精品解析：浙江省宁波市江北区宁波大学青藤书院八年级上学期期末数学试题

第一学期八年级期末测试
数学试题
A卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个符合题意的选项，不选、错选均不给分）
1. 在平面直角坐标系中，点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：点位于第二象限，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标象限的符合特征：第一象限为“”，第二象限为“”，第三象限为“”，第四象限为“”是解题的关键．
2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】二次根式分别化简后，判断即可．
【详解】A．，与不是同类二次根式；
B．与不是同类二次根式；
C．，与不是同类二次根式；
D．，与是同类二次根式；
故选D．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
3. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念可直接进行排除选项．
【详解】A、是中心对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，故不符合题意；
D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查中心对称图形的识别，正确理解中心对称图形的概念是解题的关键．
4. 以下能够准确表示我校地理位置的是（ ）
A. 离宁波市主城区10千米 B. 在江北区西北角
C. 在海曙以北 D. 东经，北纬
【答案】D
【解析】
【分析】根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可．
【详解】能够准确表示我校地理位置的是：东经，北纬．
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，是基础题，理解坐标的定义是解题的关键．
5. 一元二次方程x2-4x-6=0，经过配方可变形为（）
A. （x-2）2=10 B. （x-2）2=6 C. （x-2）2=2 D. （x+2）2=6
【答案】A
【解析】
【分析】本题要求对一元二次方程进行配方，首先将常数项移到等号的右侧，将二次项系数化为1，再将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
【详解】移项得：x2-4x=6，
配方得：x2-4x+4=6+4 即（x-2）2=10，故选A.
【点睛】配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1．
6. 我校某位初三学生为了在体育中考中获得好成绩，专门训练了中长跑项目，训练成绩记录如下表，则该学生的训练成绩的平均数和中位数分别为（ ）
得分（分）
7
8
9
10
次数
2
2
5
1

A. 9，8.5 B. 9，9 C. 8.5，8.5 D. 8.5，9
【答案】D
【解析】
【分析】根据加权平均数和中位数的定义求解即可．
【详解】解：该学生的训练成绩的平均数为，
由于共有10个数据，其中位数为第5、6个数据的平均数，
所以这组数据的中位数为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查加权平均数和中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7. 如图，在中，平分交AC于点D，且，F在BC上，E为AF的中点，连接DE，若，，，则AB的长为（ ）

A. B. C. D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】证明，推出，，得到，设，求得，在中，利用勾股定理求得，据此即可求解．
【详解】解：∵BD平分交AC于点D，且，
∴，，
又，
∴，
∴，，
∵E为AF的中点，
∴，
设，则，，，
∴，
中，，
解得，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，勾股定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
8. 对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A. 只有①②④ B. 只有①②③ C. ①②③④ D. 只有①②
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质解决此题．
【详解】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定正确．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②正确．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正确．
④(2ax0+b)2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④正确．
综上：正确的有①②④，共3个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．
9. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了36分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米．其中正确的结论有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确即可．
【详解】解：由题意可得：甲步行速度＝＝60（米/分）；
故①结论正确；
设乙的速度为：x米/分，
由题意可得：16×60＝（16﹣4）x，
解得x＝80
∴乙的速度为80米/分；
∴乙走完全程的时间＝＝30（分），
故②结论不正确；
由图可得，乙追上甲的时间为：16﹣4＝12（分）；
故③结论不正确；
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60＝360（米），
故④结论不正确；
故正确的结论有①共1个．
故选：A．
【点睛】本题考查利用函数图像解决问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
10. 如图，从各顶点作平行线，各与其对边或其延长线相交于点D，E，F．若的面积为，的面积为，的面积为，只要知道下列哪个值就可以求出的面积（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线间的距离处处相等得到：和在底边上的高相等，和在底边上的高相等，和在底边上的高相等，所以由三角形的面积公式和图形间的面积的数量关系进行证明即可．
【详解】证明：∵，
∴和在底边上的高相等，和在底边上的高相等，和在底边上的高相等，
∴
∴．
即．
∵
即
即，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线之间的距离，三角形面积，根据等底等高的三角形面积进行转化是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】x≥1
【解析】
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1，
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0．
12. 已知点P在第四象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是8，则点P的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据象限确定坐标的符号，根据距离确定坐标的绝对值，得到点的坐标．
【详解】解：点在第四象限，
横坐标是正的，纵坐标是负的，
到轴的距离是3，到轴的距离是8，
点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是点的坐标，第四象限点的特征横坐标是正的，纵坐标是负的，是解题的关键．
13. 反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法证明：“已知在△ABC中，AB=AC, 求证：∠B＜90°”时，第一步应假设_______．
【答案】∠B≥90°
【解析】
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【详解】解：用反证法证明：“已知在△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°．”时，
第一步应假设：∠B≥90°，
故答案为：∠B≥90°．
【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
14. 现有两组数据：甲：12，14，16，18；乙：2023，2022，2020，2019，它们的方差分别记作，，则______（用“>”“=”“<”）．
【答案】
【解析】
【分析】先求出各自的平均数，然后根据方差公式计算即可求解．
【详解】解：甲组平均数为：，
∴，
乙组平均数为：，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查方差问题，熟练掌握方差的计算．方差是各数据与其平均数差的平方的平均数，它反映数据波动的大小．
15. 若关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是－2，则k值为______．
【答案】0或4
【解析】
【分析】把x=-2代入方程进行求解即可．
【详解】解：把x=-2代入方程x2＋4kx＋2k2＝4得：
，整理得：，
解得：，
故答案为0或4．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法及解，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
16. 如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为______．

【答案】
【解析】
【分析】设正方形的边长为a，根据正方形的性质分别表示出B，C两点的坐标，再将C的坐标代入函数中从而可求得k的值．
【详解】设正方形的边长为a，则B的纵坐标是a，把点B代入直线y=2x的解析式，则设点B的坐标为（，a），
则点C的坐标为（+a，a），
把点C的坐标代入y=kx中得，a=k（+a），解得，k=．
故答案为：．
【点睛】此题考查正方形的性质及正比例函数的综合运用，建立起关系，灵活运用性质是解题的关键．
17. 如图，的对角线相交于点O，E，F分别是的中点，连接．若，，，则的长为______．

【答案】##
【解析】
【分析】先利用勾股定理求得的长，利用平行四边形的性质求得，在中，利用勾股定理求得的长，再根据直角三角形斜边中线的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形平行四边形，
∴，
在中，，
∵E是的中点，且，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．
18. 如图，直线与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B与点A关于y轴对称，连接，，点M，N分别是线段上的动点（M不与A，B重合），且满足．当为等腰三角形时，M的坐标为______．

【答案】或
【解析】
【分析】根据，结合三角形外角的性质可得，再由点B与点A关于y轴对称，可得，从而得到，然后分三种情况讨论，即可求解．
【详解】解：令，，
∴点C的坐标为，即，
∵，，
∴，
∵点B与点A关于y轴对称，
∴，
∴，，
当时，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴M的坐标为；
如图，当时，此时，
∴，

设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴M的坐标为；
当时，，
此时点M与点B重合，不符合题意，舍去；
综上所述，M的坐标为或．
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了一次函数的几何应用，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
三、解答题（本大题共6题，共46分）
19. （1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）12；（2），．
【解析】
【分析】（1）先化简二次根式，再计算乘法即可得；
（2）找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
【详解】解：（1）；
（2），
整理得，
这里，
∵，
∴，
∴，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，以及二次根式的乘法，利用公式法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式即可求出解．
20. 在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，将线段向右平移4单位，向下平移1单位，平移后A对应D，B对应C，

（1）在如图直角坐标系中，画出这个四边形．
（2）写出点C、D的坐标，则C______，D______．
（3）四边形的周长为______．
【答案】（1）见解析 （2），
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质画出图形即可；
（2）根据图像即可写出点C、D的坐标；
（3）根据勾股定理求得四边长度，即可求解．
【小问1详解】
解：四边形如图所示，
；
【小问2详解】
解：根据图像知，，
故答案为：，；
【小问3详解】
解：，
∴四边形的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查是作图－平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．还考查了勾股定理．
21. 下表是小明这一学期数学成绩测试记录，根据表格提供的信息，回答下列问题：
测试
平时成绩
期中测试
期末测试
练习一
练习二
练习三
练习四
成绩
88
92
90
86
90
96

（1）求小明6次成绩的众数与中位数；
（2）若把四次练习成绩的平均分作为平时成绩，按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如下图所示，请求出小明本学期的综合成绩；
（3）若全班共有45名同学，综合成绩排名前23的同学可以获得奖励，小明知道了自己的分数后，想知道自己能不能获奖，还需知道全班同学综合成绩的______．（填“平均数、中位数、众数、方差”）

【答案】（1）90分，90分；
（2）小明本学期的综合成绩为分．
（3）中位数
【解析】
【分析】（1）根据众数和中位数的概念得出结论即可；
（2）求出小明平时四次成绩的平均数， 根据图中的占比得出综合成绩即可．
（3）利用中位数判断即可．
【小问1详解】
解：由题意知，小明6次成绩的众数是90（分），
6次成绩按照从小到大排序为：86，88，90，90，92，96，
∴中位数是（分），
【小问2详解】
平时成绩为： （分），
综合成绩为：（分），
即小明本学期的综合成绩为分．
【小问3详解】
全班共有45名同学，综合成绩排名前23的同学可以获得奖励，小明知道了自己的分数后，想知道自己能不能获奖，还需知道全班同学综合成绩的中位数．
【点睛】本题主要考查扇形统计图，众数，加权平均数，中位数等知识，熟练掌握众数，中位数，平均数等知识是解题的关键．
22. 如图，一次函数的图象和y轴交于点B，与正比例函数图象交于点．

（1）求m和n的值；
（2）求的面积．
（3）根据图像直接写出当时，x的取值范围．
【答案】（1）和的值分别为
（2）4 （3）
【解析】
【分析】（1）先把代入即可得到的值，从而得到点坐标，然后把点坐标代入可计算出的值；
（2）先利用一次函数解析式确定点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
（3）根据一次函数与一元一次不等式的关系解答即可．
【小问1详解】
解：把代入得，
所以点坐标为，
把代入得，解得，
即和的值分别为；
【小问2详解】
解：∵令，则，
故点坐标为，，
∴；
【小问3详解】
解：因为点坐标为，
所以不等式的解集是．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点坐标特征、用待定系数法求一次函数的解析式和已知一次函数的交点求不等式的解集．能求出函数的解析式是解此题的关键．
23. 如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题．
（1）问：依据规律在第6个图中，黑色瓷砖多少块，白色瓷砖有多少块；
（2）某新学校教室要装修，每间教室面积为68m2 ， 准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面．按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设．已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？

【答案】（1）28，42（2）每间教室瓷砖共需要5440元
【解析】
【分析】（1）通过观察发现规律得出黑色瓷砖的块数可用含n的代数式表示为4（n+1），白瓷砖的块数可用含n的代数式表示为n（n+1），然后将n=6代入计算即可；
（2）设白色瓷砖的行数为n，根据每间教室面积为68m2为等量关系列出方程，进而求解即可．
【详解】（1）通过观察图形可知，当n=1时，黑色瓷砖有8块，白瓷砖2块；
当n=2时，黑色瓷砖有12块，白瓷砖6块；
当n=3时，黑色瓷砖有16块，用白瓷砖12块；
则在第n个图形中，黑色瓷砖的块数可用含n的代数式表示为4（n+1），白瓷砖的块数可用含n的代数式表示为n（n+1），
当n=6时，黑色瓷砖的块数有4×（6+1）=28块，白色瓷砖有6×（6+1）=42块；
故答案为28，42；
（2）设白色瓷砖的行数为n，根据题意，得：
0.52×n（n+1）+0.5×0.25×4（n+1）=68，
解得n1=15，n2=﹣18（不合题意，舍去），
白色瓷砖块数为n（n+1）=240，
黑色瓷砖块数为4（n+1）=64，
所以每间教室瓷砖共需要：20×240+10×64=5440元．  
答：每间教室瓷砖共需要5440元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解答此题的关键是通过观察和分析，找出其中的规律．
24. 如图1，在平行四边形中，平分交于点E，于点F，交于点G，且，连接．

（1）求证：．
（2）若，求BC的长度；
（3）在（2）的条件下，如图2，若平分交于点M，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）4
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，根据平行四边形的性质可得，再由平分，可得，从而得到，进而得到，即可；
（2）由（1）得：，设，则，可得，再由，即可求解；
（3）过点C作于点N，过点E作于点P，延长交于点H，先证明均为等腰直角三角形，可得，设，则，根据，可得，然后根据，可得到，，再由，可得，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，

∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）得：，
设，则，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
解得：或0（舍去），
即，
【小问3详解】
解：如图，过点C作于点N，过点E作于点P，延长交于点H，

∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴均为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
∵，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，熟练掌握平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例等知识是解题的关键．
B卷
一、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）
25. 若关于x的方程有且只有一个解，则a的取值范围为______．
【答案】或
【解析】
【分析】在坐标系中画出，的图像，利用数形结合的思想求解即可．
【详解】解：设，，
当时，，当时，，
直线经过点，
如图，画出，的图像，

由图像知，当时，与只有一个交点，
故若关于x的方程有且只有一个解，则a的取值范围为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特点，明确函数的性质并数形结合是解题的关键．
26. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．若，满足，则______．
【答案】####
【解析】
【分析】由一元二次方程有两个实数根，．可得，，，则，同号，再分两种情况讨论即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，．
∴，，，
∴，同号，
当，都为负数时，
∴，解得：，
∴，
整理得：，
∴，方程无解；
当，都为正数时，此时，
∴，解得：，
∴，
整理得：，
解得：，，
经检验：不符合题意，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键．
27. 已知平行四边形，，，点在边上，将平行四边形沿翻折，使点落在边的处，且满足，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】过点作于点，交的延长线于点，得出是等腰直角三角形，设，则，在中，，求得，在中，，得出，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，交的延长线于点，

设，
则，
∵，四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
即
解得：或（舍去）
在中，，
∴
解得：
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，勾股定理，解一元二次方程，正确的作出图形是解题的关键．
二、解答题（本大题共2小题，共18分）
28. 如图，直线AB的表达式为，交x轴，y轴分别与B，A两点，点D坐标为点C在线段上，交y轴于点E．

（1）求点A，B的坐标．
（2）若，求点C的坐标．
（3）若与的面积相等，在直线上有点P，满足与的面积相等，求点P坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分别令，令，即可求解；
（2）过点C作于点F，根据，可得，从而得到点C的横坐标为2，即可求解；
（3）设点C的坐标为，根据与的面积相等，可得，从而得到点C的坐标为，再求出直线的解析式，然后根据与的面积相等，可得到，再求出直线的解析式，即可求解．
【小问1详解】
解：令，则，
令，则，
解得：，
∴点；
【小问2详解】
解：如图，过点C作于点F，

∵，
∴，
∵点D坐标为，点B的坐标为，
∴，，
∴，
∴，
∴点F的坐标为，
即点C的横坐标为2，
当时，，
∴点C的坐标为；
【小问3详解】
解：设点C的坐标为，
∵与的面积相等，
∴，即，
∴，
即，
解得：，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
如图，连接，

∵与的面积相等，
∴点O和点P到距离相等，此时，
∴直线的解析式为，
联立得：，解得：，
∴点P的坐标为．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
29. 平行四边形中，，点E在边上，连接．

（1）如图1，交于点G，若平分，且，，请求出四边形的面积；
（2）如图2，点F在对角线上，且，连接，过点F作于H，连接，求证：．
（3）如图3，线段在线段上运动，点R在边上，连接．若平分，，，，．请直接写出线段的和的最小值以及此时的面积．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）；
【解析】
【分析】（1）过点G作于点K，根据平行四边形的性质可得，再由，，可得，然后根据直角三角形和等腰三角形的性质可求出的长，然后根据，即可求解；
（2）过点A作于点A，交延长线于点J，根据，可得点A，B，F，H四点共圆，可得到是等腰直角三角形，再证明，可得，即可；
（3）取的中点M，的中点N，连接，则，由（1）可得，可得到，从而得到，可证得四边形是平行四边形，可得，由（1）可得，再由，可得，可证得，可得到，从而得到，进而得到当点N，Q，C三点共线时，的值最小，此时的值最小，最小值为，过点C作于点S，由（1）可得，，从而得到，再由直角三角形的性质求出的长，可得的和的最小值，再根据，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，过点G作于点K，

∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴ ，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
∴


；
【小问2详解】
解：如图，过点A作于点A，交延长线于点J，

∵，，，
∴，，
∴点A，B，F，H四点共圆，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵
∴；
【小问3详解】
解：如图，取的中点M，的中点N，连接，则，

由（1）得：，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由（1）得：，
∵点M为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点N，Q，C三点共线时，的值最小，此时的值最小，最小值为，
如图，过点C作于点S，

由（1）得：，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为；
由（1）得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，圆周角定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，圆周角定理等知识是解题的关键，是中考的压轴题．