2023年四川省成都市崇州市重点中学高考数学适应性试卷（理科）-普通用卷

2023年四川省成都市崇州市重点中学高考数学适应性试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设全集，集合满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，且，其中，为实数，则(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3.  已知向量，满足，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在区间与中各随机取个数，则两数之和大于的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  设为抛物线：的焦点，点在上，点，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知等比数列的前项和为，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  将名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶个项目进行培训，每名志愿者只分配到个项目，每个项目至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

11.  若直线与曲线和圆都相切，则的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知双曲线：的一条渐近线为，则的焦距为          ．

14.  过四点，，，中的三点的一个圆的方程为______．

15.  记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则           ．

16.  已知和分别是函数且的极小值点和极大值点．若，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
某超市计划销售某种食品，现邀请甲乙两个商家进场试销天两个商家向超市提供的日返利方案如下：甲商家每天固定返利元，且每卖出一件食品商家再返利元；乙商家无固定返利，卖出不超出件含件的食品，每件食品商家返利元超出件的部分每件返利元经统计，试销这天两个商家每天的销量如下茎叶图：

现从甲商家试销的天中随机抽取两天，求这两天的销售量都小于件的概率
根据试销天的数据，将频率视作概率，用样本估计总体，回答以下问题：
记商家乙的日返利额为单位：元，求的分布列和数学期望；
超市拟在甲乙两个商家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的数学期望考虑，请利用所学的统计学知识为超市作出选择，并说明理由

18.  本小题分
如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为的等边三角形，，．

证明：平面平面；
求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

19.  本小题分
设函数的图象关于直线对称，其中为常数且．
求函数的解析式；
在中，已知，且，求的值．

20.  本小题分
椭圆的中心在原点，一个焦点为，且过点．
求的标准方程；
设，斜率为的直线交椭圆于，两点且；
若，求的值；
求的面积的最大值．

21.  本小题分
已知函数，其中．
若，求的单调区间；
已知，解关于的不等式参考数据：
 

22.  本小题分
平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，直线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
求曲线的极坐标方程；
若直线与曲线交于，两点，求的值．

23.  本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求不等式的解集；
Ⅱ若，，使得，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为全集，，
所以，
所以，，，．
故选：．
根据补集的定义写出集合，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了复数与共轭复数以及复数相等的应用问题，是基础题．
根据复数与共轭复数的定义，利用复数相等列方程求出、的值．

【解答】
解：因为，且，
所以，
所以，
解得，．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：因为向量，满足，，，
所以，
两边平方得，
，
解得，
故选：．
利用，结合数量积的性质计算可得结果．
本题考查了平面向量数量积的运算和性质，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
先分别判断命题和命题的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断，即可得到答案．
【解答】
解：对于命题：，，
当时，，故命题为真命题，为假命题；
对于命题：，，
因为，又函数为单调递增函数，故，
故命题为真命题，为假命题，
所以为真命题，为假命题，为假命题，为假命题，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：由题意可得可行域：，可得三角形的面积，
．
故选：．
由题意可得可行域：，可得三角形的面积，结合几何概型即可得出结论．
本题考查了线性规划知识、三角形的面积、几何概型、对立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：为抛物线：的焦点，点在上，点，，
由抛物线的定义可知不妨在第一象限，所以．
故选：．
利用已知条件，结合抛物线的定义，求解的坐标，然后求解即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，距离公式的应用，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：等比数列的前项和为，，
，且，
解得，
则．
故选：．
利用等比数列前项和公式和通项公式列方程组，求出首项和公比，由此能求出结果．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力．
由，得是直线与所成的角或所成角的补角，由此利用余弦定理，求出直线与所成的角．

【解答】

解：，
是直线与所成的角或所成角的补角，

设正方体的棱长为，
则，，，
，
，
直线与所成的角为．
故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的图像变换规律，属基础题．
由题意利用函数的图像变换规律，得出结论．

【解答】

解：把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，
把函数的图像，向左平移个单位长度，
得到的图像；
再把图像上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，
可得的图像．
故选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查排列组合的应用，利用先分组后排列的方法是解决本题的关键，是基础题．
人先选人一组，然后组全排列即可．

【解答】

解：名志愿者选个组，有种方法，然后组进行全排列，有种，
共有种．
故选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
根据直线与圆相切，利用选项到圆心的距离等于半径，在将直线与曲线求一解可得答案．
【解答】
解：直线与圆相切，那么直线到圆心的距离等于半径，
四个选项中，只有，满足题意；
对于选项：与联立可得：，此时：无解；
对于选项：与联立可得：，此时解得；
直线与曲线和圆都相切，方程为，
故选：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题重点考查椭圆的性质，属于一般题．
设，求得，利用正弦函数的性质求得，进而可求离心率的范围．

【解答】

解：设
由题意，得，则

当不等式成立；
当
，
而，，
，
又
故椭圆离心率的取值范围是
故选：．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线方程的分析，属于基础题．
根据题意，由双曲线的性质可得，解可得的值，即可得双曲线的标准方程，据此计算的值，即可得答案．

【解答】

解：根据题意，双曲线：的一条渐近线为，
则有，解可得，
则双曲线的方程为，则，
其焦距；
故答案为：．

14.【答案】或或或 

【解析】解：设过点，，的圆的方程为，
即，解得，，，
所以过点，，圆的方程为．
同理可得，过点，，圆的方程为．
过点，，圆的方程为．
过点，，中的三点的一个圆的方程为．
故答案为：或或或．
选其中的三点，利用待定系数法即可求出圆的方程．
本题考查了过不在同一直线上的三点求圆的方程应用问题，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．
由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于的方程，解方程可得．

【解答】

解：的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，
，
又，负值舍
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】解：对原函数求导，分析可知：在定义域内至少有两个变号零点，
对其再求导可得：，
当时，易知在上单调递增，此时若存在使得，
则在单调递减，单调递增，
此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，应满足，不满足题意；
当时，易知在上单调递增减，此时若存在使得，
则在单调递增，单调递减，且，
此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，且，
故仅需满足，即：，
解得：或者舍去，
综上所述：的取值范围是．
由已知分析函数至少应该两个变号零点，对其再求导，分类讨论和时两种情况，
本题主要考查利用导函数研究函数极值点存在大小关系时，导函数图像的问题，属于中档题．
 

17.【答案】解：记“抽取的两天销售量都小于件”为事件，则；
设乙商家的日销售量为件，
则当时，，当时，，当时，，当时，，
所以的所有可能取值为：，，，，
；；；；
所以的分布列为：

所以；
依题意，甲商家的日平均销售量为：，
所以甲商家的日平均返利额为：元，
由得乙商家的日平均返利额为元元，所以推荐该超市选择乙商家长期销售． 

【解析】记“抽取的两条销售量都小于件”为事件，利用排列组合即可求得答案；
设乙商家的日销售量为，推导出的所有可能取值为：，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和；
依题意，求出甲商家的日平均销售量，从而求出甲商家的日平均返利额，再求出乙商家的日平均返利额，从而推荐该超市选择乙商家长期销售．
本题考査概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型、茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考査函数与方程思想，是中档题．
 

18.【答案】证明：取中点，连接，，

，
，
则，
平面，平面平面，
平面平面，
平面，
平面，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
是等边三角形，
，
平面，平面平面，平面平面，
平面，
平面，
平面，
平面平面．

解：由得平面，平面，
，
又，，
分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，，
，，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
，，
则，
取，得，
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
则．
平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 

【解析】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
取中点，连接，，推导出，平面，从而，进而四边形是平行四边形，，推导出，从而平面，进而平面，由此能证明平面平面．
推导出，，，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．
 

19.【答案】解：
．
图象关于直线对称，．
，
令，得符合要求，
函数；
，
，
由为三角形内角得，
，
则，，
． 

【解析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，由对称性求得，则函数解析式可求；
由，可求，再由二倍角公式进行化简可求．
本题考查两角和与差的三角函数，考查型函数的图象与性质，考查计算能力，是中档题．
 

20.【答案】解：由的焦点在轴上，可设方程为，
将点代入椭圆方程可得，
解得，
所以的方程为．
根据题意可得直线，的斜率存在，设直线的方程为，，
联立，得，
根据题意可得方程一个根为，另一个根为，
所以，则，
所以点的坐标为，且，
由，得，
则，
解得或，
由上可得，
令，
所以在上单调递增，
所以最小值为时，的面积的最大值为． 

【解析】由的焦点在轴上，可设方程为，将点代入椭圆方程，解得，即可得出答案．
根据题意可得直线，的斜率存在，设直线的方程为，，联立椭圆的方程可得点的坐标，进而可得，由，得，解得；由上可得，结合函数的单调性，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：若，则，定义域为，
所以，
故当时，；当时，，
故的单调递减区间为，单调递增区间为．
，，
令，得，
条件等价于，等价于，
即，
再由，且，
当或时，，或时，，
所以在和上单调递减，在和上单调递增，
故恰有两个极小值点和，
从而的最小值为，
故不等式的解集是． 

【解析】对函数求导，研究导函数的符号，进而确定其单调区间；
由题意得，即，对函数求导，研究导函数的符号，判断单调性，进而可得最小值，即可得解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，属于难题．
 

22.【答案】解：因为曲线的参数方程为为参数，
所以曲线的普通方程为，即，
由可得曲线的极坐标方程为．
因为直线的方程为，所以直线的极坐标方程为，
设，，将代入可得，
因为，所以，，
所以． 

【解析】首先消去参数得到曲线的普通方程，再根据，得到曲线的极坐标方程；
首先求出直线的极坐标方程，设，，将代入曲线的极坐标方程，利用韦达定理计算可得．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．
 

23.【答案】解：Ⅰ当时，或或，
解得，所以原不等式的解集为
Ⅱ对任意恒成立，对实数有解．
，根据分段函数的单调性可知：时，取得最大值，
，，即的最大值为．
所以问题转化为，解得． 

【解析】Ⅰ分段去绝对值解不等数组后在相并可得；
Ⅱ对任意恒成立，对实数有解．
再利用分段函数的单调性求得的最大值，根据绝对值不等式的性质可得的最大值，然后将问题转化为的最大值的最大值可得．
本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．