2022北京丰台高一（上）期中数学（A卷）（教师版）

2022北京丰台高一（上）期中

数    学（A卷）

练习时间：120分钟

第Ⅰ卷（选择题共40分）

一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

（1）已知集合，，则                       

（A）       （B）       （C）      （D）

（2）已知命题，，则是

（A），                （B），

（C），              （D），

（3）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是

（4）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是

（5）函数的图象大致为

（A）                                 （B）

（C）                                  （D）

（6）已知函数，则“”是“是幂函数”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（7）已知，则下列命题正确的是

（A）若，则          （B）若，则

（C） 若，则            （D） 若，则

（8）在新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（，为常数）.已知第天检测过程平均耗时为小时，第天和第天检测过程平均耗时均为小时，那么第天检测过程平均耗时大致为

（A）小时 （B）小时 （C）小时   （D）小时

（9）已知，且，则下列不等式中一定成立的是

（10）已知定义域为的函数满足以下条件:

 ①；

②；

    ③.

则成立的的取值范围是

第II卷（非选择题共110分）

二、填空题:共5小题，每小题5分，共25分.

（11）函数的定义域为   .

（12）   .

（13）能够说明“设是任意实数.若，则”是假命题的一组整数的值依次为   .

（14）已知方程的两个实数根分别为，则不等式的解集为   ．

（15）设集合为实数集的非空子集.若对任意，都有，，，则称为封闭集．有以下结论：

①为封闭集；

②若为封闭集，则一定有；

③存在集合，不为封闭集；

④若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.

其中所有正确结论的序号是___________．

三、解答题:共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

（16）（本小题13分）

已知集合，.

（Ⅰ）当时，求，；

（Ⅱ）若，求实数的取值范围．

（17）（本小题15分）

已知函数.

（Ⅰ）判断的奇偶性；

（Ⅱ）根据定义证明函数在区间上是增函数；

（Ⅲ）当时，求函数的最大值及对应的的值．（只需写出结论）

（18）（本小题14分）

已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．

（Ⅰ）已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间；   

（Ⅱ）写出函数的解析式和值域；   

（Ⅲ）若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的值.（只需写出结论）

（19）（本小题14分）

      已知函数.

（Ⅰ）若函数满足______（从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件），求函数的解析式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当时，函数的图象恒在图象的下方，试确定实数的取值范围.

条件①：函数的最小值为；

条件②：不等式的解集为；

条件③：方程的两根为，且.

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

（20）（本小题14分）

已知函数.

（Ⅰ）证明：为函数的一个零点；

（Ⅱ）求关于的不等式的解集．

（21）（本小题15分）

经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2022年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，在网上对其所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量万件与促销费用万元（）满足（为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的销售量只能是1万件.已知生产该批产品固定成本为6万元（不含促销费用），每生产1万件该产品需要再投入9万元；厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求． 

（Ⅰ）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；

（Ⅱ）当促销费用投入多少万元时，厂商的利润最大？并求出最大利润.

（考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效）

参考答案

        第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、    选择题（每小题4分）

         第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题（每小题5分，共25分）

（注：15题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.)

三．解答题（共85分）

（16）（本小题13分）

解：（Ⅰ）因为时，所以，              

所以，              

.         ………………………6分

（Ⅱ）因为，          

所以或，        

得或.                  ………………………13分

（17）（本小题15分）

解：（Ⅰ）函数的定义域为，

         因为，  

所以是奇函数.               ………………………4分

证明：（Ⅱ），且，              

则

.

因为，且，

所以，，，

所以，                 

所以函数在区间上是增函数. ……………11分

解：（Ⅲ）当时，函数的最大值为.…………………15分

（18）（本小题14分）

解：（Ⅰ）

单调递增区间为.     ………………………4分

（Ⅱ）设，则 ，所以，

因为是定义在上的偶函数，

所以，

所以当 时，.   

故的解析式为

值域为.                    ………………………10分

（Ⅲ）                               ………………………14分

（19）（本小题14分）

解：（Ⅰ）选择条件①：

因为函数图象开口向上，对称轴为，

所以当时，函数的最小值为，

即，

得.

所以的解析式为. ……………………6分

选择条件②：

因为不等式的解集为，

所以为方程的根，

所以，

解得.

所以的解析式为.……………………6分

选择条件③：

因为方程的两根为，且，

所以，

得，

由根与系数的关系得，.

因为，

所以，

解得，符合题意.

所以的解析式为.……………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

当时，的图象恒在图象的下方，故，即，

整理得.

令，

只需.

当时，，

所以.                          ………………………14分

（20）（本小题14分）

证明：（Ⅰ）因为

所以为函数的一个零点.    ……………………4分

解：（Ⅱ）若，则，得；

若，则方程的两根分别为.

当时，，或；

当时， ，；

当时，，；

当时，，.

综上：

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为. ……………………14分

（21）（本小题15分）

解：（Ⅰ）由题意，当时，，故 ，

解得，故.

因为每件产品的销售价格为（元），

所以2022年的利润为

，

所以利润（万元）表示为促销费用（万元）的函数关系式为.…………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知.  

因为，所以，

所以，

所以 .

当且仅当时，等号成立，

解得.

所以当促销费用投入万元时，厂商获得的利润最大，最大利润为万元.………………15分