2023年云南省曲靖市中考数学二模试卷（含解析）

2023年云南省曲靖市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  第十四届全国人大一次会议年月日月日在北京召开，会议出席代表人，数字用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.  

3.  函数中自变量 的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，已知，，，则 (    )
 

A.  B.  C.  D.

5.  如图，，是边，边上的两点，且，若，则与的周长之比为(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  若一组数据，，，，的众数为，则这组数据的中位数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，内接于， 是的直径，，于点 ，交于点 ，连接 ，则的度数是(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  按一定规律排列的单项式：，，，，，则第 个单项式是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  下列几何体中，主视图内角和与外角和不相等的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  我国民间流传着许多趣味算题，他们多以顺口溜的形式表达，其中孙子算经中记载了这样一个数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少二梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有个老头，个梨，则可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知点和点关于 轴对称，则下列各点不在反比例函数的图象上的点是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  当满足时，方程的根是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  若零上记作，则零下记作          
 

14.  分解因式：          ．

15.  一个扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的面积为          ．

16.  如图，在▱中，，，，则▱的面积等于          ．
 

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  计算：
 

四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分

如图，已知，，求证：．

19.  本小题分

为迎接初三毕业生中考体育测试，某学校随机抽查了部分初三学生寒假期间参加体育锻炼活动的天数，并将收集的数据绘制了两幅统计图，下给出了两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，回答下列问题：

本次抽样调查的样本容量为_______________，并补全条形统计图．

如果该校初三有名学生，请你估计全校有多少名学生参加体育锻炼的天数不少于天？

20.  本小题分

“双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，某中学开展了丰富多彩的课后服务活动，设置了：“体育活动，劳动技能，经典阅读，科普活动”四大板块课程，若该校萍萍和强强随机选择一个板块课程．

求萍萍选“体育活动”课程的概率；

用画树状图或列表的方法，求萍萍和强强选不同板块课程的概率．

21.  本小题分

如图，是以 为底的等腰三角形， 是的角平分线，点、分别是， 的中点．

求证：四边形 是菱形；

若的两边长为和，求 的长．

22.  本小题分

某商人用元购进甲、乙两种商品，其中用的费用购进甲种商品，剩余费用全部用于购进乙种商品，此时两种商品购进的数量相等．若甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价多元．

求甲、乙两种商品每件的进价．

若该商人计划购进甲、乙两种商品共件，其中购进甲种商品件，且甲种商品的数量至少比乙种商品的数量多件，又不超过乙种商品的数量的倍，如何购进，才能使总费用最少？并求出最少费用．

23.  本小题分

如图，抛物线与 轴交于， 两点，对称轴为，直线 的解析式为．

当直线 与抛物线有且只有一个交点时，求 的值；

若直线 经过抛物线的顶点 时， 与 轴交于点 ，把抛物线沿线段 方向向右下平移，使抛物线的顶点移动到点 处，在平移过程中，设抛物线上， 两点之间这一段曲线扫过的面积为 ，求 的值．

24.  本小题分

如图，是边长为的正方形的一条对角线，点为线段上一个动点点不与点、重合，连接交于点，作的外接圆，交 于点 ，交 于点 ．

如图，当 的外接圆与 相切于点 时，求的半径和 的长；

如图，点 在线段 上运动的过程中，是否为定值，若为定值请求出此定值，若不为定值，请说明理由。

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】根据科学记数法的表示  ，  即可得出结果；

【详解】  ；

故选B．

2.【答案】 

【解析】

【分析】根据平方差公式、合并同类项法则、积的乘方法则、同底数幂的乘法法则，逐项计算即可得出答案．

【详解】解：  ，故A选项计算正确，符合题意；

 ，故B选项计算错误，不合题意；

 ，故C选项计算错误，不合题意；

 ，故D选项计算错误，不合题意；

故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】根据被开方数大于等于列式计算即可得解．

【详解】解：由题意得，  ，

解得  ．

故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】根据  可得  ，根据  可得  ．

【详解】解：如图，

  ，

  ，

  ，

  ，

故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】由平行易证  ，由面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比求解．

【详解】 

  ，

  与  周长之比为  ，

故选B．

6.【答案】 

【解析】

【分析】根据众数和中位数的概念求解．

【详解】解：这组数据的众数为，

，

则这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，

中位数为：．

故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】根据圆周角定理和  得到  ，即可得解．

【详解】  是  的直径，

  ，

  ，

  ，

根据圆周角定理可得： ．

8.【答案】 

【解析】

【分析】根据题意得：第个单项式为  ，第个单项式为  ，第个单项式为  ，第个单项式为  ，，由此发现规律，即可求解．

【详解】解：根据题意得：第个单项式为  ，

第个单项式为  ，

第个单项式为  ，

第个单项式为  ，

，

由此得到第个单项式为  ．

故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】先判断出对应几何体的主视图，再根据多边形的内角和公式和多边形的外角和等于求解即可．

【详解】解：、圆锥的主视图为三角形，其内角和为，外角和为，符合题意；

B、圆台的主视图为四边形，其内角和为外角和都为，不符合题意；

C、圆柱的主视图为长方形，其内角和为外角和都为，不符合题意；

D、正方体的主视图是正方形，其内角和为外角和都为，不符合题意；

故选A．

10.【答案】 

【解析】

【分析】根据题意列出二元一次方程组，即可作答．

【详解】解：根据题意有：  ，

故选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】根据关于  轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出  进而得到反比例函数解析式为  ，则在反比例函数图象上的点一定满足横纵坐标的乘积为  ，据此求解即可．

【详解】解：点  和点  关于  轴对称，

  ，

反比例函数解析式为  ，

在反比例函数图象上的点一定满足横纵坐标的乘积为  ，

四个选项中只有选项符合题意，故选C．

12.【答案】 

【解析】

【分析】先利用配方法求出方程的根，再求出一元一次不等式组的解集，由此即可得．

【详解】解：  ，

 ，

 ，

 ，

 ，

 ，

解不等式得：  ，

解不等式得：  ，

则不等式组的解集为  ，

所以方程  的根是  ，

故选：．

13.【答案】 

【解析】

【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，据此求解即可．

【详解】解：若零上  记作  ，则零下  记作  ，

故答案为：  ．

14.【答案】 

【解析】

【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式进行分解即可．

【详解】解：  ．

故答案为  ．

15.【答案】 

【解析】

【分析】根据利用弧长公式求出半径，再根据扇形的面积公式：  计算即可

【详解】解：设扇形的半径为，

由题意：   ，

解得  ．

故答案为：  ．

16.【答案】 

【解析】

【分析】根据  角所对直角边是斜边的一半求出  ，根据勾股定理求出  ，计算出  的面积，即可得解；

【详解】  ，  ，  ，

  ，

  ，

  ，

  ；

故答案是：  ．

17.【答案】原式 

 ．

【解析】先算乘方，绝对值，负整数指数幂以及特殊角三角函数值，再算加减，即可求解．
 

18.【答案】证明：  ，

  ，

在  与  中，

 ，

  ．

【解析】

【分析】先根据平行线的性质得到  ，再利用  即可证明  ．  

19.【答案】解： 名，

本次抽样调查的样本容量为，

参加锻炼天的人数为  名，

补全统计图如下：

 名

答：估计全校有名学生参加体育锻炼的天数不少于天．

【解析】用锻炼天数为天和天以上的人数除以其人数占比即可求出样本容量，进而求出锻炼天数为天的人数，从而补全统计图即可；

用乘样本中参加体育锻炼的天数不少于天的人数占比即可得到答案．

20.【答案】解：共有四大板块课程，该校萍萍和强强随机选择一个板块课程，

则萍萍选“体育活动”课程的概率 

答：萍萍选“体育活动”课程的概率为  ．

根据题意可列表格如下：

由以上表格可知：共有  种等可能结果，其中萍萍和强强选不同板块课程的结果共有  种，

所以  萍萍和强强选不同板块课程 

答：萍萍和强强选不同板块课程的概率为  ．

【解析】根据概率公式进行计算即可求解；

根据列表法求概率即可求解．

21.【答案】证明：  是以  为底的等腰三角形，

  ，

  是  的角平分线，

为  中点，

为  中点，

  是  的中位线，

  ，  ，

同理  ， 

  ，

  ， 

四边形  为平行四边形，

  ，

四边形  为菱形；

【小问详解】

解：  ，  为  的角平分线，

  ，

当  时，  ，

在  中，  ，

当  时，  ，

在  中， 

综上，  的值为  或  ．

【解析】

【分析】由三线合一定理得到为  中点，进而证明  是  的中位线，则  ，  ，同理  ，  ，由此即可证明四边形  为菱形；

分当  时，当  时，两种情况先求出  的长，再利用勾股定理求出  的长即可．

22.【答案】解：设甲种商品每件进价为元，则乙种商品每件进价为  元，

根据题意得 

解得  ，

经检验，  是原分式方程的解，

乙种商品的进价为  元

答：甲种商品每件进价为元，则乙种商品每件进价为元．

解：设购进商品的总费用为元，

由题意得：  ，

由题意可得 

解得  ，

  ，

随的增大而增大，

为整数，

当  时，取得最小值，最小为  ，

答：购进甲种商品件时总费用最少，最少费用是元．

【解析】

【分析】设甲种商品每件进价为元，则乙种商品每件进价为  元，然后根据两种商品购进的数量相等列出方程求解即可；

设购进商品的总费用为元，列出关于的一次函数关系式，再根据题意求出的取值范围，最后利用一次函数的性质求解即可．

23.【答案】解：由抛物线对称轴为  可得 

所以抛物线的解析式为  联立抛物线与直线  的解析式 

得 

因直线  与抛物线有且只有一个交点，所以该方程根的判别式为，即 

解得 

解：由  

顶点坐标为  ，

令  ，即  ，

解得： 

抛物线与  轴交点为 

把  代入直线  得 

所以直线  ，进而得 

设点  平移后的对应点为点  ，连接，，  ，由平移性质可知四边形  为平行四边形

连接  ， 

所以 

所以  

【解析】由抛物线对称轴为  可得  ，联立  ，因直线  与抛物线有且只有一个交点，所以该方程根的判别式为，即  ，即可求解；

可求得抛物线  的顶点坐标为  ，与  轴交点为  ，把  代入直线  得  ，设点  平移后的对应点为点  ，连接，， ，由平移性质可知四边形  为平行四边形，连接  ，  则问题解决。

24.【答案】解：连接  ，延长  交  于点，如图，

  为  的切线，

  ，

四边形  为正方形，

  ，  ，  ，

  ，  ，

  ，设  的半径为，

在  中，  ，即  ，

解得  ，

  ，

为  中点，

  为  的中位线，

  ，

  ，

  ，

在  中，  ，

  ．

 ，理由如下：

连接  ，  ，如图，

  为  的直径，

  ，

 ， ，

四边形  与四边形  都为矩形，

  ，  ，

  ，

  ，

  ，

  ，

在  中，  ，  ，

  ．

【解析】

【分析】连接  ，延长  交  于点，先证明  ，设  的半径为，在  中，  ，解得  ，证明  为  的中位线，即有  ，再证明  ，可得  ，问题随之得解；

连接  ，  ，先证明四边形  与四边形  都为矩形，即有  ，  ，可得  ，在  中，  ，  ，问题随之得解．