2023年甘肃省定西市高考数学模拟试卷（文科）（含解析）

2023年甘肃省定西市高考数学模拟试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若复数满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  某年级组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该年级共有名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加合唱社团的同学有名，参加脱口秀社团的有名，则该年级(    )

A. 参加社团的同学的总人数为
B. 参加舞蹈社团的人数占五个社团总人数的
C. 参加朗诵社团的人数比参加太极拳社团的多人
D. 从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为

4.  下列函数中，与函数的奇偶性相同的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  将函数的图像向右平移个单位长度，可得函数的图像，则的一个对称中心为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则侧左视图中的(    )

A.
B.
C.
D.

7.  若点在圆的外部，则的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  有诗云：“芍药承春宠，何曾羡牡丹”，芍药不仅观赏性强，且具有药用价值，某地以芍药为主打造了一个如图所示的花海大世界，其中大圆半径为，大圆内部的同心小圆半径为，两圆之间的图案是对称的若在其中空白部分种植红芍倘若你置身此花海大世界之中，则恰好处在红芍种植区中的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若三角形三边长分别为，，，则三角形的面积为，其中，这个公式被称为海伦秦九韶公式已知中，角，，的对边分别为，，，，，则面积的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的正切值为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  已知，，，则下列判断正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知双曲线：的渐近线方程为，左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，若的周长为，则双曲线的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  函数的图象在处的切线在轴上的截距为______ ．

14.  设为实数，已知，则的取值范围为______ ．

15.  已知向量，，若向量，且与的夹角为钝角，写出一个满足条件的的坐标为______ ．

16.  过原点作一条倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为椭圆的左焦点，若，则该椭圆的离心率的取值范围为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知数列满足，
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．

18.  本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，与交于点，底面，，点，分别是棱，的中点，连接，，．
求证：平面平面；
求三棱锥的体积．

19.  本小题分
年春节期间，科幻电影流浪地球上映，获得较好的评价，也取得了很好的票房成绩某平台为了解观众对该影片的评价情况评价结果仅有“好评”“差评”，从平台所有参与评价的观众中随机抽取人进行调查，其中“好评”的占，数据如表所示单位：人：

根据所给数据，完成上面列联表，并判断是否有的把握认为对该部影片的评价与性别有关？
从抽取的人中所有给出“差评”的观众中按性别用分层抽样的方法随机抽取人，再从这人中任选两人，求这两人中至少有一人是女性的概率．
参考公式：，其中．
参考数据：

20.  本小题分
已知点到点的距离比它到直线：的距离小，记动点的轨迹为．
求的方程；
若过点的直线交于，两点，则在轴的正半轴上是否存在点，使得，分别交于另外两点，，且？若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由．

21.  本小题分
已知函数．
若，求函数的最值；
若，函数在上的最大值在区间内，求整数的值．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
求曲线的极坐标方程；
若直线与曲线交于，两点，求．

23.  本小题分
已知．
求不等式的解集；
若的最小值为，且实数，，满足，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，所以．
因为，所以，．
判断四个选项，只有B正确．
故选：．
解出集合，求出，并根据子集含义即可判断．
本题考查集合的运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：对于，参加社团的同学的总人数为，故A错误；
对于，因为参加社团的同学的总人数为人，参加脱口秀社团的有名，
所以参加脱口秀社团的人数占五个社团总人数的百分比为，
所以参加舞蹈社团的人数占五个社团总人数的百分比为，故B错误；
对于，参加朗诵社团的人数比参加太极拳社团的多人，故C错误；
对于，从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为，故D正确．
故选：．
根据统计图表中的信息逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了统计图表的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：定义域为，且，故为奇函数，
选项，定义域为，且，故为偶函数，A错误；
选项，定义域为，故为非奇非偶函数，B错误；
选项，定义域为，且，故为偶函数，C错误；
选项，定义域为，且，
故为奇函数，D正确．
故选：．
先求出函数的定义域，再根据与的关系判断函数为奇函数，还是偶函数，得到答案．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
因为的图像向右平移个单位长度得函数的图像，
所以，
因为的对称中心为，
所以当时，，
即函数的对称中心为，
当时，对称中心为．
故选：．
先把的解析式化成的形式，然后根据平移求出解析式，从而根据正弦函数的对称中心求出的对称中心，进而可得答案．
本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可知，几何体是三棱锥，底面是等腰三角形，一条侧棱垂直等腰三角形的顶点，
所以几何体的体积为：，解得．
故选：．
判断几何体的形状，利用三视图的数据，通过几何体的体积，转化求解即可．
本题考查三视图求解几何体的体积的应用，判断几何体的形状是解题的关键，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：依题意，方程可以表示圆，则，得；
由点在圆的外部可知：，得．
故．
故选：．
利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算．
本题主要考查点与圆的位置关系，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由已知得：大圆的面积为，小圆的面积为，
所以空白部分的面积为，
设“恰好处在红芍种植区中”为事件，
则．
故选：．
由圆的面积公式结合几何概型的概率公式求解．
本题主要考查了几何概型的概率公式，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，因为，所以，又，所以，
可得，且，
故的面积，
当且仅当，即时取等号，
故面积的最大值为．
故选：．
根据海伦秦九韶公式化简得，再利用基本不等式求最值．
本题考查求三角形面积的最大值，考查基本不等式的应用，属中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，则，

为异面直线与所成角，
设正方体的棱长为，则在中，，
由余弦定理得，，且
，
．
故选：．
可连接，然后得出，从而得出为异面直线与所成角，然后设正方体的棱长为，然后在中，由余弦定理即可求出的值，进而求出，从而可得出异面直线与所成角的正切值．
本题考查了异面直线所成角的定义，余弦定理，同角三角函数的基本关系，考查了计算能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：令，则，
令，解得，令，解得：，
故在递增，在递减，
故，
即，
故，
故选：．
令，根据函数的单调性求出，从而判断数的大小．
本题考查了数的大小比较，考查导数的应用，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：双曲线：的渐近线方程为，
，，，，
双曲线的方程可化为，
根据题意可设直线方程为，
联立，可得，
设，，
则，，

，
又根据双曲线的定义可得，，
，
，
的周长为，
，，
双曲线的方程为．
故选：．
根据双曲线：的渐近线方程为，可得，，再根据弦长公式及双曲线的定义，将的周长用表示，从而可求出，进而得，从而得解．
本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，弦长公式的应用，方程思想，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由，得，
，又，
函数的图像在点处的切线方程为，
取，可得直线在轴上的截距为．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再求出，利用直线方程的点斜式可得的方程，取得直线在轴上的截距．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
因为，
所以，
所以，
则的取值范围为．
故答案为：．
利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得．
本题主要考查三角函数的最值，属于基础题．
 

15.【答案】答案不唯一 

【解析】解：根据题意，若向量，设，
又由与的夹角为钝角，则，必有，
的坐标可以为．
故答案为：答案不唯一．
根据题意，设，由数量积的计算公式可得关于的不等式，求出的取值范围，举出特殊值即可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的分析，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：当倾斜角时，直线的斜率不存在，如图则，，
又椭圆左焦点，

若，则，即，
所以，即，所以椭圆的离心率；
当倾斜角为，直线的斜率存在设为，
则，
设，则，所以，
若，则，
联立，结合可得，，
由，，所以且，
所以，则，故，所以，
即，故，
综上，椭圆的离心率取值范围为
故答案为：
分别讨论直线的斜率是否存在，利用坐标运算即可求解椭圆的离心率的取值范围．
本题考查椭圆的离心率的计算，考查运算求解能力，属中档题．
 

17.【答案】解：数列满足，，



．
，
，
，
，得：


，
． 

【解析】由，，利用累加法能求出数列的通项公式．
由，利用错位相减法能求出数列的前项和．
本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法和错位相减法的合理运用．
 

18.【答案】解：证明：底面是菱形，与交于点，
为中点，
点是棱的中点，是棱的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，
平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
，平面，平面，
平面平面．
底面是边长为的菱形，，
是等边三角形，，，
底面，底面，底面，
，，和均为直角三角形，
，，
，
，
，
设点到平面的距离为，
，，
解得，
三棱锥的体积为：
． 

【解析】根据中位线定理、面面平行的判定定理能证明平面平面；
利用等体积法能求出三棱锥的体积．
本题考查中位线定理、面面平行的判定定理、等体积法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

19.【答案】解：“好评”的人数为，
则列联表如图所示：

，
所以有的把握认为对该部影片的评价与性别有关；
男性有人，设为，，
女性有人，设为，，，，
则从这人中任选两人，
有，，，，，，，，，，，，，，共种，
其中符合题意的有种，
所以所求概率． 

【解析】求出男性人数，即可完成列联表，再根据公式求出，对照临界值表，即可得出结论；
先求出男性和女性的人数，再根据古典概型即可得解．
本题主要考查独立性检验概率公式，属于中档题．
 

20.【答案】解：因为点到点的距离比它到直线：的距离小，
所以点到点的距离等于它到直线：的距离，
则点的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，
则曲线的方程为．
设，，
由得：，且，得，
即，所以，
代入抛物线方程，得，
整理得，同理可得
故，是方程的两根，，
由韦达定理可得，
由题意，直线的斜率一定存在，故设直线的方程为，
与抛物线方程联立可得，
易得，由韦达定理可得，，
由可得，
故在轴的正半轴上存在一点满足条件．
 

【解析】根据点到点的距离等于它到直线：的距离，结合抛物线的定义得出抛物线的标准方程；
设，，由结合抛物线方程得出，是方程的两根，设直线的方程为，并与抛物线方程联立结合韦达定理得出点坐标．
本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
 

21.【答案】解：当时，
可得，函数定义域为，
易知，
令，
解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以；
当时，
可得，
所以，
当时，，
画出函数和的函数的大致图像如下所示：

不妨令，设根为，
所以，
整理得，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
又，
则，
所以当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减，
所以，，
结合对号函数的性质可知，
当时，，
所以，
已知函数在上的最大值在区间内，且为整数，
所以． 

【解析】由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，利用导数即可得到函数的单调性和最值；
将代入函数的解析式中，对函数进行求导，画出函数和的函数的大致图像，利用换元法，令，设根为，结合零点范围和对号函数的性质进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值以及导数的应用，考查了逻辑推理能力、数形结合以及分析问题解决问题的能力．
 

22.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为，根据，转换为极坐标方程为．
直线的极坐标方程为，
故，
故，
所以，，
所以． 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 

23.【答案】解：，
当时，，
，
所以，
解得；
时，，
无解；
时，，
，
所以，
解得；
综上所述，不等式的解集为．
证明：，
所以，
所，
，
当且仅当时，即时，即，即或时等号成立．
故． 

【解析】分类讨论不等式即可求解；
根据基本不等式即可求解．
本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．