高考数学二轮专题复习圆锥曲线专题04《四边形面积问题》(2份打包，原卷版+教师版)

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高考数学二轮专题复习圆锥曲线专题04《四边形面积问题》1.已知椭圆，过点P(0，1)作互相垂直的两条直线分别交椭圆C于点A，B(A，B与P不重合).(1)证明：直线AB过定点(0，﹣)；(2)若以点E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形PAEB的面积.【答案解析】解:(1)根据题意有：直线AB、PB、PA斜率均存在.设，、联立：，有：，所以：，.因为，所以：，化简得：，所以：，化简得：，解得或.当时，过点，则与或重合，不满足题意，舍去，所以：，即所以：直线AB过定点.(2)由(1)有：，则：，，.如图所示：设线段AB的中点为，则：，.因为以为圆心的圆与直线AB相切于AB的中点，所以：，又因为：，且与平行，所以：，解得或.由上图有：四边形PAEB的面积.①当时：，易得：、，所以：.②当时：有：，所以：.由①②有：或.2.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(﹣1，0)，离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，T为直线x＝﹣2上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q．当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．【答案解析】解:(1)由已知得：，，所以，又，解得，所以椭圆的标准方程为：；(2)设点的坐标为，则直线的斜率，当时，直线的斜率，直线的方程是；当时，直线的方程也符合的形式．由，得(*)，其判别式，设、，则，，因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即，所以，解得，此时，方程(*)为，得，则.此时四边形OPTQ的面积．3.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为2，其离心率与双曲线x2﹣y2＝1的离心率互为倒数.(1)求椭圆C的方程；(2)将椭圆C上每一点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线C1，若直线l：y＝kx＋t与曲线C1交于P、Q两个不同的点，O为坐标原点，M是曲线C1上的一点，且四边形OPMQ是平行四边形，求四边形OPMQ的面积.【答案解析】解:(1)由已知，2a＝2，所以a＝，又因为双曲线x2﹣y2＝1的离心率为，可知，椭圆C的离心率为即，故，进而，所以椭圆C的方程为；(2)将椭圆C上每一点横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线的方程为，设、、，由，由韦达定理可得，，且，即，由四边形是平行四边形，所以，则，，因为点M在椭圆上，所以，整理可得，所以，则，O到直线的距离，所以四边形的面积为.4.已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆E上，当△F1MF2的面积取得最大值2时，cos∠F1MF2＝﹣．(1)求E的标准方程；(2)过点(t，0)作斜率为1的直线交椭圆E于A，B两点，其中|t|>1．设点A，B关于y轴的对称点分别为D，C，当四边形ABCD的面积为时，求直线AB的方程．【答案解析】解:(1)由题可知，当点M与椭圆E的上顶点或下顶点重合时，△F1MF2的面积最大，设，，因为△F1MF2的面积的最大值为2，所以，即，又，所以，，则，解得，由，结合，可得，所以椭圆的标准方程为．(2)设直线的方程为，，，由及四边形的面积为，可知点，位于轴同侧，且，将代入，消去可得，则，，且，即，所以，整理可得，解得或，即t＝±或t＝±2，所以直线AB的方程为y＝x＋或y＝x﹣或y＝x＋2或y＝x﹣2．5.已知点A(1，0)，点B是圆O1:(x＋1)2＋y2＝16上的动点，线段AB的垂直平分线与BO1相交于点C，点C的轨迹为曲线E.(1)求E的方程(2)过点O1作倾斜角互补的两条直线l1，l2，若直线l1与曲线E交于M，N两点，直线l2与圆O1交于P，Q两点，当M，N，P，Q四点构成四边形，且四边形MPNQ的面积为8时，求直线l1的方程.【答案解析】解：(1)在线段的垂直平分线上，，又在上，，则可得点C的轨迹是以O1，A为焦点的椭圆，则2a＝4，即a＝2，c＝1，，故E的方程为；(2)若轴时，如图，此时，，则，不符合题意；若轴时，如图，此时，，则，不符合题意；当都不与坐标轴垂直时，如图，设斜率分别为，由于倾斜角互补，则斜率为，则直线方程为，直线方程为，联立直线与椭圆，可得，设，则，，则点到直线的距离为，同理可得点到直线的距离为，则，解得，故直线的方程为或.6.在平面直角坐标系中，P为坐标原点，M(，0)，已知平行四边形OMNP两条对角线的长度之和等于4．(1)求动点P的轨迹方程；(2过M(，0)作互相垂直的两条直线l1、l2，l1与动点P的轨迹交于A、B，l2与动点P的轨迹交于点C、D，AB、CD的中点分别为E、F；①证明：直线EF恒过定点，并求出定点坐标．②求四边形ACBD面积的最小值．【答案解析】解:(1)设点，依题意，，所以动点P的轨迹为椭圆(左、右顶点除外)，则，，，动点P的轨迹方程是；(2)①若与轴重合，则直线与动点的轨迹没有交点，不合乎题意；若与轴重合，则直线与动点的轨迹没有交点，不合乎题意；设直线的方程为，则直线的方程为，直线、均过椭圆的焦点(椭圆内一点)，、与椭圆必有交点．设、，由，由韦达定理可得，则，所以点的坐标为，同理可得点，直线的斜率为，直线的方程是，即，当时，直线的方程为，直线过定点．综上，直线过定点；②由①可得，，，同理可得，所以，四边形ACBD的面积为，当且仅当m2＝1取等号．因此，四边形ACBD的面积的最小值为.7.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点A(﹣2，0)，点B为其上顶点，且直线AB的斜率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设P为第四象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：四边形ABNM的面积是定值.【答案解析】解:(1)由题意，设直线AB：，令x＝0，则，于是.所以a＝2，，故椭圆的方程为.(2)设，且，又，，所以直线：，令，，则.直线：，令，，则.所以四边形的面积为，所以四边形ABNM的面积为定值2.8.已知A，B分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左､右顶点，F为右焦点，点P为C上的一点，PF恰好垂直平分线段OB(O为坐标原点)，|PF|＝.(1)求椭圆C的方程；(2)过F的直线l交C于M，N两点，若点Q满足(Q，M，N三点不共线)，求四边形OMQN面积的取值范围.【答案解析】解:(1)由题意可知，，∵恰好垂直平分线段，∴，令，代入得：，∴，∴，解得，∴椭圆的方程为：.(2)由题意可知直线的斜率不为，设直线的方程为：，设，，联立方程，消去x得：，∴，∴，，设的中点为，则，∴与互相平分，四边形为平行四边形，∴，令，则，∵在上单调递增，∴，∴，∴.综上所述，四边形OMQN面积的取值范围为(0，3].