高考数学二轮专题复习圆锥曲线专题05《图形问题》(2份打包，原卷版+教师版)

高考数学二轮专题复习圆锥曲线专题05

《图形问题》

1.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8．

(1)求l的方程；

(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

【答案解析】解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x–1)(k>0)．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由得．

 ，故．

所以．

由题设知，解得k＝–1(舍去)，k＝1．

因此l的方程为y＝x–1．

(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为

，即．

设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则

解得或

因此所求圆的方程为

或．

2.设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左右顶点为A1，A2，上下顶点为B1，B2，菱形A1B1A2B2的内切圆C′的半径为，椭圆的离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设M，N是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P满足|PM|＝|PN|，试判断直线PM，PN与圆C′的位置关系，并证明你的结论.

【答案解析】解：(1)设椭圆的半焦距为c.由椭圆的离心率为知，b＝c，a＝b.

设圆的半径为r，则，

∴，解得，∴，

∴椭圆的方程为

(2)∵关于原点对称，，∴.

设，.

当直线PM的斜率存在时，设直线PM的方程为.

由直线和椭圆方程联立得，即，

∴.

∵，，

∴

，

∴，，

∴圆的圆心O到直线的距离为，∴直线与圆相切.

当直线的斜率不存在时，依题意得，.

由得，∴，结合得，

∴直线到原点O的距离都是，∴直线与圆也相切.

同理可得，直线与圆也相切.∴直线、与圆相切

3.已知抛物线M：x2＝2py(p>0)上一点Q(4，a)到焦点F的距离为a.

(1)求抛物线M的方程；

(2)过点F斜率为k的直线l与M相交于C，D两点，线段CD的垂直平分线l′与M相交于A，B两点，点E，H分别为线段CD和AB的中点.

①试用k表示点E、H的坐标；

②若以线段AB为直径的圆过点C，求直线l的方程.

【答案解析】解：(1)根据抛物线的定义和已知条件，得，故a＝2p，

由点Q在M上，可知2pa＝16，把a＝2p代入，得p＝2.

所以抛物线M的方程为：x2＝4y.

(2)①由(1)可知点F的坐标为，所以直线l的方程为：.

联立消去y得，

设，则，所以，

所以线段中点.

因为过点E且与l垂直，所以的方程为：

联立消去y，得，显然成立.

设，则，所以，所以线段中点

②因为以线段为直径的圆过点C，所以，

在中，，即.

根据抛物线定义，得，

又，

，所以，由，

得，

解方程得k2＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，或y＝﹣x＋1.

4.设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，下顶点为A，上顶点为B，△FAB是等边三角形.

(1)求椭圆的离心率；

(2)设直线l：x＝﹣a，过点A且斜率为k(k>0)的直线与椭圆交于点C(C异于点A)，线段AC的垂直平分线与直线l交于点P，与直线AC交于点Q，若|PQ|＝|AC|.

(ⅰ)求k的值；

(ⅱ)已知点M(﹣，﹣)，点N在椭圆上，若四边形AMCN为平行四边形，求椭圆的方程.

【答案解析】解：(1)由题意可知，，即.

又因为 ，， ，所以.

(2)(ⅰ)

设椭圆方程为，直线为，

联立得，

解得：，则.

因为为中点，，

因为所在的直线方程为

 令  解得

.

因为，所以，解得k＝1或 (舍)

所以k＝1.                                    

(ⅱ)因为k＝1，所以，

设四边形为平行四边形，

所以，.

即 ，

又因为点在椭圆上，所以.

解得b2＝4，b＝2，该椭圆方程为：.

5.已知椭圆的右焦点为F，A、B分別为椭圆的左项点和上顶点，△ABF的面积为＋1．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线AP、AQ分别与直线x＝2交于点M、N．以MN为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

【答案解析】解：(1)由题得

△ABF的面积，解得a＝2，

即椭圆C的标准方程为．

(2)已知点A(－2，0)，设直线PQ的方程为，点．

直线AP的方程为，直线AQ的方程为，

将x＝2代入直线AP、AQ方程，

可得，．

设以MN为直径的圆过定点P(m，n)，则，

即

联立椭圆和直线PQ的方程为x＝ty＋，可得，

化简得，即，．

代入上式化简得

，由此可知，若上式与t无关，

则，又，

因此MN为直径的圆恒过定点(，0)和(3，0)．

6.已知圆C1的方程为(x＋2)2＋y2＝32，点C2(2，0)，点M为圆C1上的任意一点，线段MC2的垂直平分线与线段MC1相交于点N.

(1)求点N的轨迹C的方程.

(2)已知点A(2，2)，过点A且斜率为k的直线l交轨迹C于P，Q两点，以OP，OQ为邻边作平行四边形OPBQ，是否存在常数k，使得点B在轨迹C上，若存在，求k的值；若不存在，说明理由.

【答案解析】解：(1)

>

知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，则a＝，

∴

(2)设直线，与椭圆联立

设，

消去，得，

，

，点

代入椭圆方程：，得

又满足

存在常数，使得平行四边形的顶点B在椭圆上.

7.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(﹣1，)，顺次连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为4，点P(1，0).

(1)求椭圆C的方程.

(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆C上的两点.

(ⅰ)若x1＝x2，且△PAB为等边三角形，求△PAB的边长；

(ⅱ)若x1≠x2，证明：△PAB不可能为等边三角形.

【答案解析】解：(1)依题意，，，

联立两式，解得，，

故椭圆的方程为.

(2)(ⅰ)由且△PAB为等边三角形及椭圆的对称性可知，

直线PA和直线PB与x轴的夹角均为30°

由，可得.

∴，△PAB的边长为，即或.

(ⅱ)因为，故直线AB斜率存在.

设直线，AB中点为，

联立，消去得，

由得到，    ①

所以，，

所以.

又，若△PAB为等边三角形，则有，

即，即，化简得，②

由②得点坐标为不合题意.故△PAB不可能为等边三角形.

8.如图，设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且0，若过 A，Q，F2三点的圆恰好与直线l：x﹣y﹣3＝0相切，过定点 M(0，2)的直线l1与椭圆C交于G，H两点(点G在点M，H之间).

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l1的斜率k>0，在x轴上是否存在点P(m，0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由；

(3)若实数λ满足，求λ的取值范围．

【答案解析】解：(1)因为0，所以F1为F2Q中点

设Q的坐标为(﹣3c，0)，因为AQ⊥AF2，所以b2＝3c×c＝3c2，a2＝4c×c＝4c2，

且过A，Q，F2三点的圆的圆心为F1(﹣c，0)，半径为2c．

因为该圆与直线L相切，所以  解得c＝1，

所以a＝2，b＝故所求椭圆方程为．

(2)设L1的方程为y＝kx＋2(k>0)由得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，

由△>0，得，所以k>1/2，设G(x1，y1)，H(x2，y2)，则

所以(x1﹣m，y1)＋(x2﹣m，y2)＝(x1＋x2﹣2m，y1＋y2)

＝(x1＋x2﹣2m，k(x1＋x2)＋4)(x2﹣x1，y2﹣y1)＝(x2﹣x1，k(x2﹣x1))，

由于菱形对角线互相垂直，因此

所以(x2﹣x1)[(x1＋x2)﹣2m]＋k(x2﹣x1)[k(x1＋x2)＋4]＝0，

故(x2﹣x1)[(x1＋x2)﹣2m＋k2(x1＋x2)＋4k]＝0

因为k>0，所以x2﹣x1≠0所以(x1＋x2)﹣2m＋k2(x1＋x2)＋4k＝0，

即(1＋k2)(x1＋x2)＋4k﹣2m＝0，

所以，解得，

因为k>0，所以

故存在满足题意的点P且m的取值范围是．

(3)①当直线L1斜率存在时，设直线L1方程为y＝kx＋2，代入椭圆方程，

得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0 ，由△>0，得，设G(x1，y1)，H(x2，y2)，

则，又，所以(x1，y1﹣2)＝λ(x2，y2﹣2)，所以x1＝λx2，

所以，∴  ∴，

整理得 ，因为， 所以

，解得又0＜λ＜1，

所以 ．

②当直线L1斜率不存在时，直线L1的方程为x＝0，

，，，

所以 ．

综上所述， ．