湖北省武汉市第十一中学2022-2023学年高一下学期6月考数学试题及答案

这是一份湖北省武汉市第十一中学2022-2023学年高一下学期6月考数学试题及答案，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
武汉市第十一中学2025届高一6月考
高一数学试卷
命题人：肖燕 审题人：董金雨
考试时间：2023年6月10日14:00～16:00 试卷满分：150分
一、单选题
1．从高一抽三名学生参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下错误的是（    ）
A．事件A与事件B互斥 B．
C．事件A与事件D互斥 D．事件A与事件C对立
2．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，则选出的2名教师性别相同的概率是（    ）
A． B． C． D．
3．少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（    ）
A．样本的众数为65 B．样本的第80百分位数为72.5
C．样本的平均值为67.5 D．该校学生中低于的学生大约为1000人
4．在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（    ）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5．在斜三棱柱中，，分别为侧棱，上的点，且知，过，，的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为（    ）
A． B． C． D．
班级
人数
平均分数
方差
甲
40
70
5
乙
60
80
8
6．在高三某次模拟考试中，甲、乙两个班级的数学成绩统计如下表，则两个班所有学生的数学成绩的方差为（    ）．
A．6.5 B．13
C．30.8 D．31.8
7．在三棱锥中，△和△都是等边三角形，，平面平面，M是棱AC上一点，且，则过M的平面截三棱锥外接球所得截面面积的最大值与最小值之和为( )
A.24π B.25π C.26π D.27π
8．已知正四棱锥的体积为，底面的面积为，点、分别为、的中点，点为的靠近点的三等分点，过点、、的平面将该四棱锥分成上、下两部分，截面形状为四边形，则该四边形的面积为（    ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．一个不透明的袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中任意取出两个球.设事件P表示“取出的球都是黑球”，事件Q表示“取出的球都是白球”，事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”，则下列结论错误的是（　　）
A．P和R是互斥事件 B．P和Q是对立事件
C．Q和R是对立事件 D．Q和R是互斥事件，但不是对立事件
10．的内角，，的对边分别为，，，，，，则（    ）
A． B． C．外接圆的面积为 D．的面积为
11．现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24；乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26；丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6；
根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（    ）
A. 甲球员连续5场比赛得分都不低于24分
B．乙球员连续5场比赛得分都不低于24分
C．丙球员连续5场比赛得分都不低于24分
D．丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24
12．如图，矩形中，，边，的中点分别为，，直线BE交AC于点G，直线DF交AC于点H.现分别将，沿，折起，点在平面BFDE同侧，则（    ）
A．当平面平面BEDF时，平面BEDF
B．当平面平面CDF时，
C．当重合于点时，二面角的大小等于
D．当重合于点时，三棱锥与三棱锥外接球的公共圆的周长为
三、填空题
13．某校共有学生2000名，男生1200名，女生800名，现按比例分配样本进行分层抽样，从中抽取50名学生，则应抽取的女生人数是___________人
14．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记第一次得到的点数为，第二次得到的点数为，则的概率为__________.
15．某同学为了测量天文台的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台A，A到地面的距离为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得阳台A，天文台顶的仰角分别是15°和60°，在阳台处测得天文台顶的仰角为30°，假设，和点在同一平面内，则该同学可测得学校天文台的高度为______.
16．设锐角的三个内角..的对边分别为..，且，，则周长的取值范围为 .
四、解答题
17．已知函数，集合，若分别从集合P，Q中随机抽取一个数a和b，构成数对．
(1)记事件A为“函数的单调递增区间为”，求事件A的概率；
(2)记事件B为“方程有4个根”，求事件B的概率．
18．从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：
等级
A
B
C
D
E
人数比例
15%
35%
35%
13%
2%
赋分区间





将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，表示考生的原始分，表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，计算结果四舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：

 (1)求实数的值；
(2)按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间.
(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成绩的原始分为90，试计算其等级分.

19．的内角、、的对边分别为、、，已知，且的面积.
(1)求；
(2)若内一点满足，，求.
20．如图1，在直角三角形中，为直角，在上，且，作于，将三角形ADE沿直线折起到所处的位置，连接，如图2.

(1)若平面平面，求证:；
(2)若二面角为锐角，且二面角的正切值为，求的长.

21．已知如图1直角梯形ABCD，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝4，AD＝CD＝2，E为AB的中点，沿EC将梯形ABCD折起（如图2），使平面BED⊥平面AECD．
 (1)证明：BE⊥平面AECD；
(2)在线段CD上是否存在点F，使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为，若存在，求出点F的位置：若不存在，请说明理由．

22．某公园有一块长方形空地ABCD，如图，，．为迎接“五一”观光游，在边界BC上选择中点E，分别在边界AB、CD上取M、N两点，现将三角形地块MEN修建为花圃，并修建观赏小径EM，EN，MN，且．
(1)当时，求花圃的面积；
(2)求观赏小径EM与EN长度和的取值范围．
武汉十一高数学六月考
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．从高一抽三名学生参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下错误的是（    ）
A．事件A与事件B互斥 B．
C．事件A与事件D互斥 D．事件A与事件C对立
【答案】B
【分析】由独立乘法公式求，根据事件的描述，结合互斥、对立事件的概念判断B、C、D即可.
【详解】由所抽学生为女生的概率均为，则，A正确；
两事件不可能同时发生，为互斥事件，C正确；
事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生，
其对立事件为，D正确；
事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生，
与事件含义相同，故，B错误；
故选：B.
2．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，则选出的2名教师性别相同的概率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】从甲校和乙校报名的教师中各任选名，列出基本事件的总数，利用古典概型求解即可.
【详解】设甲校2男1女的编号分别为1，2，A，乙校1男2女编号分别为B，3，4，
若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果有：，，，，，，，，共计9个，
选出的2名教师性别相同的结果有，，，共计4个，
故选出的2名教师性别相同的概率为．
故选：B
3．少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．样本的众数为65 B．样本的第80百分位数为72.5
C．样本的平均值为67.5 D．该校学生中低于的学生大约为1000人
【答案】B
【分析】根据众数，百分位数，平均数的定义判断A，B，C，再求低于的学生的频率，由此估计总体中体重低于的学生的人数，判断D.
【详解】由频率分布直方图可得众数为，A错误；
平均数为，C错误；
因为体重位于的频率分别为，
因为，
所以第80百分位数位于区间内，设第80百分位数为，
则，
所以，即样本的第80百分位数为72.5，B正确；
样本中低于的学生的频率为，
所以该校学生中低于的学生大约为，D错误；
故选：B.
4．在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（    ）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状.
【详解】在中，由正弦定理得，而，
∴ ，即，
又∵、为的内角，∴，
又∵，∴，
∴由余弦定理得：，∴，
∴为等边三角形.
故选：B.
5．在斜三棱柱中，，分别为侧棱，上的点，且知，过，，的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知中三棱柱的侧棱和上各有一动点，满足，可得四边形与四边形的面积相等，等于侧面的面积的一半，根据等底同高的棱锥体积相等，可将四棱锥的体积转化三棱锥的体积，进而根据同底同高的棱锥体积为棱柱的，求出四棱锥的体积，进而得到答案.
【详解】设三棱柱的体积为
侧棱和上各有一动点，满足，
四边形与四边形的面积相等.
故四棱锥的体积等于三棱锥的体积等于.
则四棱锥的体积等于.
故过，，三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积比为
故选：.
  
6．在高三某次模拟考试中，甲、乙两个班级的数学成绩统计如下表：
班级
人数
平均分数
方差
甲
40
70
5
乙
60
80
8
则两个班所有学生的数学成绩的方差为（    ）．
A．6.5 B．13 C．30.8 D．31.8
【答案】C
【分析】由表格的数据求出两个班所有学生的数学平均分数，再根据方差公式计算两个班所有学生的数学成绩的方差．
【详解】因为甲班平均分数为，乙班平均分数为，
所以两个班所有学生的数学平均分数为，
所以两个班所有学生的数学成绩的方差为：



.
故选：C
7． 在三棱锥中，△和△都是等边三角形，，平面平面，M是棱AC上一点，且，则过M的平面截三棱锥外接球所得截面面积的最大值与最小值之和为( ).
A.24π B.25π C.26π D.27π
【答案】D
【分析】根据题设找到三棱锥外接球球心位置，由已知及球体截面的性质求过M平面截球体的最大截面积，根据外接球球心、面面垂直以及比例关系易知共线，且过M平面截球体的最小截面积时该平面，且，即可求最大、最小面积和.
【详解】由题设，若为中点，分别是等边△和等边△的中心，
连接，则分别在上，且，
，，，面，故面，
又面，所以，面面，
  
又面面，过作面的垂线与过作面的垂线交于，
即面，面，则为外接球球心，
面，且，，则面，所以面面，
综上，结合面面，面面，则面、面为同一平面，所以面，
由面面，，面，面面，
所以面，面，即，且知：为正方形，
如上图，，，若外接球半径为，
所以，
由球体的性质，要使过M平面截三棱锥外接球所得截面面积的最大，则平面必过球心，
所以，最大截面圆面积为，
要使过M平面截三棱锥外接球所得截面面积的最小，则该平面，
因为，而都在面上，故，
而，故，显然共线，故，
此时截面圆的半径为，则，
所以，最小截面圆面积为，
综上，最大值与最小值之和为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据球的性质判断过M平面截棱锥外接球截面面积最大、最小时截面与的位置关系，利用几何关系求截面圆半径，最后求面积和.
8．已知正四棱锥的体积为，底面的面积为，点、分别为、的中点，点为的靠近点的三等分点，过点、、的平面将该四棱锥分成上、下两部分，截面形状为四边形，则该四边形的面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接、，设，连接，连接并延长交于点，连接、、、，在中，过点作交于点，交于点，过点作交于点，证明出，计算出、的长，进而可求得截面四边形的面积.
【详解】连接、，设，连接，
易知为正四棱锥的高，连接交于点．
因为点、分别为、的中点，则，
因为，所以，为的中点．
连接并延长交于点，连接、、、，
因为四边形为正方形，则，
因为平面，平面，所以，，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，则，
四边形为所求的截面四边形，如图1．

因为正四棱锥的体积为，底面的面积为，
所以底面是边长为的正方形，则，
由，可得，
在中，过点作交于点，交于点，
过点作交于点，如图2．

因为，则．
又为的中点，为的中点，所以，，
，，
所以，，
则，，所以，
故，所以，则，
得．
故四边形的面积为，
故选：C．
【点睛】方法点睛：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键．
（1）平面的四个公理及推论；
（2）直线和平面平行的判定和性质；
（3）两个平面平行的性质；
（4）球的截面的性质．

二、多选题
9．（多选）一个不透明的袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中任意取出两个球.设事件P表示“取出的球都是黑球”，事件Q表示“取出的球都是白球”，事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”，则下列结论错误的是（　　）
A．P和R是互斥事件
B．P和Q是对立事件
C．Q和R是对立事件
D．Q和R是互斥事件，但不是对立事件
【答案】ABD
【分析】根据对立事件、互斥事件的定义一一判断即可.
【详解】袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球，取球的方法有如下几种:①取出的两球都是黑球;②取出的两球都是白球;③取出的两球一黑一白.
事件R包括①③两种情况，∴事件P是事件R的子事件，故A中结论不正确;
事件Q与事件R互斥且对立，故C中结论正确，D中结论不正确;
事件P与事件Q互斥，但不对立，故B中结论不正确.
故选：ABD.
10．的内角，，的对边分别为，，，，，，则（    ）
A．
B．
C．外接圆的面积为
D．的面积为
【答案】ABD
【分析】设的外接圆的半径为, 利用正弦定理求出，再利用余弦定理和正弦定理求出以及即得解.
【详解】解：设的外接圆的半径为,
因为，所以，
所以，则外接圆的面积为.
因为，所以
所以, 所以ABD正确，C错误.
故选：ABD
11．现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：
甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24；
乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26；
丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6；
根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（    ）
A．甲球员连续5场比赛得分都不低于24分
B．乙球员连续5场比赛得分都不低于24分
C．丙球员连续5场比赛得分都不低于24分
D．丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24
【答案】AD
【分析】根据中位数，众数的定义判断A，结合中位数，平均数的定义举反例判断B，根据平均数和方差的定义，百分位数的定义，分析丙球员的得分判断CD.
【详解】设甲球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为，
则，，且至少出现次，
故，A正确；
设乙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为，
则，，
取，可得其满足条件，但有2场得分低于24，B错误；
设丙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为，
由已知，
所以，
若，则，
所以，矛盾，
所以，，
因为的平均数为，所以，
取，满足要求，但有一场得分低于24分，C错误；
因为，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数为，
若，则，故，矛盾，
所以，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24，D 正确；
故选：AD.
12．如图，矩形中，，边，的中点分别为，，直线BE交AC于点G，直线DF交AC于点H.现分别将，沿，折起，点在平面BFDE同侧，则（    ）

A．当平面平面BEDF时，平面BEDF
B．当平面平面CDF时，
C．当重合于点时，二面角的大小等于
D．当重合于点时，三棱锥与三棱锥外接球的公共圆的周长为
【答案】ACD
【分析】对于A，先利用三角形相似证得，再利用面面垂直的性质定理证得平面，从而得以判断；
对于B，先利用线面垂直推得平面AGH与平面CHG重合，再利用面面平行的性质定理证得，进而推得，从而利用线面平行的性质定理推得，由此得以判断；
对于C，由平面得到二面角为，进而由推得，据此判断即可；
对于D，先分析得三棱锥与三棱锥外接球的公共圆为的外接圆，再由勾股定理证得，从而求得公共圆的直径，由此得解.
【详解】对于A，在矩形中，，是的中点，
所以，，则，
又，所以，则，
所以，则，故，
当平面平面时，如图1，
又因为平面平面，平面，
所以平面，故A正确.
.
对于B，当平面平面CDF，如图1，
由选项A易知在矩形中，，则，
所以在中，，，
同理，则，，
又，，面，
所以面，同理平面CHG，
又因为，所以平面AGH与平面CHG重合，即四边形为平面四边形，
又平面平面CDF，平面平面，平面平面，
所以，又，所以四边形是平行四边形，则，
假设，则四边形为平面图形，
又平面，平面，所以平面，
又平面平面，平面，所以，
又，即，所以四边形是平行四边形，
所以，而，，显然矛盾，故B错误；
对于C，如图2，
由选项B易得平面，
又平面，所以，同理：，
所以二面角的平面角为，
在中，由选项B知，
所以是正三角形，故，即二面角的大小等于，故C正确；
.
对于D，如图2，三棱锥与三棱锥的公共面为面，
所以三棱锥与三棱锥外接球的公共圆为的外接圆，
易知，，，
所以，所以，即为直角三角形，
所以为的外接圆的直径，即，
所以所求公共圆的周长为，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：解答本题关键在于熟练掌握面面垂直的性质定理、线面平行与面面平行的性质定理，能够利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，严密推理；同时对于外接球的公共圆的突破口在于找到两个三棱锥的公共面，从而得解.

三、填空题
13．某校共有学生2000名，男生1200名，女生800名，现按比例分配样本进行分层抽样，从中抽取50名学生，则应抽取的女生人数是___________人
【答案】
【分析】根据分层抽样等比例的性质求应抽取的女生人数.
【详解】由题意，应抽取的女生人数是人.
故答案为：
14．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记第一次得到的点数为，第二次得到的点数为，则的概率为__________.
【答案】
【分析】根据题意求得基本事件的总数为种，再根据，求得所求事件的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】由题意，将一枚质地均匀的骰子连续抛郑两次.基本事件共种，
又由，可得，其所对应的基本事件有：，，，，，，，，，，共10种，
故所求概率.
故答案为：.
15．某同学为了测量天文台的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台A，A到地面的距离为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得阳台A，天文台顶的仰角分别是15°和60°，在阳台处测得天文台顶的仰角为30°，假设，和点在同一平面内，则该同学可测得学校天文台的高度为______.
  
【答案】30
【分析】由已知求出AM，在三角形ACM中，运用正弦定理可得CM，再解直角三角形CDM，计算可得天文台的高度.
【详解】在中，有，
在中，，，，
由正弦定理得，，
故，
在中，，
又，
则.
故答案为：30.
16．设锐角的三个内角..的对边分别为..，且，，则周长的取值范围为---
【答案】
【解析】由锐角三角形求得，由正弦定理可得，求出，关于的函数，根据余弦函数的性质，可求得范围．
【详解】∵为锐角三角形，且，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
由，
即，
∴，
令，则，
又∵函数在上单调递增，
∴函数值域为，

四、解答题
17．已知函数，集合，若分别从集合P，Q中随机抽取一个数a和b，构成数对．
(1)记事件A为“函数的单调递增区间为”，求事件A的概率；
(2)记事件B为“方程有4个根”，求事件B的概率．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）列举样本空间所有的样本点，依题意有，列举满足条件的样本点，根据古典概型概率公式计算；
（2）依题意有，列出所有符合条件的样本点，根据古典概型概率公式计算.
【详解】（1）由题知，所以，数对的可能取值为：
共16对．
若函数的单调递增区间为，则函数的对称轴为，即
所以，满足条件的基本事件有：，共4对，
所以，事件A的概率为
（2）因为，二次函数开口向上，
所以，方程有4个根，即为和各有2个根，
所以，二次函数的最小值小于．
所以，即，
满足条件的基本事件有：，共11对，
所以，事件B的概率．
18．从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：
等级
A
B
C
D
E
人数比例
15%
35%
35%
13%
2%
赋分区间





将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，表示考生的原始分，表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，计算结果四舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：
  
(1)求实数的值；
(2)按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间.
(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成线的原始分为90，试计算其等级分；
【答案】(1)0.005
(2)
(3)91分

【分析】（1）利用频率分布直方图列出关于实数的方程，解之即可求得实数的值；
（2）先利用频率分布直方图求得第百分位数对应的原始分，进而估计出此次考试化学成绩A等级的原始分区间；
（3）利用题给转换公式即可求得其等级分.
【详解】（1）由，可得
（2）由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间[90，100]的占比为5%，
位于区间[80，90]的占比为20%，
估计等级A的原始分区间的最低分为，
所以估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间为[85，98]
（3）由，解得，该学生的等级分为91分
19．的内角、、的对边分别为、、，已知，且的面积.
(1)求；
(2)若内一点满足，，求.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用三角形的面积公式以及余弦定理可求得的值，可求得角的值，由结合正弦定理求出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）设，可得出，，在、分别利用正弦定理可求得的值，结合的取值范围可求得角的值.
【详解】（1）解：由余弦定理得，
因为，所以，
因为，则，所以，所以，
因为，所以，
因为，所以.
（2）解：由（1）知，，所以，所以，
设，因为，所以，
因为，所以，

因为在中，由正弦定理
可得，
在中，，则，则，
由正弦定理，即，所以，，
因为，所以.

20．如图1，在直角三角形中，为直角，在上，且，作于，将沿直线折起到所处的位置，连接，如图2.

(1)若平面平面，求证:；
(2)若二面角为锐角，且二面角的正切值为，求的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】(1)由题意知，由面面垂直的性质定理可得平面，进而可得；
(2) 作所在的直线于点,由题意可得知，所以平面，即可得平面平面，作于点，连接，进而可得为二面角的平面角，设，则，设，则，进而可得，解得，再由，计算即可得答案.
【详解】（1）证明：由题意知，
又平面平面，平面平面平面，
所以平面.
又平面，
所以；
（2）解：由题意知，
平面平面
因而平面，
又平面，因而平面平面.
如图，作所在的直线于点，
又平面平面，平面，所以平面.

作于点，连接，
则为二面角的平面角，
设，则，
在中，，
所以，
设，则，
因而，
在直角三角形中，，即，
解得或（舍去），此时，
从而.
21．已知如图1直角梯形ABCD，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝4，AD＝CD＝2，E为AB的中点，沿EC将梯形ABCD折起（如图2），使平面BED⊥平面AECD．
  
(1)证明：BE⊥平面AECD；
(2)在线段CD上是否存在点F，使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为，若存在，求出点F的位置：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，F为CD中点

【分析】（1）在直角梯形中证明为正方形，在几何体中连接，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定推理作答；
（2）建立空间直角坐标系，设 ，根据向量法求出二面角的余弦即可得解.
【详解】（1）在直角梯形中，，E为AB的中点，即，，
四边形为平行四边形，
而，，则为正方形，
连接，如图，

则，
因为平面平面，平面平面，平面，
于是得平面，
而平面，则有，
又，，平面，
所以平面.
（2）由（1）得BE⊥平面AECD，所以BE⊥AE，
所以EA，EB，EC两两垂直，
分别以，，方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
如图所示，

则，设，
所以，，
设平面FAB的法向量为，
则，
取x＝2，得，
取平面EBC的法向量为，
因为，
所以a＝1或（舍去），
故线段CD上存在点F，且F为CD中点时，使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为．
22．某公园有一块长方形空地ABCD，如图，，．为迎接“五一”观光游，在边界BC上选择中点E，分别在边界AB、CD上取M、N两点，现将三角形地块MEN修建为花圃，并修建观赏小径EM，EN，MN，且．

(1)当时，求花圃的面积；
(2)求观赏小径EM与EN长度和的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由题可得，，后由锐角三角函数知识可得EM，EN，即可得花圃的面积；
（2）设，则，则可将化为，又令，可得，后由范围及函数单调性可得答案.
【详解】（1）由题可得，.
则.
故；
（2）设，则，
结合题意可知，则.
又，
则，
令，则
，所以，
又，所以，因在上单调递增，在上单调递减，，
则.因为函数均在上单调递增，则函数在上单调递增，所以.
所以，即观赏小径EM与EN长度和的取值范围为．