初中数学华师大版七年级下册第9章 多边形9.2 多边形的内角和与外角和第1课时学案设计

第9章 多边形

9.2 多边形的内角和与外角和

第1课时 多边形的内角和

学习目标：1．了解多边形及其相关概念，理解正多边形及其概念．

2．会求多边形的对角线的条数．

3．能通过不同的方法探索多边形的内角和公式．

4．会应用多边形的内角和公式进行有关计算．

重点：多边形的内角和公式．

难点：多边形的内角和公式的推导．

自主学习

一、知识链接

1．什么是三角形？

由不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边.

2．观察下面的图片，你能找到哪些我们熟悉的图形？

略.

3．三角形的内角和是多少？

180°

二、新知预习

自主归纳：

（1）多边形的概念：类比三角形的概念，在平面内，由一些线段______相接组成的封闭图形叫做_______．

（2）多边形的有关概念：

①多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形，如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做_________．

②多边形_____两边组成的角叫做它的内角，如图，∠A，∠B，∠C，∠D，∠E是五边形ABCDE的5个内角，多边形的边与它的邻边_______________组成的角叫做多边形的外角．连结多边形_________的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图，线段 _______是五边形ABCDE的对角线．

③各个角都_________，各边都__________的多边形叫做正多边形．

（3）n边形的内角和公式是________________，三角形的内角和也符合此公式．

三、我的疑惑

                                                                                           .

合作探究

一、要点探究

探究点1：多边形的定义及相关概念

做一做：下列图形不属于多边形的是（   ）

要点归纳：由不在同一直线上的一些线段首尾顺次连结组成的平面图形称为多边形，由n条线段组成的多边形就叫做n边形．三角形是边数最少的多边形．

例1  六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明．

根据如图所示：可能为七边形，五边形或者六边形.

方法总结：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．

探究点2：多边形的对角线

概念：连结多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．

画一画：（1）画出下列多边形的全部对角线．

（2）请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数，并填表：

要点归纳：从n(n≥3)边形的一个顶点可以作出________条对角线．将多边形分成_________个三角形．

例2  过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线分该多边形所得三角形的个数的和为21，求这个多边形的边数．

探究点3：正多边形

想一想：下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明理由？

（四条边都相等）                          （四个角都相等）

方法总结：判断一个多边形是不是正多边形，各边都相等，各角都相等，两个条件必须同时满足．

探究点2：多边形的内角和

问题1：从四边形的一个顶点出发可以引_____条对角线，它们将四边形分成___个三角形，那么四边形的内角和等于_______度．你能用以前学过的知识证明一下你的结论吗？

已知：四边形ABCD．

求证：四边形ABCD的内角和为180°．

证法1：如图，连接AC，则该四边形被分为两个三角形，

证法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE，DE，则该四边形被分成三个三角形，

证法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，连接AE，BE，CE，DE，

则该四边形被分成四个三角形.

方法总结：这三种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化成已经学过的三角形内角和求解．

问题2：从五边形的一个顶点出发可以引_____条对角线，它们将五边形分成_____个三角形，那么五边形的内角和等于______度；

问题3：从n边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？那么n边形的内角和等于多少度？填表回答：

要点归纳：n边形的内角和等于___________________．

例3  一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？

针对训练

1．若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是________．

2．五边形的内角和为_______，十边形的内角和为_______．

3．下列度数中，不可能是某个多边形的内角和的是（    ）

A．180°         B．270°         C．2700°           D．720°

二、课堂小结

当堂检测

1．下列图形为正多边形的是（　　）

A               B                C            D

2．九边形的对角线有（     ）

A．25条           B．31条          C．27条          D．30条

3．一个多边形的内角和不可能是（    ）

A．1800°           B．540°          C．720°           D．810°

4．一个多边形从一个顶点可引3条对角线，则这个多边形的内角和等于（   ）

A．360°            B．540°          C．720°           D．900°

5．过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分割成____个三角形．

6．一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和．

参考答案

自主学习

一、知识链接

1．三角形由不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.

2．略.   3．180°

二、新知预习

自主归纳：

（1）首尾顺次   多边形

（2）①n边形②相邻   延长线    不相邻    AC,  AD    ③相等   相等

（3）（n-2）×180°

合作探究

一、要点探究

探究点1：多边形的定义及相关概念

做一做：  D 

例1  

解：

根据如图所示：可能为七边形，五边形或者六边形.

探究点2：多边形的对角线

画一画：（1）解：画图略.

（2）解：画图略. 填表如下：

要点归纳：(n-3)    (n-2)

例2  解：设这个多边形为n边形，则有(n-3)条对角线，所分得的三角形个数为n-2.所以有n-2=21，解得：n=23.

探究点3：正多边形

想一想：                  

探究点2：多边形的内角和

问题1：1   2    360

证法1：

∵∠BAC+∠ACB+∠B=180°，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，而四边形ABCD的内角和为∠BAC+∠ACB+∠B+∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°+180°=360°.

证法2：

∵∠CDE+∠C+∠DEC=180°，∠BAE+∠B+∠AEB=180°，

∠EAD+∠ADE+∠AED=180°，且∠DEC+∠AED+∠AEB==180°；∠B+∠BAE+∠DAE+∠DAE+∠ADE+∠EDC+∠C=180°×3-180°=360°，即∠B+∠DAB+∠ADC+∠DCB+∠ABC=∠CDE+∠C+∠EAD+∠BAE+∠B+∠ADE=360°.             

证法3：

解：设∠ADE=∠1，∠DAE=∠2，∠BAE=∠3，∠ABE=∠4，∠EBC=∠5，∠ECB=∠6，∠ECD=∠7，∠EDC=∠8.∵∠AED+∠AEB+∠BEC+∠DEC=360°，而∠AED=180°-∠1-∠2，∠AEB=180°-∠3-∠4，∠BEC=180°-∠5-∠6，∠DEC=180°-∠7-∠8.∴180°-∠1-∠2+180°-∠3-∠4+180°-∠5-∠6+180°-∠7- ∠8=360°.∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360°，即四边形ABCD的内角为360°.

问题2：2    3     540

问题3：

要点归纳：（n-2）×180°

例3  解：假设这个多边形为n边形，则有（n-2）×180°-360°=720°，解得n=8.所以这个多边形是八边形，每个内角是135°.

针对训练

1．6

2．540° 1440°

3． B  

二、课堂小结

首尾顺次  不相邻  相等   相等   3

当堂检测

1．　D　         

2． C  

3．  D

4．  C

5．6

6．解：设这个三角形为n边形，则有（n-2）×180°=1800，解得n=12.

当截去一个角后，存在三种情况，这个多边形可能为十二边形或者十一边形或者十三边形.

当这个多边形为十一边形时：内角和为(11-2)×180°=1620°.

当这个多边形为十二边形时：内角和为1800°.

当这个多边形为十三边形时：内角和为（13-2）×180°=1980°.