2.6-全等模型（1）（含pdf版）-2023-2024学年升初二（新八年级）数学假衔接教材（人教版） 试卷

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❊2.6 全等模型（1）
考点先知

知 识
考 点
中点模型
1.中点模型-倍长中线
角平分线模型
2.角平分线模型-截长补短
一线三等角模型
3.一线三等角模型，一线三直角模型
题型精析

知识点一 中点模型-倍长中线
全等三角形的判定原理


内容

如图所示，D为BC边上的中点，将中线延长并使得AD=DE（即倍长中线），则△ADB≌△EDC（SAS）.
题型一 角平分线的性质

例1

在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】延长至点，使得，可证，可得，，在中，根据三角形三边关系即可求得的取值范围，即可解题．
【详解】解：延长至点，使得，

在和中，
，
，
，
中，，
，
．
故选：B．
变1
在中，，，则边上的中线的取值范围是____________．
【答案】
【分析】延长至E，使，然后证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可得解．
【详解】解：延长至E，使，连接．
在和中，

，
，
在中，
，
即
故．
故答案为：．

例2

辰萱同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：

（1）求出的取值范围；
（2）如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：．
【答案】
(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解；
（2）延长至，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，可得．
【详解】
（1）解：由（1）可知，，，
在中，，，
∴，即，
∴．
（2）证明：如图，延长至，使，连接，

∵是的中线，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
变2
如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．

【解题思路】延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，根据SAS证△BEF≌△CEQ，推出BF=CQ，∠BFE=∠Q，根据平行线性质和角平分线性质推出∠G=∠GFA=∠BFE，推出∠G=∠Q，推出CQ=CG即可．
【解答过程】证明：延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，
∵E为BC边的中点，
∴BE=CE，
∵在△BEF和△CEQ中
BE=CE∠BEF=∠CEQEF=EQ，
∴△BEF≌△CEQ，
∴BF=CQ，∠BFE=∠Q，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵EF∥AD，
∴∠CAD=∠G，∠BAD=∠GFA，
∴∠G=∠GFA，
∴∠GFA=∠BFE，
∵∠BFE=∠Q（已证），
∴∠G=∠Q，
∴CQ=CG，
∵CQ=BF，
∴BF=CG．

例3

规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，，回答下列问题：

（1）求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．
（2）取的中点P，连接，请证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）根据，，即可证明；
（2）延长至E，使，先证，推出，，进而推出，再证，即可推出，由此可证．
【详解】（1）证明：，
，
又，，
和是兄弟三角形．
（2）证明：延长至E，使，
P为的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
又，
，
，，
，
在和中，

，
，
又，
．

例4

如图1，在△ABC中，若AB=10，BC=8，求AC边上的中线BD的取值范围．
（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE=BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．
①请证明△CED≌△ABD；
②中线BD的取值范围是____________．
（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB=BM，BC=BN，∠ABM=∠NBC=∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）①见解析；②；（3）MN=2BD，理由见解析
【分析】（1）①只需要利用SAS证明△CED≌△ABD即可；
②根据△CED≌△ABD可得AB=CE，由三角形三边的关系可得即则，再由，可得；
（2），延长BD到E使得DE=BD，同（1）原理可证△ADE≌△CDB，得到∠DAE=∠DCB，AE=CB，然后证明∠BAE=∠MBN，则可证△BAE≌△MBN得到MN=BE，再由BE=BD+ED=2BD，可得MN=2BD．
【详解】解：（1）①∵BD是三角形ABC的中线，
∴AD=CD，
又∵∠ABD=∠CDE，BD=ED，
∴△CED≌△ABD（SAS）；
②∵△CED≌△ABD，
∴AB=CE，
∵，
∴即，
又∵，
∴；
故答案为：；

（2）MN=2BD，理由如下：
如图所示，延长BD到E使得DE=BD，
同（1）原理可证△ADE≌△CDB（SAS），
∴∠DAE=∠DCB，AE=CB，
∵BC=BN，
∴AE=BN，
∵∠ABM=∠NBC=90°，
∴∠MBN+∠ABC=360°-∠ABM-∠NBC=180°，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠BAE+∠ABC=180°，
∴∠BAE=∠MBN，
又∵AB=BM，
∴△BAE≌△MBN（SAS），
∴MN=BE，
∵BE=BD+ED=2BD，
∴MN=2BD．

变3
（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），

①延长AD到M，使得DM=AD；
②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；
③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是____________；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC=BM，证明见解析；（3）EF=2AD，证明见解析．
【分析】（1）延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，根据题意证明△MDB≌△ADC，可知BM=AC，在△ABM中，根据AB﹣BM＜AM＜AB+BM，即可；
（2）由（1）知，△MDB≌△ADC，可知∠M=∠CAD，AC=BM，进而可知AC∥BM；
（3）延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，由（1）（2）的结论以及已知条件证明△ABM≌△EAF，进而可得AM=2AD，由AM=EF，即可求得AD与EF的数量关系．
【详解】（1）如图2，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△MDB和△ADC中，
，
∴△MDB≌△ADC（SAS），
∴BM=AC=6，
在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，
∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，
∴1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7；
（2）AC∥BM，且AC=BM，
理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，
∴∠M=∠CAD，AC=BM，
∴AC∥BM；
（3）EF=2AD，
理由：如图2，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，
由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM=AC，
∵AC=AF，
∴BM=AF，
由（2）知：AC∥BM，
∴∠BAC+∠ABM=180°，
∵∠BAE=∠FAC=90°，
∴∠BAC+∠EAF=180°，
∴∠ABM=∠EAF，
在△ABM和△EAF中，
，
∴△ABM≌△EAF（SAS），
∴AM=EF，
∵AD=DM，
∴AM=2AD，
∵AM=EF，
∴EF=2AD，
即：EF=2AD．

知识点二 角平分线模型-截长补短
全等三角形的判定原理


内容

如图所示，BD是∠ABC的角平分线，且BC>BA.

【截长】在BC上作一点E，使得BE=BA，则△ABD≌△EBD.

【补短】延长BA至E，使得BE=BC，则△EAD≌△CBD.
题型一 角平分线的性质

例1

如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．求证：．

【答案】见解析
【分析】方法一，在BC上截取BE，使，连接DE，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，再根据全等三角形的性质可得，，由AD=CD等量代换可得，继而可得，由于，可证；
方法2，延长BA到点E，使，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，．由，可得，继而求得，由，继而可得；
方法3， 作于点E，交BA的延长线于点F，由角平分线的定义可得，由，，可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，再根据HL定理可得可证．
【详解】解：方法1 截长如图，在BC上截取BE，使，
连接DE，

因为BD是的平分线，
所以．
在和中，
因为
所以，
所以，．
因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
方法2  补短
如图，延长BA到点E，使．

因为BD是的平分线，
所以
在和中，
因为，
所以，
所以，．
因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
方法3  构造直角三角形全等

作于点E．交BA的延长线于点F
因为BD是的平分线，
所以．
因为，，
所以，
在和中，
因为，
所以，
所以．
在和中，
因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
例2

如图，△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC，若AC+CD=AB，求∠C的度数．

解：在AB上截取AC=AE，设∠B=x°，
∵AC=BC，
∴∠BAC=∠B=x°
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
在△EAD和△CAD中
，
∴△EAD≌△CAD，
∴∠C=∠AED，CD=DE，
∵AC+CD=AB，AB﹣BE+AE，AE=AC，
∴BE=DE=DC，
∴∠B=∠BDE=x°，
∴∠C=∠AED=∠B+∠BDE=2x°，
在△ABC中，x+x+2x=180°，
∴x=45，
即∠C=2x°=90°．

变1
已知在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．求证：AC=AB+BD．

证明：在AC上截取AE=AB，连接DE．
∵∠BAC的平分线AD交BC边于点D，
∴∠BAD=∠DAC，
在△ABD与△AED中，，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴BD=DE，∠B=∠AED，
∵∠B=2∠C，∠AED=∠C+∠EDC，
∴∠AED=2∠C，
∴∠C=∠EDC，
∴CE=DE，
∴CE=BD，
∴AC=AE+EC=AB+BD．

变2
如图所示，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=DC，BD平分∠ABC，则∠A+∠C的度数是______度．

【答案】180
【分析】本题的关键是要根据所求角的特点来作辅助线构筑全等三角形，然后根据全等三角形的性质来找出与所求角相关联的角，进行适当的化简，然后求解．
【详解】解：在BC上取一点E使BE=BA，连接DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
∵BA=BE，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴∠A=∠BED，AD=DE，
∵AD=DC，
∴DE=DC，
∴△DEC为等腰三角形，
因此∠C=∠DEC，
∴∠A+∠C=∠BED+∠DEC=180°．

故答案为180
例3

如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（ ）

A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
【分析】如图，在上截取 连接证明利用全等三角形的性质证明 求解 再证明 从而可得答案．
【详解】解：如图，在上截取 连接
平分













故选：
变3
如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（ ）

A．3
B．9
C．11
D．15
【答案】C
【分析】在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，AB=AE，再证明CD=CE，进而代入数值解答即可．
【详解】在AC上截取AE=AB，连接DE，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B=∠AED，∠ADB =∠ADE， AB=AE，
又∠B=2∠ADB
∴∠AED=2∠ADB，∠BDE=2∠ADB，
∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB，∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB，
∴∠DEC =∠EDC，
∴CD=CE，
∵，，
∴AC =AE+CE=AB+CD = 5+6=11．
故选：C．
例4

如图，，，分别平分和，经过点E．求证：．

【答案】证明见解析
【分析】在上截取，连接，通过证明和，然后根据全等三角形的性质分析求证．
【详解】证明：在上截取，连接．

∵，分别平分和，
∴．
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
例5

如图中，分别平分相交于点．
（1）求的度数；
（2）求证：

【答案】（1）∠CPD=60°；（2）详见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义，三角形的外角性质即可求出；
（2）在AC上截取AF=AE，先证明△APE≌△APF（SAS），再证明△CFP≌△CDP（ASA），根据全等三角形的性质证明即可．
【详解】解：（1）∵∠ABC=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，
又∵AD、CE分别平分，
∴，
∴，
又∵∠CPD是△ACP的外角，
∴∠CPD=∠CAD+∠ACE=60°，
∴∠CPD=60°．
（2）如图，在AC上截取AF=AE，连接PF，
∵∠CPD=60°，
∴∠APC=120°，∠APE=60°
∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠BAD=∠CAD，∠ACE=∠BCE
在△APE与△APF中
，
∴△APE≌△APF（SAS）
∴∠APF=∠APE=60°，
∴∠CPF=∠AOC-∠APF=60°，
在△CFP与△CDP中，

∴△CFP≌△CDP（ASA）
∴CD=CF
∴AC=AF+CF=AE+CD，
即．

变4
如图，，，，直线过点交于，交于点．求证：．

【答案】详见解析
【分析】在线段上取，连接，易证≌，可得，因为得，∠D+∠C=180°，再根据邻补角∠AFE+∠BFE=180°，可得∠BFE=∠C，可证≌，可得BC=BF，再进行等量代换即可得出答案.
【详解】解：在线段上取，连接，

在与中，，
∴≌（SAS）．
∴．
由又可得，
∴．
又，
∴．
在与中，，
∴≌（AAS）．
∴．
∵，
∴．
知识点三 一线三等角模型
全等三角形的判定原理


内容

如图所示，AB=AC，∠B=∠ADE=∠C（即一线三等角），则△ABD≌△DCE（AAS）.

如图所示，∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°（即一线三直角），则△ADC≌△CEB（AAS）.
题型三 一线三等角模型

例1

如图，在中，，、、三点都在直线上，并且有，若，，求的长．

【分析】由，推出，再根据证明得，，即可得出结果．
【解答】解：，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
．
．
例2

在直线上依次取互不重合的三个点，，，在直线上方有，且满足．
（1）如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是____________；
（2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．


【分析】（1）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到；
（2）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到；
【解答】解：（1），理由如下，
，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
（2）仍然成立，理由如下，
，
，
，
，
，
，，
；
变1
如图所示．已知，，则：
（1）吗？
（2）吗？

【分析】（1）根据三角形外角性质可得，进而得到，以此即可通过证明；
（2）根据等腰三角形等角对等边得，根据全等三角形的性质得，以此即可求解．
【解答】解：（1）．
理由：，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）．
理由：，
，
，
，
．
变2
已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作△ABC，使AB=AC，连接BD，CE．
（1）如图①，若∠BAC=90°，BD⊥m，CE⊥m，求证：△ABD≌△ACE；
（2）如图②，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由．

【解题思路】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA；
（2）由∠BDA=∠AEC=∠BAC，就可以求出∠BAD=∠ACE，进而由ASA就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD=AE，DA=CE，即可得出结论．
【解答过程】解：（1）证明：如图①，∵D，A，E三点都在直线m上，∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∠ADB=∠AEC∠ABD=∠CAEAB=AC，
∴△ABD≌△ACE（AAS）；
（2）DE=BD+CE．
理由是：如图②，∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，
∴由三角形内角和及平角性质，得：
∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAE=∠CAE+∠ACE，
∴∠ABD=∠CAE，∠BAD=∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
∠ABD=∠CAEAB=AC∠BAD=∠ACE，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴BD=AE，AD=CE，
∴DE=AD+AE=BD+CE．
例3

在中，，，直线经过点，且于，于．
（1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：①；②；
（2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：；
（3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系．

【分析】（1）①根据，，，得出，再根据即可判定；②根据全等三角形的对应边相等，即可得出，，进而得到；
（2）先根据，，得到，进而得出，再根据即可判定，进而得到，，最后得出；
（3）运用（2）中的方法即可得出，，之间的等量关系是：．
【解答】解：（1）①，，
，
，，
，
在和中，
，
；

②，
，，
；

（2）证明：，，
，
，
在和中，
，
；
，，
；

（3）当旋转到题图（3）的位置时，，，所满足的等量关系是：．
理由如下：，，
，
，
在和中，
，
，
，，
．

变3
在中，，，直线经过点，且于，于．
（1）当直线绕点旋转到图1的位置时，①求证：；②若，，求长．
（2）当直线绕点旋转到图2的位置时，，，求长；
（3）当直线绕点旋转到图3的位置时，，，求长．

【分析】（1）①证明，根据“”可证；②根据全等三角形性质得；
（2）同理可证，得；
（3）同（2）．
【解答】解：（1）①证明：，
．
又，
．
．
在与中，
．
；
②，，
；

（2）同①的证明得，
；

（3）同（2），．
课后强化

1.三角形两边长分别为8cm和5cm，第三边的中线长可以是（ ）
A．1cm
B．2cm
C．7cm
D．8cm
【答案】B
【分析】如图，是中边上的中线，，，延长到E，使，然后证明≌，可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，即可得解．
【详解】解：如图，是中边上的中线，，，延长到E，使，

∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，
∵，，
∴，
即，
∴；
∴第三边的中线长可以是：2cm；
故选：B．
2.已知是中边上的中线，，，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】延长至E，使，连接，证明，得到，然后利用三角形的三边关系求解．
【详解】解：延长至E，使，连接，
∵，
∵是中边上的中线，
∴，
∵，
∴
∴，
∴在中：，
即，
∴，
故选A．

3.已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF．

【解题思路】根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到△ADC≌△GDB，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF．
【解答过程】证明：如图，延长AD到点G，使得AD=DG，连接BG．
∵AD是BC边上的中线（已知），
∴DC=DB，
在△ADC和△GDB中，
AD=DG∠ADC=∠GDB(对顶角相等)DC=DB
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴∠CAD=∠G，BG=AC
又∵BE=AC，
∴BE=BG，
∴∠BED=∠G，
∵∠BED=∠AEF，
∴∠AEF=∠CAD，
即：∠AEF=∠FAE，
∴AF=EF．

4.如图．AB=AE，AB⊥AE，AD=AC．AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM．

【解题思路】延长AM至N，使MN=AM，证△AMC≌△NMB，推出AC=BN=AD，求出∠EAD=∠ABN，证△EAD≌△ABN即可．
【解答过程】证明：延长AM至N，使MN=AM，连接BN，
∵点M为BC的中点，
∴CM=BM，
在△AMC和△NMB中
AM=MN∠AMC=∠NMBCM=BM
∴△AMC≌△NMB（SAS），
∴AC=BN，∠C=∠NBM，
∵AB⊥AE，AD⊥AC，
∴∠EAB=∠DAC=90°，
∴∠EAD+∠BAC=180°，
∴∠ABN=∠ABC+∠C=180°﹣∠BAC=∠EAD，
在△EAD和△ABN中
∵AE=AB∠EAD=∠ABNAD=BN，
∴△ABN≌△EAD（SAS），
∴DE=AN=2AM．
5.（1）已知如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．
（2）思考：已知如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．

【答案】（1）；（2）且
【分析】（1）用倍长中线模型，构造全等三角形，即可求出中线的取值范围；
（2）用倍长中线模型，通过证明三角形的全等，可求出线段与的数量和位置关系．
【详解】解：（1）如下图，延长，使得，则，

∵D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，可得：，
即，
∵，
∴，
∴，
∴边上的中线的取值范围为：；
（2）且，证明如下：
如下图，延长，使得，延长与交于点H，

由（1）可易证，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，  
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，且．
6.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C=2∠CDB，AB=12，CD=3，则△ABC的周长为（ ）
A．21
B．24
C．27
D．30
解：如图，在AB上截取BE=BC，连接DE，

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，
在△CBD和△EBD中，
，∴△CBD≌△EBD（SAS），∴∠CDB=∠BDE，∠C=∠DEB，
∵∠C=2∠CDB，∴∠CDE=∠DEB，
∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，
∴△ABC的周长=AD+AE+BE+BC+CD=AB+AB+CD=27，故选 C．
7.如图，中，平分，，，则的度数为______．

【答案】
【分析】如图（见解析），在线段AC上取点E，使得，先根据角平分线的定义得出，再根据三角形全等的判定定理与性质得出，，然后根据线段的和差、等量代换得出，最后根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质即可得．
【详解】如图，在线段AC上取点E，使得
平分

在和中，

，
又





故答案为：．

8.如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40o，BD是∠ABC的角平分线，延长BD至点E，使得DE=DA，则∠ECA=______．

【答案】40°
【分析】在BC上截取BF=AB，连接DF，由题意易得∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，易得△ABD≌△FBD，进而可得DF=AD=DE，由此可证△DEC≌△DFC，然后根据全等三角形的性质、三角形内角和及外角的性质可求解．
【详解】解：在BC上截取BF=AB，连接DF，

∠ACB=∠ABC=40°，BD是∠ABC的角平分线，
∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，
∠ADB=60°，∠BDC=120°，
BD=BD，
△ABD≌△FBD，
DE=DA，
DF=AD=DE，∠BDF=∠FDC=∠EDC=60°，∠A=∠DFB=100°，
DC=DC，
△DEC≌△DFC，
；
故答案为40°．
9.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC和∠BCD的平分线的交点E在AD上．求证：
（1）点E是AD的中点；
（2）BC=AB+CD．

证明：延长CE交BA的延长线于点F．
∵CE和BE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，即∠ECB=∠DCB，∠EBC=∠CBA，
又∵AB∥CD，
∴∠DCB+∠CBA=180°，
∴∠ECB+∠EBC=90°，
∴∠CEB=90°，即BE⊥EC，
∵AB∥CD
∴∠DCE=∠F，
又∵∠DCE=∠ECB，
∴∠F=∠ECB
∴BF=BC，EC=EF．
在△DCE和△AFE中，
，
∴△DCE≌△AFE，
∴DE=AE，即E是AD的中点，DC=AF，
∴BC=BF=AB+CD．

10.（1）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°﹣α，BD平分∠ABC．

①如图1，若α=90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD=CD，这个性质是__________________；
②在图2中，求证：AD=CD；
（2）拓展探究：根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求证BD+AD=BC．
【答案】（1）①角平分线上的点到角的两边距离相等；②见解析；（2）见解析．
【分析】（1）①根据角平分线的性质定理即可解决问题；
②如图2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．只要证明△DEA≌△DFC即可解决问题；
（2）如图3中，在BC时截取BK=BD，BT=BA，连接DK．首先证明DK=CK，再证明△DBA≌△DBT，推出AD=DT，∠A=∠BTD=100°，推出∠DTK=∠DKT=80°，推出DT=DK=CK，由此即可解决问题；
【详解】（1）①根据角平分线的性质定理可知AD=CD．
所以这个性质是角平分线上的点到角的两边距离相等．
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等．
②如图2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．

∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，
∴DE=DF，
∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠EAD=180°，
∴∠EAD=∠C，
∵∠E=∠DFC=90°，
∴△DEA≌△DFC，
∴DA=DC．
（2）如图3中，在BC上截取BK=BD，BT=BA，连接DK．

∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠C=40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBK=∠ABC=20°，
∵BD=BK，
∴∠BKD=∠BDK=80°，
∵∠BKD=∠C+∠KDC，
∴∠KDC=∠C=40°，
∴DK=CK，
∵BD=BD，BA=BT，∠DBA=∠DBT，
∴△DBA≌△DBT，
∴AD=DT，∠A=∠BTD=100°，
∴∠DTK=∠DKT=80°，
∴DT=DK=CK，
∴BD+AD=BK+CK=BC．
11.如图，在等腰直角三角形中，，，点在直线上，过作于，过作于．下列给出四个结论：①；②与互余；③．其中正确结论的序号是（ ）

A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【分析】根据同角的余角相等可得，再根据“”可得，再逐项分析可得结论．
【解答】解：，，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，故①正确；
，，
，
即与互余，故②正确；
，
，，
，
，故③正确．
故选：．
12.如图，在中，，，于点，于点，若，，则______．

【分析】由余角的性质可证，即可证明，可得，，根据，即可解题．
【解答】解：，于点，于点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，
，
故答案为：5．
13.如图所示，工人赵师傅用10块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙和，点在上，已知，．
（1）求证：；
（2）求的长．

【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证得结论；
（2）利用（1）中全等三角形的对应边相等得到：，，则．
【解答】（1）证明：，，
（同角的余角相等）．
在与中，
，
；
（2）由题意知，，．
由（1）知，，
，，
．
14.在中，，，直线经过点，且于，于．
（1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：．
（2）当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．

【分析】（1）由已知推出，因为，，推出，根据可证明，依据全等三角形的性质可得到，，然后由可得到问题的答案；
（2）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，，最后由可得到问题的答案．
【解答】证明：（1），，
，
，
，，
，
在和中
，
，，
，
．
（2），
理由：，，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
．