2023年甘肃省兰州市中考数学二诊试卷（含解析）

这是一份2023年甘肃省兰州市中考数学二诊试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年甘肃省兰州市中考数学二诊试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −12的绝对值是(    )
A. −12 B. 12 C. −2 D. 2
2. 如图是由若干个小正方体堆成的几何体的主视图(正视图)，这个几何体是(    )


A. B. C. D.
3. 不等式x+1≥0的解集在数轴上表示正确的是(    )
A. B.
C. D.
4. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，已知点C的横坐标为1，点F的横坐标为3，点B的坐标为(3,1)，则点E的坐标是(    )


A. (9,3) B. (6,2) C. (6,3) D. (9,2)
5. 下列分式中，是最简分式的是(    )
A. x−yx2+y2 B. m−11−m C. x−yx2−2xy+y2 D. 2a4b
6. 已知一次函数y=ax−4(a≠0)，y随x的增大而增大，则a的值可以是(    )
A. −2 B. −(−1) C. 0 D. −|−3|
7. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功.某航模店购进了“神舟”和“天宫”两款航空模型.已知每个“神舟”模型比“天宫”模型的进价多10元，且同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个.设“天宫”模型进价为每个x元，则下列方程正确的是(    )

A. 100x+5=100x+10 B. 100x+10=100x+5
C. 100x=100x+5+10 D. 100x=100x+10+5
8. 古希腊数学家埃拉托色尼是第一个测算地球周长的人，他在当时的城市塞恩(图中的点A)竖立的杆子在某个时刻没有影子，而此时在500英里以外的亚历山大(图中的点B)竖立杆子的影子却偏离垂直方向约7°(∠α≈7°)，由此他得出∠α=∠β，那么∠β的度数也就是360°的150，所以从亚历山大到塞恩的距离也就等于地球周长的150.其中“∠α=∠β”所依据的数学定理是(    )


A. 两直线平行，内错角相等 B. 两直线平行，同位角相等
C. 两直线平行，同旁内角互补 D. 内错角相等，两直线平行
9. 如图，从一块半径为8cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角是60°的扇形ABC，则扇形ABC中弧BC的长为cm(    )
A. 4π3
B. 8π3
C. 4 3π3
D. 8 3π3
10. 在单词statistics(统计学)中任意选择一个字母，字母为“s”的概率是(    )
A. 110 B. 15 C. 310 D. 25
11. 为得到二次函数y=−x2的图象，需将y=−x2+2x−2的图象(    )
A. 向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移2个单位
C. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位
12. 如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为(    )
A. 4
B. 4 2
C. 2 5
D. 5
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 分解因式：ab2−9a=______．
14. 如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白塔山公园的坐标是(2,2)，中山桥的坐标是(3,0)，那么黄河母亲像的坐标是______．

15. 如图，在6×6正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则sin∠BAC的值是        ．


16. 如图．某大学学子餐厅把WIFI密码做成了数学题，小亮就餐时顺利地连接到了网络，那么他输入的密码是______．

三、解答题（本大题共12小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
化简：(2x−3)(2x+3)−(2x−1)2．
18. (本小题4.0分)
计算： 12− 2×( 8−3 12)．
19. (本小题4.0分)
课堂上，某老师给出一道数学题：如图1所示，D点在AB上，E点在AC的延长线上，且BD=CE，连接DE交BC于F，若F点是DE的中点，证明：AB=AC．
小明的思路是：过D作DG//AE，交BC于点G，如图2；
小丽的思路是过E作EH//AB，交BC的延长线于点H，如图3．
请根据小明或小丽的思路任选一种完成该题的证明过程．


20. (本小题6.0分)
先阅读下列材料，再解答问题．
尺规作图：
已知：△ABC，D是边AB上一点，如图1．
求作：四边形DBCF，使得四边形DBCF是平行四边形．
小明的做法如下：

(1)设计方案
先画一个符合题意的草图，如图2，再分析实现目标的具体方法．
(2)设计作图步骤，完成作图．
作法：如图3，
①以点C为圆心、BD为半径画弧；
②再以点D为圆心、BC为半径画弧，两弧交于点F；
③连接DF与CF．
∴四边形DBCF即为所求．
请在图3中完成尺规作图，保留作图痕迹
(3)推理论证
证明：∵ ______ ，______
∴四边形DBCF是平行四边形.(______ )(填推理依据)

21. (本小题6.0分)
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE//AC，CE//BD．

(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若∠BAC=30°，AC=8，求菱形OCED的面积．
22. (本小题6.0分)
九年级一班邀请A、B、C、D、E五位评委对甲、乙两位同学的才艺表演打分，并组织全班50名同学对两人民意测评投票，绘制了如下的统计表和不完整的条形统计图：
五位评委的打分表

A
B
C
D
E
甲
89
91
93
94
86
乙
88
87
90
98
92
并求得了五位评委对甲同学才艺表演所打分数的平均分和中位数：
x甲−=89+91+93+94+865=90.6(分)；中位数是91分．
(1)求五位评委对乙同学才艺表演所打分数的平均分和中位数；
(2)a= ______ ，并补全条形统计图：
(3)为了从甲、乙二人中只选拔出一人去参加艺术节演出，班级制定了如下的选拔规则：
选拔规则：选拔综合分最高的同学参加艺术节演出，其中，
综合分=才艺分×k+测评分×(1−k)；(0.40，
因为−20，
所以B符合题意；
因为a≠0，
所以C不符合题意，
因为−|−3|=−30，分别判断各选项中实数的符号即可确定答案．
本题考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．

7.【答案】D 
【解析】解：根据题意，设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型的价格为(x+10)元，
∴花费100元购进“天宫”模型的数量是100x，购进“神舟”模型的数量是100x+10，
∵“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个
∴100x=100x+10+5，
故选：D．
每个“神舟”模型比“天宫”模型的进价多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．设“天宫”模型进价为每个x元，根据数量关系列方程即可．
本题主要考查分式方程在实际问题中的运用，理解题目中的数量关系，正确列出方程是解题的关键．

8.【答案】A 
【解析】解：由题意可知，“∠α=∠β”所依据的数学定理是两直线平行，内错角相等．
故选：A．
根据平行投影的定义以及平行线的性质解答即可．
本题主要考查了平行线的性质以及平行投影，掌握平行线的性质是解答本题的关键．

9.【答案】D 
【解析】解：作OD⊥AB于D，如图，则AD=BD，
∵∠OAD=12∠BAC=30°，
∴OD=12OA=4cm，
∴AD= OA2−OD2= 82−42=4 3(cm)，
∴AB=2AD=8 3cm，
∴弧BC的长=60⋅π×8 3180，
故选：D．
作OD⊥AB于D，如图，则AD=BD，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AB=2AD=8 3，然后根据弧长公式求得答案即可．
本题主要考查了弧长公式，垂径定理，勾股定理，含30度直角三角形的性质，根据垂径定理，勾股定理，含30度直角三角形的性质求出AB的长是解决问题的关键．

10.【答案】C 
【解析】解：在单词statistics(统计学)中任意选择一个字母一共有10种可能性，其中字母为“s”的可能性有3种，
∴任意选择一个字母，字母为“s”的概率是310，
故选：C．
根据题意，可以写出任意选择一个字母的所有可能性和选择的字母是s的可能性，从而可以求出相应的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．

11.【答案】C 
【解析】解：y=−x2+2x−2可化为y=−(x−1)2−1，则其顶点坐标是(1,−1)．
需将y=−x2+2x−2向左平移1个单位，再向上平移1个单位．
故选：C．
根据配方法，可得顶点式解析式，根据右移减，上移加，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，图象左移加，右移减，上移加，下移减．

12.【答案】D 
【解析】解：连接BN，连接BM交AC于N′，连接DN′，

∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于直线AC对称，
∴DN=BN，
∴DN+MN=BN+MN，
∴当B、N、M共线时，即N与N′重合时，DN+MN有最小值，BM的长即为DN+MN的最小值，
∵CD=4，DM=1，
∴CM=CD−DM=4−1=3，
在Rt△BCM中，BM= CM2+BC2= 32+42=5，
故DN+MN的最小值是5．
故选：D．
由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．
本题考查的是轴对称−最短路线问题及正方形的性质，先作出D关于直线AC的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D的对称点是点B是解答此题的关键．

13.【答案】a(b+3)(b−3) 
【解析】本题考查了因式分解．
先提公因式a，然后再利用平方差公式，可得答案．
解：原式=a(b2−9)
=a(b+3)(b−3)．

14.【答案】(−4,1) 
【解析】
解：如图，根据白塔山公园的坐标是(2,2)，中山桥的坐标是(3,0)画出直角坐标系，
∴黄河母亲像的坐标是(−4,1)．
故答案为：(−4,1)．
根据白塔山公园的坐标是(2,2)，中山桥的坐标是(3,0)画出直角坐标系，然后根据点的坐标的表示方法写出黄河母亲像的坐标；
本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征．

15.【答案】 55 
【解析】解：延长BO交⊙O于点D，连接CD，
在Rt△BCD中，sin∠BDC=BCCD=22 5= 55，
由圆周角定理得：∠BAC=∠BDC，
∴sin∠BAC= 55，
故答案为： 55．
延长BO交⊙O于点D，连接CD，根据正切的定义求出sinD，根据圆周角定理得到∠A=∠D，得到答案．
本题考查的是三角形的外接圆与外心、正切的定义、圆周角定理，正确作出辅助性是解题的关键．

16.【答案】143549 
【解析】解：原式=7×2×10000+7×5×100+7×(2+5)
=140000+3500+7×7
=140000+3500+49
=143549．
故答案为：143549．
根据题中wif密码规律确定出所求即可．
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

17.【答案】解：(2x−3)(2x+3)−(2x−1)2
=(4x2−9)−(4x2−4x+1)
=4x2−9−4x2+4x−1
=4x−10． 
【解析】先利用平方差公式与完全平方公式分别计算乘法与乘方，再去括号、合并同类项即可．
本题考查了整式的混合运算，熟记运算法则与乘法公式是解题的关键．

18.【答案】解：原式=2 3− 2× 8+ 2×3 12
=2 3−4+3
=2 3−1． 
【解析】先用乘法分配律，再化为最简二次根式，最后合并同类二次根式．
本题考查二次根式的综合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．

19.【答案】证明：图2，∵DG//AE，
∴∠DGF=∠ECF，∠GDF=∠E，
∵F点是DE的中点，
∴DF=EF，
∵在△DFG和△EFC中
∠DGF=∠ECF∠GDF=∠EDF=EF
∴△DFG≌△EFC(AAS)，
∴DG=CE，
∵BD=CE，
∴BD=DG，
∴∠B=∠DGB，
∵DG//AE，
∴∠DGB=∠ACB，
∴∠B=∠ACB，
∴AB=AC；
图3，∵EH//AB，
∴∠B=∠H，
在△BDF和△HEF中
∠DFB=∠EFH∠B=∠HDF=EF
∴△BDF≌△HEF(AAS)，
∴EH=BD，
∵BD=CE，
∴CE=EH，
∴∠H=∠HCE，
∵∠H=∠B，∠HCE=∠ACB，
∴∠B=∠ACB，
∴AB=AC． 
【解析】图2，根据平行线求出∠DGF=∠ECF，∠GDF=∠E，根据AAS推出△DFG≌△EFC，根据全等三角形的性质得出DG=CE，求出BD=DG，求出∠B=∠ACB即可；
图3，根据平行线的性质得出∠B=∠H，根据AAS推出△BDF≌△HEF，根据全等三角形的性质得出EH=BD，求出∠B=∠ACB即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等．

20.【答案】CF=BD  DF=BC  两组对边分别相等的四边形为平行四边形 
【解析】证明：如图3，

∵CF=BD，DF=BC，
∴四边形DBCF是平行四边形．(两组对边分别相等的四边形为平行四边形)．
故答案为CF=BD，DF=BC；两组对边分别相等的四边形为平行四边形．
利用几何语言画出对应的几何图形，然后根据平行四边形的判定方法可证明四边形DBCF是平行四边形．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定．

21.【答案】解：(1)证明：∵CE//OD，DE//OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OC=12AC，OD=12BD，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形；
(2)在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AC=8，
∴BC=4，
∴AB=DC=4 3，
连接OE，交CD于点F，

∵四边形OCED为菱形，
∴F为CD中点，
∵O为BD中点，
∴OF=12BC=2，
∴OE=2OF=4，
∴S菱形OCED=12×OE×CD=12×4×4 3=8 3． 
【解析】本题考查了矩形的性质和菱形的性质和判定的应用．
(1)根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求出OC=OD，根据菱形的判定得出即可；
(2)解直角三角形求出BC=4，AB=DC=4 3，连接OE，交CD于点F，根据菱形的性质得出F为CD中点，求出OF=12BC=2，求出OE=2OF=4，求出菱形的面积即可．

22.【答案】8 
【解析】解：(1)x−乙=88+87+90+98+925=91(分)；
中位数是90分．
(2)a=50−40−2=8，
如图1即为所求；
(3)①甲的才艺分=89+91+933=91(分)，
甲的测评分=40×2+8×1+2×0=88(分)，
甲的综合分=91×0.6+88×(1−0.6)=89.8(分)，
乙的才艺分=88+90+923=90(分)，
乙的测评分=42×2+5×1+2×0=89(分)，
乙的综合分=90×0.6+89×(1−0.6)=89.6(分)，
∵甲的综合分>乙的综合分，
∴应选拔甲同学去参加艺术节演出．
②甲的综合分=91k+(40×2+8×1+2×0)×(1−k)=3k+88，
乙的综合分=90k+(42×2+5×1+2×0)×(1−k)=k+89，
若从甲、乙二人中只选拔出一人去参加演出，
则 3k+88≠k+89，
∴k≠0.5．
(1)利用中位数及平均数的定义分别求解即可；
(2)用样本个数减去其他小组的频数即可求得a值，从而补全统计图；
(3)分别根据打分要求确定两人的成绩，然后即可确定参选人员．
本题考查了中位数、加权平均数及条形统计图的知识，解题的关键是能够读懂题意，并能正确的识图，难度不大．

23.【答案】5.5 
【解析】解：任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是(5.4+5.6)÷2=11÷2=5.5(m)；
故答案为：5.5；
任务二：由题意可得，四边形ACDB，四边形ACEH都是矩形，
∴EH=AC=1.5m，CD=AB=5.5m，
设EG=x m，
在Rt△DEG中，∠DEG=90°，∠GDE=31°，
∵tan31°=EGDE，
∴DE=xtan31∘，
在Rt△CEG中，∠CEG=90°，∠GCE=25.7°，
∵tan25.7°=EGCE，
∴CE=xtan25.7∘，
∵CD=CE−DE，
∴xtan25.7∘−xtan31∘=5.5，
∴x=13.2，
∴GH=GE+EH=13.2+1.5=14.7(m)，
答：旗杆GH的高度为14.7m．
任务一：根据两次测量结果直接求平均值就可以得到答案；
任务二：设EC=x m，解直角三角形即可得到结论．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

24.【答案】解：素材：以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：

设抛物线解析式为y=a(x−2)2+0.45，把A(0,0.25)代入得：0.25=a(0−2)2+0.45，
解得：a=−120，
∴抛物线的表达式为y=−120(x−2)2+0.45．
令y=0，得0=−120(x−2)2+0.45，
解得：x1=5，x2=−1，
∴B(5,0)，
∴OB=5，
∴喷灌器OA与围墙的距离为5m；
任务：如图所示：

∴CD=0.4m，BC=0.8m，
∴D(4.2,0.4)，E(5,0.8)，
设y=−120(x−2)2+k，把D(4.2,0.4)代入得0.4=−120(4.2−2)2+k，
解得：k=0.642，
当x=0时，y=−120(x−2)2+0.642，
∴OAmin=0.442m，
设y=−120(x−2)2+k′，把E(5,0.4)代入得，0.4=−120(5−2)2+k，
解得：k′=0.85，
∴y=−120(x−2)2+0.85，
当x=0时，y=−120(0−2)2+0.85=0.65，
∴OAmax=0.65m，
∴0.442m≤OA≤0.65m，即喷水口距离地面高度的最小值为0.442m． 
【解析】素材：先建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的函数表达式；令y=0，求得方程的解，根据问题的实际意义做出取舍即可；
任务：由题意可得：D(4.6,0.8)，E(5,0.8)，分别代入，求得k的最小值和最大值，再令x=0，即可分别求得OA的最小值和最大值．
本题主要考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，理清题中的数量关系并结合实际分析是解题的关键．

25.【答案】解：(1)∵A的坐标为(−4,0)，代入直线y=ax+2，
∴0=−4a+2，
解得：a=12，
∴y=12x+2，
∵PC=4，即点P的纵坐标为4，
则4=12x+2，
解得：x=4，
即P(4,4)，
将P(4,4)代入y=kx(x>0)，
∴4=k4，
解得：k=16，
∴y=16x；

(2)当△ABO∽△CQH时，
∴AOBO=CHHQ=2，
设HQ为x，则CH=2x，
∴Q(4+2x,x)代入反比例解析式得：x=164+2x，
解得：x=−4或2，
∵x>0，
∴x=2，
∴Q(8,2)． 
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)当△ABO∽△CQH时，则AOBO=CHHQ=2，设HQ为x，则CH=2x，则Q(4+2x,x)代入反比例解析式得：x=164+2x，进而求解．
本题考查的是反比例函数综合题，涉及到一次函数和反比例函数的基本性质、三角形相似的性质等，有一定的综合性，难度适中．

26.【答案】(1)证明：连接OD，AD，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴点D是BC的中点，
∵点O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD//AC，
∴∠ODF+∠AFD=180°．
∵∠AFD=90°，
∴∠ODF=90°，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的半径；
(2)解：连接DE，

∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠AED=180°，
∵∠DEC+∠AED=180°，
∴∠DEC=∠B．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠DEC=∠C，
∴DE=CD，
∵DF⊥AC，
∴EF=CF=1，
∴AC=AE+EF+CF=5，
∴AB=5，
∴⊙O的半径是52． 
【解析】(1)由AB=AC，得∠B=∠C，即可得∠C=∠ODB，故OD//AC，而DF⊥AC，有DF⊥OD，即知DF为⊙O的切线；
(2)连接DE，AD，由∠DEF=∠ABC，可得∠DEC=∠C，DE=DC，而DF⊥EF，故DF是△DEC的中线，可得EF=FC=1，AF=4，AC=AF+CF=5，即得AB=5，⊙O的半径为2.5．
本题考查圆的综合应用，涉及圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形的相似和判定，切线的判定，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

27.【答案】解：(1)6；
(2)①y=5x；②02+ 3，
当点E在线段AB的延长线上时，

∵将△ABF沿AB翻折得到△ABP，
∴∠ABF=∠ABP=120°，
∵点Q为AP的中点，点N是AB的中点，
∴NQ//BP，
∴∠ANQ=∠ABP=60°，
∴点Q在过AB的中点N，且与AB成120°(∠ANQ=120°)的直线NQ上移动，
∴当CQ⊥NQ时，CQ有最小值，
同理可求CQ=2− 3，
综上所述：CQ的最小值为2− 3． 
【解析】(1)由等边三角形的性质和锐角三角函数可求AE的长，即可求解；
(2)由“ASA”可证△ABG≌△CBE，可得BE=BG，∠G=∠BEC，可证BF=BE=BG，由等腰三角形的性质和平角的性质可得∠HFE=∠HEF=45°，由等腰直角三角形的性质可得EF= 2FH，可得结论；
(3)分两种情况讨论，先求出点Q的轨迹，则当CQ⊥NQ时，CQ有最小值，由直角三角形的性质可求解．
本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．