2023年河北省唐山市开滦重点中学高考数学模拟试卷（三）-普通用卷

2023年河北省唐山市开滦重点中学高考数学模拟试卷（三）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  某市为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度．为了确定一个比较合理的标准，通过简单随机抽样，获得了户居民的月均用水量数据单位：吨，得到如图所示的频率分布直方图．估计该市居民月均用水量的中位数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知数列为等比数列，且，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积在平面直角坐标系中，已知椭圆：的面积为，以的两焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形是等边三角形，则的标准方程是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某公司人事部安排小张、小胡等名工作人员去个不同的岗位工作，其中每个岗位至少一人，每个人只去一个岗位工作，且小张、小胡这人必须在一起，则不同的安排方法有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

7.  已知函数，若的最小值为，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  设，，，则，，的大小关系正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知，则下列不等式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  下列命题正确的是(    )

A. 已知随机变量服从正态分布且，则
B. 已知随机变量，若，，则
C. 已知，，则
D. 某人在次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大

11.  在棱长为的正方体中，为正方形的中心，为线段上的一点，则下列说法正确的是(    )

A. 存在点，使得
B. 三棱锥的体积为定值
C. 的面积的最小值为
D. 线段上存在点，使得，且

12.  已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，且，过作的切线交直线于点，则(    )

A. 的离心率为 B. 的离心率为
C. 的面积为 D. 的面积为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知向量，，，则 ______ ．

14.  在平面直角坐标系中，若点在直线上，则当，变化时，直线的斜率的取值范围是______ ．

15.  已知函数的图像在处的切线与在处的切线相互垂直，那么的最小值是______ ．

16.  在三棱锥中，和都是等边三角形，，平面平面，是棱上一点，且，则过的平面截三棱锥外接球所得截面面积的最大值与最小值之和为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知等差数列的前项和为，且，
求的通项公式；
若，求数列的前项和．

18.  本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，，．
若是边的中点，且，求的值；
若，求的面积．

19.  本小题分
长距离跑简称长跑，英文是最初项目为英里、英里跑，从世纪中叶开始，逐渐被跑和跑替代长跑对于培养人们克服困难，磨炼刻苦耐劳的顽强意志具有良好的作用，特别是对那些冬季怕冷爱睡懒觉不想锻炼的人起到促进作用，从而使他们尝到健身长跑锻炼的好处，某校开展阳光体育“冬季长跑活动”，为了解学生对“冬季长跑活动”是否感兴趣与性别是否有关，某调查小组随机抽取该校名高中学生进行问卷调查，所得数据制成如表；

完成上面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生对“冬季长跑活动”是否感兴趣与性别有关联？
若不感兴趣的男生中恰有名是高三学生，现从不感兴趣的男生中随机选出名进行二次调查，记选出高三学生的人数为，求的分布列与数学期望．
参考公式，其中．
附：

20.  本小题分
如图，在梯形中，，，，，，是上的一点，，将沿折起，使得点到达的位置，且，是上的一点，且，如图．
求点到平面的距离；
求直线与平面所成角的正弦值．

21.  本小题分
已知抛物线：的焦点为，是上的一点．
若直线交于另外一点，求；
若圆：，过作圆的两条切线，分别交于，两点，证明：直线过定点．

22.  本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若，证明：的极小值不大于．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由，，
所以．
故选：．
解一元二次方程求集合，由根式性质求函数定义域确定集合，应用集合交运算求结果．
本题考查集合的运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由对应点为，则对应点为，
故，
所以．
故选：．
根据复数对应点的对称关系得，应用复数除法化简目标式即得结果．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由频率分布直方图，可知月均用水量在吨以下的居民用户频率为，
月均用水量在吨以下的居民用户的频率为，
故中位数落在区间内．
设中位数为，则，
即．
故估计该市居民月均用水量的中位数为．
故选：．
由题意分析可知中位数落在区间内，设中位数为，再由中位数两侧的频率相等列式求解值，则答案可求．
本题考查频率分布直方图，训练了利用频率分布直方图求中位数，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：令，
设数列的公比为，
因为，，
所以，，
又，所以，得到，
所以，所以．
故选：．
利用条件，求出数列的第项和第项，进而可求出数列的公比，从而求出，再利用即可求出结果．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意知：且，
则，．
所以椭圆标准方程．
故选：．
由题意有且，即可求椭圆方程．
本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：将人分组有两种情况：、形式，
当各组人数按分组：
小张、小胡必在人组，从其余人选人与小张、小胡捆绑，有种，
此组人任意安排到个岗位，有种方法，故共有种；
当各组人数按分组：
小张、小胡必在其中一个人组，从其余人选人为另一人组，有种
此组人任意安排到个岗位，有种方法，故共有种；
综上，不同的安排方法有种．
故选：．
各组人数按、分类，再应用分步计数，捆绑法及排列组合数求不同的安排方法．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由，则，仅当时等号成立，
所以，在上递减，且最小值为，
对于在上，当时；当时，无最小值；
显然，时的最小值不为，不合题意；
所以，此时必有，可得．
故选：．
讨论分段函数各段上的函数性质，结合分类讨论研究函数最小值，进而确定的情况下有满足要求的情况，再比较两分段上最小值列不等式求参数范围．
本题主要考查分段函数的应用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由，则，
令且，则为减函数，
所以，而，故，
故在上递增，则，即在上恒成立，
所以，即，
由，
令且，则，
所以在上递增，则，即在上恒成立，
所以，即．
综上，．
故选：．
由、分别构造、且，利用导数研究函数值符号，即可得答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查数的大小的比较，考查逻辑推理能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，，则，故A正确；
对于，，而，
所以，即，故B错误；
对于，且，仅当等号成立，而，故，故C正确；
对于，，而，
所以，即，故D正确．
故选：．
作差法比较、、的大小，利用基本不等式判断即可．
本题主要考查了不等式的性质，考查了基本不等式的性质，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：：由对称性知：，对；
：，则，错；
：由，则，对；
：由，
，即，为正整数，则，对．
故选：．
由正态分布对称性求概率判断；由二项分布期望、方差公式列方程求参数判断；应用全概率、条件概率公式求判断；应用不等式法解决二项分布概率最大问题判断．
本题考查正态分布相关知识，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图建立空间直角坐标系，
选项A：，，，，，
若存在点，因为线段上，可设，，
故点坐标为，
若，则，
得，故存在点，A正确；
选项B：取的中点，则，
，，所以，
故A，又平面，平面，
所以平面，
因为线段上，故到平面的距离不变，
故三棱锥的体积为定值，B正确；
选项C：由选项A知，，
到的距离为：，
的面积的最小时，取最小值，
根据二次函数的性质，当时，取最小值为，
此时的面积为，故C正确；
选项D：若存在，设，，
则，
则，又，，
因，，
所以，
解得，不合题意，故D错误．
故选：．
建立空间直角坐标系，选项A，根据为线段上的一点，设得点坐标，
选项A判断成立时是否存在即可；
选项B因面积不变，只需判断到平面的距离是否为定值即可；
选项C因的长度不变，要求的面积的最小值，只需求到的距离的最小值即可；
选项D可类似点坐标的求法，先设点坐标，根据垂直向量数量积为，判断点、点是否存在即可．
本题考查三棱锥的体积的求解，线线垂直的判断，向量法求解点面距问题，化归转化思想，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为双曲线：的左、右焦点分别为，，
且过作直线的垂线，垂足为，
又为坐标原点，且，过作的切线交直线于点，
则直线和直线，是双曲线：的两条渐近线，
设，则有，
又垂直于渐近线，渐近线方程为，，，
，而，，
，
在中，，由正弦定理：，
，
，，
，选项错误，选项正确，
可得双曲线的标准方程为：，渐近线为，
过点的切线与双曲线切于点，则有，
又，均在双曲线的渐近线上，故设，
又，】
，
，
当点为切点时，由，切线斜率存在，
设切线方程为，
则，
得
令，得，
得，
过点的切线方程为，
切线方程代入，解得，
切线方程代入，解得，
，
，则选项正确，选项错误．
故选：．
设，由题意可求得，，中，利用正弦定理求得，即可求得双曲线得离心率；通过设点表示出，利用切线求得，两点坐标，可求的面积．
本题考查双曲线的性质，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由，又，
所以，可得．
所以，故．
故答案为：．
由向量线性关系坐标表示得，根据向量垂直的坐标表示列方程求参数，进而应用坐标公式求模．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题设，则，
所以在以为圆心，为半径的圆上，
如图，

当与圆相切时，直线的斜率出现最值最大、最小，
当与圆上方相切，则，故，此时斜率为，
结合圆的对称性，与圆下方相切，斜率为，
由图知：直线的斜率的取值范围是．
故答案为：．
将点代入直线上得到的轨迹圆，数形结合法求直线的斜率的取值范围．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
依题意可得，
所以，
所以且，
或且，
当且时，，，，，
所以，，，
所以，，，
所以当或时，取得最小值．
当且时，，，，，
所以，，，
所以，，，
所以当或时，取得最小值．
综上所述：的最小值是．
故答案为：．
求出，根据导数的几何意义得到，根据余弦函数的最值可得且，或且，分两种情况求出，然后求出其最小值即可．
本题考查导数的几何意义，考查三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题设，若为中点，，分别是等边和等边的中心，
连接，，则，分别在，上，且，
，，，，面，故BD面，
又面，所以，面面，

又面面，过作面的垂线与过作面的垂线交于，
即面，面，则为外接球球心，
面，且，，则面，所以面面，
综上，结合面面，面面，则面、面为同一平面，所以面，
由面面，，面，面面，
所以面，面，即，且知：为正方形，
如上图，，，若外接球半径为，
所以，
由球体的性质，要使过平面截三棱锥外接球所得截面面积的最大，则平面必过球心，
所以，最大截面圆面积为，
要使过平面截三棱锥外接球所得截面面积的最小，则该平面，
因为，而，都在面上，故，
而，故，显然，，共线，故，
此时截面圆的半径为，则，
所以，最小截面圆面积为，
综上，最大值与最小值之和为．
故答案为：．
根据题设找到三棱锥外接球球心位置，由已知及球体截面的性质求过平面截球体的最大截面积，根据外接球球心、面面垂直以及比例关系易知，，共线，且过平面截球体的最小截面积时该平面，且，即可求最大、最小面积和．
本题考查三棱锥的截面面积问题，线面垂直的判定定理与性质，三棱锥的外接球问题，化归转化思想，属中档题．
 

17.【答案】解：等差数列的前项和为，公差设为，
由，可得，
即为，
又，可得，
化为，
由解得，，
则；
，
则数列的前项和，
，
上面两式相减可得
，
化简可得． 

【解析】由等差数列的通项公式、求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求；
由数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等差数列的通项公式、求和公式，以及等比数列的求和公式，数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：因为，
所以，
所以，
所以，
在中，，
在中，，
所以，
因为是边的中点，
所以，代入上式整理得：
，
因为，
所以，
解得：或舍去，
所以，
在中，由余弦定理的推论得：
．
由，则，
在中，由正弦定理得：
，
因为，，
所以，
所以，
即，
则，
若，
与矛盾，
所以，
所以，
因为且，
所以，所以，
所以，
所以的面积为：
． 

【解析】根据三角形的余弦定理结合已知条件即可；
利用三角形的正弦定理以及两角和的正弦公式和三角形面积公式即可．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于难题．
 

19.【答案】解：根据已知数据可补全列联表如下：

零假设：学生对“冬季长跑活动”是否感兴趣与性别无关，
，
依据小概率值的独立性检验，成立，即不能认为学生对“冬季长跑活动”是否感兴趣与性别有关联．
由题意知：所有可能的取值为，，，，
；
；
；
；
的分布列为：

数学期望． 

【解析】根据已知数据即可补全列联表，根据列联表计算得到，根据独立性检验的思想可得结论；
根据超几何分布概率公式可计算得到每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望值．
本题主要考查离散型随机变量期望的求解，考查转化能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：在图中，

由已知得，则，
，且，四边形为菱形，
连接交于点，，，
在中，，，
在图中，，，，
又，且，，平面，平面，
，
设点到平面的距离为，
由得，即，，
即点到平面的距离为．
以为原点，分别以，所在直线为，轴，以过与平行的直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图，
则，
，，，

设为平面的法向量，
则，即，
令，则平面的法向量，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】在图中，由已知得四边形为菱形，连接交于点，得，在图中，求解三角形证明，再由线面垂直的判定可得平面，设点到平面的距离为，利用等体积法，由求解；
以为原点，分别以，所在直线为，轴，以过与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，求出及平面的法向量，利用空间向量夹角公式求解．
本题主要考查直线与平面所成的角，点到平面的距离的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题设，则，故，则，
又直线过抛物线焦点，则直线：，
联立直线与抛物线并整理得：，故，即，
所以，
结合抛物线定义知：．
证明：设，，则斜率存在且不为：，
所以为，则，
由，则，所以，
而，与圆相切，则，整理得：，
同理可得：，
所以，为的两个不同根，
故，，代入，有，
所以，即，可得，
所以直线过定点． 

【解析】由点在抛物线上求得，写出直线方程，联立抛物线，应用韦达定理及抛物线定义求；
设，，则为，设出直线，根据与圆的相切关系得，易知，为的两个不同根，应用韦达定理得，代入中求定点即可．
本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题意得，且，
当，则，即在上单调递增；
当，由得，由得，由得，
在上单调递减，在上单调递增；
证明：由题意得且，
则，
令，则，故在上递增，
当时，，当时，，
由零点存在性定理得使得，即，
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增；
故的极小值，
令且，则，
当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减，
，即，
故的极小值不大于． 

【解析】分类讨论、，利用导数研究的单调性，即可得出答案；
利用导数研究的单调性，可得极值，构造且，应用导数研究其最值，即可证明结论．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．