山东省日照市2023届高三下学期5月校际联合考试（三模）数学试题及参考答案

这是一份山东省日照市2023届高三下学期5月校际联合考试（三模）数学试题及参考答案，共20页。试卷主要包含了已知数列{aₙ}满足 则的值为，若 则，已知 则，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

2020级高三校际联合考试
数学试题
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 ，则=

2.已知复数 (其中i为虚数单位),则|z|=
A.1 B. C.
3.已知向量a=(m+1,m-1),b=(-1,m),c=(-1,1),若(2a+b)⊥c,则m=
A. B.3 C. D.5
4.已知直线a⊥平面α，则“直线a∥平面β”是“平面α⊥平面β”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.彩虹是一种美丽的自然现象，当人们观看彩虹时，眼睛与彩虹之间可以抽象为一个圆锥.如图，AO是眼睛与彩虹中心的连线，AP是眼睛与彩虹最高点的连线，则称∠OAP为彩虹角.若∠OAP=42°,平面ABC为水平面,BC为彩虹面与水平面的交线，M为BC的中点，BC=1200米，AM=800米,则彩虹 的长度约为 米.
(参考数据： .
A. B.
C. D.
6.函数的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，若函数g(x)是偶函数，则tanφ=
B.
7.已知数列{aₙ}满足 则的值为
A.2²⁰ B.2²⁴ C.2¹⁰²⁴ D.24096
8.若 则
A. a < c< b B. a < b< c C. c< b< a D. c< a< b
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9.已知 则
A. B.
D.
10.已知函数，则
A.f(x)的图象关于y轴对称 B.为f(x)的一个周期
C.f(x)在上单调递增 D.函数 在[-π,π]上有4个零点
11.设函数f(x)的定义域为R,满足，且当x∈(0,2]时，f(x)=x(2-x)，则
A. f(9)=2f(7)
B.若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≤6,则m 的取值范围是
C.若方程f(x)=m(x-5)恰有三个实数根，则m 的取值范围是
D.函数f(x)在区间)上的最大值为an，若存在n∈N₊，使得 成立，则
12.已知F₁,F₂分别为双曲线 的左、右焦点，过F₂的直线与双曲线的右支交于A,B两点,记△AF₁F₂的内切圆O₁的面积为S₁，△BF₁F₂的内切圆O₂的面积为S₂，则
A.圆O₁和圆O₂外切 B.圆心O₁在直线AO上
C. S₁·S₂=π² D. S₁+S₂的取值范围是[2π,3π]
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.抛物线y²=4x上的点P(x₀,4)到其焦点的距离为 .
14.设x>-1,y>0且x+2y=1，则 的最小值为 .
15.已知数列{an}中,a₁=1,a₃=7,a₂是a₁,a₃的等差中项，Sn是其前n项和,若数列 是公差为3的等差数列，则 .
16.祖暅，南北朝时代的伟大科学家，他在实践的基础上提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.请同学们借助图1运用祖暅原理解决如下问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为2的铁球，再注入水，使水面与球正好相切(球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部)，则容器中水的体积为 .

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(10分)
已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求角A;
(2)若△ABC的周长为 ，且△ABC外接圆的半径为1，求△ABC的面积.




18.(12分)
已知数列{an}满足：
(1)当 时,求数列{a₂n}中的第10项;
(2)是否存在正数λ，使得数列{an}是等比数列，若存在求出λ值并证明；若不存在，请说明理由.







19.(12分)
如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,AB=2,侧面ABB₁A₁是正方形,且平面A₁BC⊥平面ABB₁A₁.
(1)求证:AB⊥BC;
(2)若直线AC与平面A₁BC所成的角为，E为线段A₁C的中点，求平面ABE与平面BCE所成锐二面角的大小.




20.(12分)
某学校有A，B两家餐厅，王同学第一天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8.
(1)计算王同学第二天去A餐厅用餐的概率；
(2)王同学某次在A餐厅就餐，该餐厅提供5种西式点心，n(n≥2，n∈N₊)种中式点心，王同学从这些点心中选择3种点心，记选择西式点心的种数为X，求P(X=1)的最大值，并求此时n的值.












21.(12分)
在平面直角坐标系中，已知F1,F₂分别是椭圆C: 的左焦点和右焦点.
(1)设T是椭圆C上的任意一点，求 取值范围；
(2)设A(0,1)，直线l与椭圆C交于B,D两点，若△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程.









22.(12分)
已知函数 有三个零点.
(1)求a 的取值范围；
(2)设函数f(x)的三个零点由小到大依次是，证明:















参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。

1-4ADBA 5-8ACCB
1.【答案】A.
【解析】由题意, 所以 选A.
2.【答案】D.
【解析】知 则 故选D
3.【答案】B
【解析】由已知得
且 ，解得m=3.
故选:B.
4.【答案】A.
【解析】若“直线a∥平面β”成立,设l⊂β,且l∥a,又a⊥平面α,所以l⊥
平面α,又l⊂β,所以“平面α⊥平面β”成立;
若“平面α⊥平面β”成立，且直线a⊥平面α，可推出a∥平面β或a⊂平面β，
所以“直线a∥平面β”不一定成立.
综上，“直线a∥平面β”是“平面α⊥平面β”的充分不必要条件.故选：A.
5.【答案】A.
【解析】在△AMB中,由勾股定理,可得:
连接PO，则在△APO中,PO = AP·sin42° ≈670,连接OB,OC,OM,则在△OBM中,
故∠BOM=1.1,∠BOC≈2.2,则彩虹(BPC)的长度约为
(2π-2.2)×670=1340π-1474.选:A
6.【答案】C.
【解析】函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位得到函数 的图象，又函数g(x)是偶函数，所以 (k∈Z),所以 所以
7.【答案】C
【解析】 易知 故
故 是首项为ln2，公比为4的等比数列，
故 故选:C.
8.【答案】B
【解析】令 则
当x>e时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减；当00,函数f(x)单调递增，因为 所以
又 所以f(e)>f(2),所以lnb>lna,故b>a,
因为 又因为
故 从而有c>b,综上所述:a
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9. AD 10. BCD 11. ABD 12. AC
9.【答案】AD
【解析】解:由( 令x=0得a₀=-64,
故A正确；由(x+2)6的展开式的通项公式 得a7=1,故B 错误;
令x=1,得 ,再由a₀=-64,得 故C错误：
令x=-1,得 ①-②再除以2得a₁+a₃+a5+a₇=1,故D正确；
故选:AD
10.【答案】BCD
【解析】依题意, ,故函数f(x)不是偶函数，图象不关于y轴对称，故A错误：
,故x=π为函数f(x)的一个周期，故-3π也为函数f(x)的一个周期，故B正确；
当时, ,则　当 时，f'(x)>0,当 时,f'(x)<0,故函数f(x)在 上单调递增，在 上单调递减，结合周期性，可知C正确：
作出函数 的大致图象如下所示，结合周期观察可知，函数 在[-π,π]上有4个零点,故D正确.

11.【答案】ABD.
【解析】函数的定义域为R,满足,即,且当x∈(0,2]时, ,
当x∈(2,4]时,x-2∈(0,2],即.,
当x∈(4,6]时,x-2∈(2,4],即
依次,当x∈(2n-2,2n]时,即

作出函数图象

对于A,代入x=7,f(9)=2f(7)故正确;
对于B,对任意x∈(-∞,6],都有f(x)≤4,f(7)=8,x∈ (6,8],f( x) ≤8 ,x∈(6,8],解得 对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≤6，则m的取值范围是 正确：
对于C.结合图象知道直线过点(3,2),图象有3个交点，m=-1适合，m的取值范围是 错误:

对于D.

最大值
存在n∈N₊,使得 成立， 的最大值，
则n≤4增,n≥5减, 即 正确。
12.【答案】AC
【解析】双曲线 的 渐近线方程为
两渐近线倾斜角分别为 和 设圆O₁与x轴切点为G
过F₂的直线与双曲线的右支交于A，B两点，可知直线AB的倾斜角取值范围为
由双曲线定义和圆的切线长定理可知O₁、O₂的横坐标均为a，即O₁O₂与x轴垂直.
故圆O₁和圆O₂均与x轴相切于G(1，0)，圆O₁和圆O₂两圆外切.选项A判断正确；
由双曲线定义知，△AEE中，AF₁> AF₂,则AO 只能是△AF₁F₂的中线，不能成为∠F₁AF₂的角平分线，则圆心O₁一定不在直线AO上.选项B判断错误;
在△O1O2F₂中,∠O₁F₂O₂=90°,O₁O₂⊥F₂G，则由直角三角形的射影定理可知F₂G²=O1G·O₂G,即(c -a)²=r₁· r ₂，则,故 ,选项C判断正确；
由直线AB的倾斜角取值范围为 可知∠AF₂F₁的取值范围为 则∠O₁F₂F₁的取值范围为 　故
则 ，
令 则f(x)在 单调递减，在(1，3)单调递增.
值域为
　故 的值域为 选项D判断错误.
故选:AC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13 . 5 15. 5248 16. 12π
13.【答案】5
【解析】抛物线y²=4x|的准线为x=-1,则4²=4x₀,故x₀=4,P(4，4)到焦点的距离等于到准线的距离，为4+1=5.故答案为：5
14.【答案】
【解析】因为x>-1,y>0,所以
因为x+2y=1,所以x+1+2y=2,
所以
当且仅当 即 时取得最小值.故答案为：
15.【答案】5248
【解析】依题意, 故a₁+ a₂+a₃=12,而 故 是首项为12，公差为9的等差数列，
则
16.【答案】12π.
【解析】如图1，已知圆柱、圆锥底面圆半径、高和球体半径相等，设半球中阴影截面圆的半径r，球体半径为R，则r²=R² h² ,截面圆面:
圆柱中截面小圆半径DE=h，大圆半径为R，则截面圆环面积
所以S₁=S₂,又高度相等，所以半球的体积等于等高圆柱的体积减去等高圆锥的体积.同理，半球阴影截面上半部分体积等于圆柱阴影截面上半部分体积减去圆台体积.

如图3，设球体和水接触的上部分为 没和水接触的下部分为 ，小半球相当于图1半球的截面上半部分，其体积等于图1中截面之上的圆柱体积减去相应圆台体积.已知球体半径为r=2，△ABC为等边三角形， 根据祖暅原理
设图3中轴截面为梯形AHGC的圆台体积为

故答案为:12π.
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(10分)【解析】(1)∵,
由正弦定理得,
因为.---------------------------3分
所以,因为C∈(0,π),所以sinC≠0,所以
又A∈(0,π),所以 ------------------------5分
(2)设△ABC外接圆的半径为R,则R=1,
由正弦定理得 ---------------------------6分
因为△ABC的周长为 所以
由余弦定理得,
即 所以bc=3,----------------------------8分
所以△ABC的面积 ------------------------10分
18.(12分)
【解析】(1)由已知: 所以 相除得 -- ----------2分
又 所以
所以 -------------------------------------------------5分
(2)假设存在正数λ，使得数列{an}是等比数列，由a₂⋅a₁=2⁵得 由a₂·a₃=8,
得 因为{aₙ}是等比数列， 即λ=8,------------7分
下面证明λ=8时数列{aₙ}是等比数列，
由(1)知数列{ }和 {}都是公比是 的等比数列，所以
--------------------------10分
所以n为奇数时， n为偶数时， 所以对一切正整数n，都有
所以
所以存在正数λ=8使得数列{aₙ}是等比数列.-----------------------------12分
19.(12分)
【解析】(1)设,则A₁B中点为M,且
∵平面A₁BC⊥平面ABB₁A₁且交线为A₁B,AM⊂平面ABB₁A₁,
∴AM⊥平面A₁BC,----------------------------3分
∵BC⊂平面A₁BC,∴AM⊥BC,
又直三棱柱ABC-A₁B₁C₁,∴BB₁⊥BC,
∵,
∴BC⊥平面ABB₁A₁,
∵AB⊂平面ABB₁A₁,∴AB⊥BC.----------------------------6分
(2)由(1)知AM⊥平面ABC,
所以直线AC与平面A₁BC所成的角为.
分
以B为原点， 分别为x，y，z轴正向建立坐标系，
A(0,2,0),C(2,0,0),E(1,1,1),M(0,1,1)
设平面ABE的法向量为
故可设n=(1,0,-1),-------------10分
又因为AM⊥平面A₁BC,
设平面CBE的法向量为
则
设平面ABE与平面BCE所成锐二面角为θ，
----------------------11分
∵0为锐角, --------------------------12分
20.(12分)
【解析】(1)设A1=“第一天去A餐厅用餐”,B₁=“第一天去B餐厅用餐”，A₂=“第二天去A 餐厅用餐”,根据题意得,----3分
由全概率公式，得：
,
所以，王同学第二天去A餐厅用餐的概率为0.7.-----------------------------6分
(2)由题意,X 的可能取值有:0,1,2,3,
由超几何分布可知 ---------------------------9分
令 若aₙ最大,则(
又∵n∈N,解得9≤n≤10,
易知当n=9和n=10时,P(X=1)的值相等,
所以当n=9或10时,P(X=1)有最大值为
即当n的值为9或10时,使得P(x=1)最大.---------------------------12分

21.(12分)
【解析】(1)在椭圆 中,
设T(x₀,y₀),则有 即
于是 -------------3分
显然 所以 的取值范围是[-2,1].-----------------------------5分
　(2)①显然直线l不垂直于x轴，当直线l垂直于y轴时，由对称性知，点B，D关于y轴
对称，不妨令点B在y轴右侧，因为△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则直线AB方程为:y=-x+1,由 消去y得：,于是得 点
直线l的方程为 ---------------------------7分

②当直线l与坐标轴不垂直时,设直线l的方程为,设
由 消去y得：,
则,即,
可得
因为△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则AB⊥AD,有
而 于是xx₂+( y₁-1)(y₂-1)= 0,
即,
整理得,
从而
化为,解得 -----------------------10分
又线段BD的中垂线过点 及点A，因此 即,
解得 而当 时,成立,即>0,
因此直线l的方程为
所以满足条件的直线l的方程为 或 ---------------------------12 分
22.(12分)
【解析】(1)因为f(x)定义域为(0,+∞),又 ------1分
(i)当单调递减;
(ii)当x∈(0,2),记
当;当
所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,2)上单调递减, ,又
所以
①当单调递减,至多一个零点,与题设矛盾:--------3分
②当a 由(ii)知,f'(x)有两个零点,记f'(x)两零点为m,n,
且在(0,m)上单调递减,在(m,n)上单调递增,在(n,+∞)上单调递减,
因为,令 则
所以
∴,且x趋近0,f(x)趋近+∞,x趋近+∞,f(x)趋近-∞,
所以函数有三零点，
综上所述,a>1:-----------------------------5分
(2)f(x)=0,这等价于 即
令 则
所以t(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
由(1)可得 则
所以所以----------------7分
则x₁x₃满足
要证 ,等价于证,
易知 令,则
该函数在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
下面证明.,由即证,
即证,
即证
即证
令 --------------------------10分
令 所以
所以 所以
所以,所以,
所以所以原命题得证.-------------------------12分