企业7月的供电量与需求量的比值的中位数；

（2）当供电量与需求量的比值小于时，生产要受到影响，统计茎叶图中的数据，填写2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为生产受到影响与企业所在区有关？

附：

【答案】（1）0.86；   

（2）2×2列联表见解析，没有95%的把握.

【解析】

【分析】（1）根据茎叶图中数据及中位数的概念直接计算得解；

（2）由茎叶图判定不受影响、受影响的企业数，据此列出2×2列联表，计算得出结论.

【小问1详解】

A区供电量与需求量的比值由小到大排列，第5个数，第6个数分别为，

所以所求中位数为；

【小问2详解】

2×2列联表：

没有95%的把握认为生产有影响与企业所在区有关.

18. 已知在等差数列中，为其前项和，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列的前项和为且求的取值范围.

【答案】（1）；（2），.

【解析】

分析】（1）由条件求得公差，写出通项公式；

（2）求出通项公式，利用分组求和求得，且单增，找到符合的最小n值即可.

【详解】（1）由等差数列性质知，，则，

故公差，

故

（2）由（1）知，

易知单调递增，且，，

故，解得，.

19. 设内角所对边分别为，已知，．

（1）若，求的周长；

（2）若边的中点为，且，求的面积．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理将角化边，结合的边长，即可求得，以及三角形周长；

（2）根据已知条件，结合余弦定理求得，再根据三角形的中线的向量表示，求得，结合三角形面积公式即可求得结果.

【小问1详解】

∵，∴，∴，

因为，故，即，

解得（舍）或；则，故△的周长为.

【小问2详解】

由（1）知，，又，故，

又，则；

因为边的中点为，故，故，

即，即；

联立与可得，

故△的面积.

20. 已知椭圆的焦点在轴上，且经过点，左顶点为，右焦点为．

（1）求椭圆的离心率和的面积；

（2）已知直线与椭圆交于A，B两点．过点作直线的垂线，垂足为．判断直线是否经过定点?若存在，求出这个定点；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；   

（2）直线经过定点，理由见详解.

【解析】

【分析】（1）由椭圆经过点，代入椭圆方程求得，结合，解得的值，进而求得离心率和的面积；

（2）由直线与椭圆交于A，B两点，则说明斜率存在，

所以分，，进行讨论找出直线过得点.

【小问1详解】

由题意，椭圆经过点，

可得，解得，

即椭圆，

因为，即，

所以椭圆的离心率为，

又由左顶点为，右焦点为，所以，

所以面积为

【小问2详解】

由直线与椭圆交于A，B两点

所以当时，直线为与椭圆交于A，B两点

由  解得：

令，此时

所以

所以直线

即，令

所以直线是经过定点

同理若，则

令

所以直线是经过定点

当时，由直线与椭圆交于A，B两点

设

联立方程组，

整理得，

则，

所以

设点，所以

的方程为，

令，可得

，

所以直线经过定点，

综上可得，直线经过定点.

21. 已知函数．

（1）求证：；

（2）证明：当，时，．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）利用导数可求得函数的单调区间，从而可证得；

（2）由可得，利用导数证即可.

【小问1详解】

的定义域为，

，

由得，由得.

则在上单调递减，在上单调递增，  

∴，得证.

【小问2详解】

由（1）得，

令， 则，∴，

∴，

∴

下面证明时，，

令，

则，

在上单调递增，

，时，，

时，，

.

（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．

选修4-4：坐标系与参数方程

22. 在平面直角坐标中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；

（2）在平面直角坐标中，若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求证：成等差数列．

【答案】（1），   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用消参法求曲线的普通方程，并注意y的取值范围，再利用求曲线的极坐标方程；（2）先求直线l的参数方程，根据直线参数方程的几何意义运算求解.

【小问1详解】

由得，代入整理得，即，

∵，则，，

故曲线的普通方程为，

又∵，则，

整理得

曲线的极坐标方程为

【小问2详解】

由题意可得：直线l的参数方程为（t为参数），

代入，整理得，

∴，，

则，

即，

∴成等差数列

选修4-5：不等式选讲

23. 已知函数．

（1）当时，解不等式；

（2）当函数的最小值为时，求的最大值．

【答案】（1）；   

（2）5.

【解析】

【分析】（1）根据题意，分类讨论求解即可；

（2）结合绝对值三角不等式得，进而根据柯西不等式求解即可.

【小问1详解】

解：由题知，，

或或

解得或或

所以，的解集为，

【小问2详解】

解：由绝对值三角不等式得：

当且仅当，即时取等号，

因为函数的最小值为，

所以，，

所以，由柯西不等式得

当，即时取等号．

所以，的最大值为．