2023年广东省佛山市南海区石门中学三模数学试题(含答案)

绝密启用前

2022—2023学年度第二学期第四次教学质量检测

九年级数学试卷

考试范围：初中数学；考试时间：90分钟；命题人：rxh  审核人：shc

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。）

1．下列计算正确的是（    ）

A．（－1）2023＝－2023 B．－32＝9 C． D．（a3）2＝a6

2．下列图形中有稳定性的是（    ）

A．三角形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形

3．如图，直线，∠1＝60°，∠2＝40°，则∠3＝（    ）

A．40° B．50° C．60° D．80°

4．如图为张小亮的答卷，他的得分应是（    ）

A．100分 B．80分 C．60分 D．40分

5．如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的动点，点Q是BC上的定点，连接AP，PQ，E，F分别是AP，PQ的中点，连接EF．点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度（    ）

A．保持不变 B．逐渐变小 C．先变大，再变小 D．逐渐变大

6．如图，已知菱形OABC顶点O与原点重合，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（－3，4）．现将菱形OABC向右平移，使点C移动到点A原来位置，得到菱形DEFA，则点E的坐标为（    ）

A．（3，4） B．（6，4） C．（9，4） D．（12，4）

7．在一个不透明的袋子中装有质地相同的若干个黄球和8个白球，若从中摸出黄球的概率为，则袋中共有球（    ）

A．15个 B．10个 C．12个 D．8个

8．如图，将的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1等于（    ）

A．110° B．35° C．70° D．55°

9．已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（    ）

A．图象必经过点（1，2）  B．y的值随x值的增大而减小

C．图象在第一、三象限内  D．若x＞1，则0＜y＜2

10．如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值．下列各选项中，正确的是（    ）

A．函数的图象开口向上 B．函数的图象与x轴无交点

C．函数的最大值大于6 D．当－1≤x≤2时，对应函数y的取值范围是3≤y≤6

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11．计算：_____________．

12．请写出一个含字母x和y，系数为3，次数为3的单项式：____________．

13．如图，菱形OABC中，AB＝4，∠AOC＝30°，OB所在直线为反比例函数的对称轴，当反比例函数（x＜0）的图象经过A、C两点时，k的值为______________．

14．一元二次方程（2x＋1）2－81＝0的根是_______________．

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2．将△ABC绕点B顺时针方向旋转到的位置，此时点恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为______________（结果保留）

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（本小题8.0分）解不等式组

17．（本小题8.0分）先化简，再求值：，其中x＝3．

18．（本小题8.0分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10．

（1）尺规作图：（要求保留作图痕迹，不写作法）在AC上确定一点D，使D到CB、AB的距离相等；

（2）在（1）的条件下，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，则△ADE的周长为______________．

19．（本小题9.0分）南海区在推进“防范网络诈骗”的行动中，某街道对甲，乙两个小区各随机选择100位居民进行问卷调查，并将调查结果分为A表示“非常了解”，B表示“比较了解”，C表示“基本了解”，D表示“不了解”四个等级进行统计分析，并绘制如下的统计图．

（1）若甲小区共有常住居民1000人，请估计整个中小区达到“非常了解”的居民人数．

（2）若给A，B，C，D四个等级分别以5，3，1．0进行赋分，请结合你所学习的统计知识，选出你认为防范网络诈骗普及工作更出色的小区？通过计算并用合适数据多角度说明．

20．（本小题9.0分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，连接AC．作点B关于直线AP的对称点，作射线交边AD于点E．如图1，作交BC于点F．

（1）求证：四边形AFCE为菱形；

（2）求线段DE的长．

21．（本小题9.0分）冰墩墩、雪容融分别是2022年冬奥会的吉祥物．小雅在某网店选中这两种玩偶．决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．

（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？

（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？

22．（本小题12.0分）如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC，经过点C作直线MN，∠ACB＝∠ACM，直径BD的延长线交直线MN于点E．

（1）求证：MN为⊙O的切线；

（2）若，，求DE的长．

23．（本小题12.0分）已知：如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作，交BC于点E，连接CQ．求tan∠EQB；

（3）在（2）的条件下，设点Q的横坐标为m，△CQE的面积为S，求S关于m的函数关系式；当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标．

答案和解析

1．D  2．A  3．D  4．B  5．A  6．C  7．B  8．C

9．【答案】B

【解析】解：A、反比例函数，所过的点的横纵坐标之积＝2，此结论正确，故此选项不符合题意；

B、反比例函数，在每一象限内y随x的增大而减小，此结论错误，故此选项符合题意；

C、反比例函数，图象在第一、三象限内，此结论正确，故此选项不合题意；

D、反比例函数，当x＞1时图象在第一象限，y随x的增大而减小，故x＞1时0＜y＜2；

故选：B．

10．【答案】C

【解析】解：设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c．由题意知，解得，

∴二次函数的解析式为，

A．函数的图象开口向下，故本选项不合题意；

B．函数的与x轴的交点为（4，0）和（－1，0），故本选项不合题意；

C．当时，函数有最大值为，大于6，故本选项符合题意；

D．当－1≤x≤2时，对应函数y的取值范围是，故D选项不合题意．

故选：C．

11．     12．3x2y（答案不唯一）

13．【答案】

【解析】解：作CD⊥x轴于D，

∵菱形OABC中，∠AOC＝30°，∴∠BOC＝15°，

∵OB所在直线为反比例函数的对称轴，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝30°，

∵OC＝AB＝4，∴，，∴，

∵反比例函数的图象经过C点，

∴，

故答案为．

14．【答案】x1＝4，x2＝－5

15．【答案】

16．【答案】解：

解不等式①得x≥－1，

解不等式②得x＜3，

∴原不等式组的解集是－1≤x＜3，

∴原不等式组的整数解是－1，0，1，2，

∴所有整数解的和－1＋0＋1＋2＝2．

17．【答案】解：原式，

当x＝3时，原式

18．【解答】解：（1）如图：点D即为所求；

（2）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，

∴BC＝8，∴AD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，

∵∠C＝90°＝∠BED，∴△BCD≌△BED（AAS），

∴CD＝DE，BC＝BE，∴EA＝BA－BE＝BA－CB＝2，

∴△ADE的周长为：AD＋DE＋AE＝AD＋CD＋AE＝AC＋AE＝6＋2＝8，

故答案为：8．

19．【答案】解：（1）（人），

即估计整个甲小区达到“非常了解”的居民人数为300人；

（2）乙小区为防范网络诈骗普及工作更出色的小区，理由如下：

甲平均数：（分）．

乙平均数：5×25%＋3×35%＋1×30%＋0×10%＝2.6（分）．

甲中位数为（分），乙中位数为3分；

甲众数为1分，乙众数为3分；

故从平均数、中位数、众数来看，均是乙小区更出色．

20．【解答】（1）①证明：如图1，连接，

∵四边形ABCD是矩形，点P与点C重合，

∴，∵，

∴四边形AFPE为平行四边形，∵点B与点关于直线AP对称，

∴AC垂直平分，∴，

∴，∵∠PAD＝∠APB，∴，

∴AE＝PE，∴四边形AFPE为菱形．

②解：∵CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∴PD＝CD＝6，AE＝PE＝8－DE，

∵∠D＝90°，∴PD2＋DE2＝PE2，

∴62＋DE2＝（8－DE）2，解得，

∴线段DE的长是．

21．【答案】解：（1）设冰墩墩的进价为x元/个，雪容融的进阶为y元/个，

由题意可得：，解得，

答：冰墩墩的进价为72元/个，雪容融的进阶为64元/个；

（2）设冰墩墩购进a个，则雪容融购进（40－a）个，利润为w元，

由题意可得：w＝28a＋20（40－a）＝8a＋800．

∴w随a的增大而增大，

∵网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，

∴a≤1.5（40－a）．解得a≤24，

∴当a＝24时，w取得最大值，此时w＝992，40－a＝16，

答：冰墩墩购进24个，雪容融购进16个时才能获得最大利润，最大利润是992元．

22．【解答】（1）证明：连接OA，交BC于H，

∵AB＝AC，∴，∴OA⊥BC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，

∵∠ACB＋∠OAC＝90°，∴∠ACB＋∠OCA＝90°，∵∠ACB＝∠ACM，

∴∠ACM+OCA＝90°，∴半径OC⊥NM，∴MN为⊙O的切线；

（2）解：连接DC，

∵OA⊥BC，∴，

∵，∴，

设⊙O的半径是r，∵，∴，

∴r＝3，∴OH＝OA－AH＝3－2＝1，

∵O，H分别是BD，BC中点，∴CD＝2OH＝2，

∵MN是⊙O的切线，∴∠DCE＝∠EBC，∵∠CED＝∠CEB，∴△ECD∽△EBC，

∴

令ED＝x，则，EB＝x＋6，

∴，∴，∴．

23．【答案】解：（1）把C（0，4），A（4，0）代入y＝ax2－2ax＋c（a≠0）得，c＝4，16a－8a＋c＝0，

解得，c＝4，

∴该抛物线的解析式：；

（2）设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，如图，

解方程得x1＝－2，x2＝4，

∴B点坐标为（－2，0），∴AB＝6，BQ＝m＋2，

∵，∴△BEQ∽△BCA，∴，

又∵，∴△BEG∽△BCO，∴，

∴，∴，

∴

又∵－2≤m≤4，

当m＝1时，有最大值为3，此时Q点的坐标为（1，0）．