2023年四川省宜宾重点中学高考数学适应性试卷（理科）（含解析）

2023年四川省宜宾重点中学高考数学适应性试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设全集，集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  复数是虚数单位的虚部是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了某城市户居民的月平均用电量单位：度，以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．该样本数据的分位数大约是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  的展开式中，的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在直三棱柱中，点，分别是棱，的中点，则下列结论中不正确的是(    )

 

A. 平面 B. 平面
C. 平面 D. 平面

6.  已知双曲线：的一条渐近线过点，为右焦点，，则焦距为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在核酸检测时，为了让标本中的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用技术对进行快速复制扩增数量．在此过程中，的数量单位：与扩增次数满足，其中为的初始数量．已知某待测标本中的初始数量为，核酸探针能检测到的数量最低值为，则应对该标本进行扩增的次数至少为参考数据：，(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数图象上相邻的两条对称轴之间的距离为，且若将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象(    )

A. 关于点对称 B. 关于点对称
C. 关于直线对称 D. 关于直线对称

9.  已知圆：，圆：，过动点分别作圆、圆的切线，为切点，使得，则动点的轨迹方程为(    )

A.  B.
C.  D.

10.  已知椭圆的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点为，则直线的斜率为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  在菱形中，，点在菱形所在平面内，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  若对，恒有，则正数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  在一次教学质量调研测试中，某学校高三有名学生，全部学生的数学成绩服从正态分布，若，且，则本次测试数学成绩在到之间的学生约有______人．

14.  从装有个红球和个蓝球除颜色外完全相同的盒子中任取两个球，则在选到的两个球颜色相同的条件下，都是红球的概率为______．

15.  已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，交抛物线的准线于，且满足，则的长等于______．

16.  如图，在正方体中，，，分别为棱，，上的点与正方体顶点不重合，过作平面，垂足为设正方体的棱长为，给出以下四个结论：
若，，分别是，，的中点，则；
若，，分别是，，的中点，则用平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形一定是等边三角形；
可能为直角三角形；
．
其中所有正确结论的序号是______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知正项等比数列的前项和为，，且，，成等差数列．
求数列的通项公式；
设数列满足，求数列的前项和
 

18.  本小题分
数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为年中国在线直播用户规模单位：亿人，其中年年对应的代码依次为．

由上表数据可知，可用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程的值精确到；
已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为，现从中国在线直播购物用户中随机抽取人，记这人中选择在品牌官方直播间购物的人数为，若，求的分布列与期望．
参考数据：，，，其中．
参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

19.  本小题分
在四棱锥中，四边形为平行四边形，是等边三角形，．
证明：；
若，，求二面角的正弦值．

20.  本小题分
已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，，分别是椭圆的右顶点和上顶点，三角形的面积为为坐标原点．
求椭圆的标准方程；
若直线交椭圆于，两点，且三角形的面积是，设直线的斜率为，直线的斜率为，问：与的乘积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

21.  本小题分
已知函数，．
若函数的图象在点处的切线方程为，求实数的值；
若函数在定义域内有两个不同的极值点，．
(ⅰ)求实数的取值范围；
(ⅱ)当时，证明：．

22.  本小题分
在直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同单位长度，直线的极坐标方程为．
Ⅰ求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
Ⅱ求曲线上的点到直线距离的最小值．

23.  本小题分
已知函数的最大值为，正实数，满足．
若不等式有解，求的取值范围；
当时，对任意正实数，，证明：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：全集，集合，，
，
．
故选：．
推导出，由此能求出．
本题考查补集、并集的求法，考查补集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
的虚部为．
故选：．
结合复数的四则运算，先对原式化简，再结合虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由直方图的性质可得：，
解得，
由已知，设该样本数据的分位数大约是，由，
解得，
故选：．
由已知，可通过频率分布直方图的性质求解出的值，然后设出样本数据的分位数为，根据题意列出等量关系，求解即可．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数的估计，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：二项式的展开式中含的项为，
所以的系数为，
故选：．
利用二项式定理求出展开式中含的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查线面平行的判定定理，属基础题．
线面平行的判定定理逐项判断即可．
【解答】
解：在直三棱柱中，可得，平面，平面，
平面，故A正确；
平面，在直三棱柱中，可得平面平面，
所以平面，故B正确；
取中点，又是中点，所以，且，
又是棱的中点，所以，1
​​​​​​​，，
所以四边形是平行四边形，所以，平面，平面，
平面，故C正确；
因为，但，所以所在直线与所在直线相交，
从而有不平行于，故D错误．
故选：．
  

6.【答案】 

【解析】解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为，点在一条渐近线上，
所以，则，进而可得，
由，可得．
，，
，解得，故．
故选：．
根据一条渐近线过点，可确定，再结合，结合双曲线中，，的关系，可求．
本题主要考查双曲线的几何性质，属基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查对数函数的实际应用，属于基础题．
由题意可知，，，令，结合对数函数的公式，解出，即可求解．

【解答】

解：由题意可知，，，
令，得，两边同时取对数可得，，
所以．
故选B．

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
由函数的图象与性质求出、和，写出函数的解析式，
再求的对称轴和对称中心．
【解答】
解：由函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，
可知其周期为，所以，
所以；
将函数的图象向左平移个单位后，
得到函数图象．
因为得到的图象关于轴对称，
所以，，
即，；
又，所以，
所以，
令，，
解得，；
时，得的图象关于点对称，A正确．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：由得，
因为两圆的半径均为，则，
则，
即，
所以点的轨迹方程为，
故选：．
由条件结合圆的切线性质可得出，结合两点间的距离公式可得出答案．
本题考查了轨迹方程，圆的切线性质，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：设，，则的中点坐标为，
由题意可得，，
将，的坐标的代入椭圆的方程：，
作差可得，
所以，
又因为离心率，所以，
所以，即直线的斜率为，
故选：．
设，的坐标，代入椭圆的方程，作差可得直线的斜率的表达式，再由椭圆的离心率可得，的关系，进而求出直线的斜率．
本题考查椭圆的性质及点差法求直线的斜率，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由菱形中，，可得且，
设，交于点，以为坐标原点，直线，分别为轴，轴建立直角坐标系，如图，
取中点，则，
设，
则
，
所以当时，取得最小值，
故选：．
根据题意，设，交于点，以为坐标原点，直线，分别为轴，轴建立直角坐标系，利用坐标法求解即可．
本题考查了平面向量数量积的最值问题，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：首先将原不等式转化为，即，
即，
即，
构造，
故原不等式转化为，
，，
令，解得，
故在递减，单调递增，
故，
故在恒成立，
故在单调递增，
故，
故，
构造，，
令，解得：，，解得，
故在单调递增，单调递减，
故在取最大值，，
故的取值范围是
故选：．
首先将原不等式转化为：，转化为，构造，利用的单调性判断即可．
本题主要考查利用构造函数利用导函数研究函数单调性，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
本次测试数学成绩在到之间的学生约有人，
故答案为：．
根据正态分布的定义，结合总概率为即可求出结果．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：从装有个红球和个蓝球除颜色外完全相同的盒子中任取两个球，
选到的两个球颜色相同的情况有种，
都是红球的情况有种，
所以在选到的两个球颜色相同的条件下，都是红球的概率为．
故答案为：．
根据条件概率公式计算即可．
本题考查条件概率，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：过，，作抛物线准线的垂线，垂足依次为，，，

则，，，
由，．
故答案为：．
过，，作抛物线准线的垂线，垂足依次为，，，利用抛物线的定义及相似可得答案．
本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：对于，因为，，分别是，，的中点，所以，
因为，平面，所以，
又因为，
所以，
即，
，故正确；
对于，均为各棱中点，平面平面，平面为正六边形，故错误；
对于，不妨设，，，
由于，，，
根据勾股定理：，，，
若是直角三角形，若是直角，则，即，则．
由于，，不与定点重合，故不可能为，其他两角，同理可证．故错误；
对于，如右图，设，，，设，，，，
则，，，
，

，
，
再根据三棱锥的等体积算法可得，
，，，，
，
，
故正确，
故答案为：．
对于，利用等体积法可求得；
对于，利用平面和平面平行可得截面不一定是三角形；
对于，利用反证法求解；
对于，利用等体积算法求解．
本题考查正方体中各棱长、对角线长、点到平面的距离等关系，等体积法求点面距离，等体积算法，属中档题．
 

17.【答案】解：设正项等比数列的公比为，，
由，且，，成等差数列，可得，
即有，解得，
则；
，
所以
 

【解析】设正项等比数列的公比为，，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求；
求得，由数列的分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等比数列和等差数列的通项公式、求和公式的运用，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：设，则，
因为，
所以，
把代入，
得，
即关于的回归方程为；
解：由题意知，
，
由得，
所以，的取值依次为，，，，，
，
，
，
所以的分布列为

． 

【解析】根据题意，进而结合已知数据和公式计算即可得；
由题意知，再根据二项分布概率公式，结合得，再根据二项分布概率公式求解分布列与期望．
本题考查了回归方程以及离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
 

19.【答案】证明：取的中点，连接，，

是等边三角形，
，又，，
平面，又平面，
，又为的中点，
；
解：，，是等边三角形，
，
，又，，
平面，
如图建立空间直角坐标系，

则，
，
设平面的法向量为，
则，令，，则，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，
，
，
，
二面角的正弦值为． 

【解析】取的中点，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可得，即证；
由题可得，可得平面，建立坐标系，利用坐标法即得．
本题考查了线面垂直的判定定理以及二面角的求解，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意得，
所以，
而，所以，
故椭圆的标准方程为：．
当直线的斜率不存在时，设，代入椭圆方程得，
所以，
得，
所以，或，，
此时．
当直线的斜率存在时，设为，与轴交点为，
设，，联立，
得，
，
所以，
所以，
，
即，
所以，
所以
，
综上：与的乘积为定值． 

【解析】通过点在曲线上，求解，利用三角形的面积求解，得到椭圆方程．
当直线的斜率不存在时，设，通过三角形的面积求解，然后求解斜率乘积．
当直线的斜率存在时，设为，与轴交点为，设，，联立，利用韦达定理结合三角形的面积，转化求解斜率乘积，推出结果．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

21.【答案】解：因为，则，
又，所以在点处的切线方程为，即，
又该切线为，则且，所以；
函数定义域为，
因为函数在内有两个不同的极值点，，
即等价于函数在内有两个不同的零点，．
设，由，
当时，，在上单调递增，至多只有一个零点；
当时，在上，单调递增；
在上，单调递减，
所以，当时，，
函数有两个零点，则必有，
即，解得，
又，
易证，证明如下：
令，
当时，，单减，当时，单增，
故，
故，得证．，
所以在和上各有一个零点，故有两个零点时，
的范围为，故；
证明由可知，是的两个零点，不妨设，
由且，得．
因为，
令，则，
记，
由，令，．
又，则，即，
所以在上单调递增，故，即成立．
所以不等式成立． 

【解析】利用切线方程可得，，即可求；
要使在定义域内有两个不同的极值点，，需满足在内有两个不同的零点，，设，得，通过分类讨论参数，可求的取值范围；
可设，由转化得，要证即证，令，通过构造，结合即可求证．
本题考查利用导数研究函数的最值，考查学生的综合能力，属于难题．
 

22.【答案】解：Ⅰ由曲线的参数方程为，为参数，消去参数得
的普通方程为．
由直线的极坐标方程可得：直线的直角坐标方程为．
Ⅱ设曲线的参数方程为为参数，
设为曲线上一点，到直线的距离为
则，
当时，取到最小值．
． 

【解析】Ⅰ直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
Ⅱ利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出最小值．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

23.【答案】解：由绝对值不等式得，
故，
当且仅当时取“”，
所以不等式有解的充要条件是，解得或，
故实数的取值范围为．
证明：由题可得，
当且仅当时取“”，故，
所以，，
因为，
所以，
故． 

【解析】利用绝对值三角不等式，即可求解．
先利用绝对值三角不等式求得最大值，再利用作差法，即可求解．
本题主要考查不等式的证明，考查绝对值不等式的解法，属于中档题．