2021北京八十中高一（上）期中数学（教师版）

这是一份2021北京八十中高一（上）期中数学（教师版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021北京八十中高一（上）期中数    学一、选择题（本大题共11小题，每小题4分，共44分）1．（4分）设集合，0，，，则　　A． B． C．， D．2．（4分）下列函数中是偶函数的是　　A． B． C． D．3．（4分）下面命题正确的是　　A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则4．（4分）是的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（4分）奇函数在区间，上是增函数，在区间，上的最大值为8，最小值为，则（6）的值为　　A．10 B． C．9 D．156．（4分）如图中阴影部分所表示的集合是　　A． B． C． D．7．（4分）函数是　　A．在定义内是增函数 B．奇函数 C．偶函数 D．非奇非偶函数8．（4分）已知，则的最小值为　　A． B．3 C．4 D．59．（4分）已知函数在区间上是减函数，又函数是偶函数，那么　　A．在区间内是减函数 B．在区间内是增函数 C．在区间内是减函数 D．在区间内是增函数10．（4分）向高为的水瓶中注水，注满为止．如果注水量与水深的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的　　A． B． C． D．11．（4分）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围　　A．， B．， C．， D．二、填空题（本大题共11个小题，每小题4分，共44分，把答案填在题中横线上）12．（4分）关于的不等式的解集是 　　．13．（4分）设集合，，则集合的真子集有 　　个．14．（4分）函数的零点有 　　个．15．（4分）函数的定义域是　　．16．（4分）设方程的解的个数为，则可能的值有 　　．17．（4分）写出函数的单调递增区间 　　．18．（4分）函数的值域是　　．19．（4分）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是 　　．20．（4分）用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，车厢的最大容积是 　　，此时高是 　　．21．（4分）已知，，若对，，，，使得，则实数的取值范围是 　　．22．（4分）已知函数，若，，，使得成立，则实数的取值范围是 　　．三、解答题：本大题有5小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.23．（12分）已知集合，．（1）当时，求，；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围．24．（12分）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如表：每户每月用水量水价不超过的部分3元超过但不超过的部分6元超过的部分9元（1）求出每月用水量和水费之间的函数关系；（2）若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为多少？25．（12分）已知函数．（1）当，，求的最小值；（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．26．（13分）已知函数是定义在上的奇函数，且．（1）求函数的解析式，以及零点；（2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（3）判断函数在区间上的单调性；（只需写出结论）（4）在所给出的平面直角坐标系上，作出在定义域上的示意图．27．（13分）已知集合，集合，2，，集合，1，，且集合满足，．（1）求实数的值；（2）对集合，，，，其中，2，，，定义由中的元素构成两个相合：，，，，，，其中是有序实数对，集合和中的元素个数分别为和，若对任意的，总有，则称集合具有性质．①请检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；②试判断和的大小关系，并证明你的结论．
参考答案一、选择题（本大题共11小题，每小题4分，共44分）1．【分析】根据的范围，找出与的交集即可．【解答】解：由，，，0，，，，故选：．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，，其定义域不关于原点对称，不是偶函数，不符合题意；对于，，其定义域为，，是偶函数，符合题意；对于，，是一次函数，不是偶函数，不符合题意；对于，，其定义域为，但，不是偶函数，不符合题意；故选：．【点评】本题考查函数奇偶性的判断，注意常见函数的奇偶性，属于基础题．3．【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：对于，若，当时，，故错误，对于，令，，满足，但，故错误，对于，令，，满足，但，故错误，对于，，，故正确．故选：．【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值是解本题的关键，属于基础题．4．【分析】根据一元二次方程的解，由充分必要条件的定义即可判断．【解答】解：把代入成立，所以“ “推出“”，的解为或，所以“”推不出“”，故“”是“”的必要不充分条件，故选：．【点评】本题考查充分必要条件的定义，一元二次方程的解，属于基础题．5．【分析】利用函数的奇偶性的性质直接求解即可．【解答】解：由于在，上为增函数，的最大值为（6），的最小值为（3），为奇函数，故（3），（6）．故选：．【点评】本题考查函数的最值的求法，函数的奇偶性的性质的应用，考查计算能力．6．【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分是中且不在、内部分所得，由韦恩图与集合之间的关系易得答案．【解答】解：由韦恩图可以看出，阴影部分是中且不在、内部分所得，即与的交集组成的集合，即：．故选：．【点评】本题主要考查了图表达集合的关系及运算．阴影部分在表示的图内，表示；阴影部分不在表示的图内，表示．7．【分析】由函数的单调性与奇偶性直接判断即可．【解答】解：函数的定义域为，是奇函数且在上单调递减．故选：．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，考查幂函数的性质，属于基础题．8．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：因为，则，当且仅当即时取等号，此时的最小值为3．故选：．【点评】本题考查基本不等式的性质，属于基础题．9．【分析】根据函数是偶函数，得到函数关于对称，结合函数对称性和单调性的关系进行转化判断即可．【解答】解：函数是偶函数，函数关于轴对称，即函数关于对称，函数在上是减函数，函数在上是增函数，故选：．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化判断是解决本题的关键．10．【分析】本题利用排除法解．从所给函数的图象看出，不是的正比例函数，由体积公式可排除一些选项；从函数图象的单调性及切线的斜率的变化情况看，又可排除一些选项，从而得出正确选项．【解答】解：如果水瓶形状是圆柱，，不变，是的正比例函数，其图象应该是过原点的直线，与已知图象不符．故错；由已知函数图可以看出，随着高度的增加也增加，但随变大，每单位高度的增加，体积的增加量变小，图象上升趋势变缓，其原因只能是瓶子平行底的截面的半径由底到顶逐渐变小．故、错．故选：．【点评】本题主要考查知识点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）等简单几何体和函数的图象，属于基础题．本题还可从注水一半时的状况进行分析求解．11．【分析】根据题意，由增函数的定义，分析可得不等式组，解可得的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数在上单调递增，则有，解可得；故选：．【点评】本题考查函数单调性的性质，涉及分段函数的单调性问题，注意函数单调性的定义，是中档题．二、填空题（本大题共11个小题，每小题4分，共44分，把答案填在题中横线上）12．【分析】由，得，解得，从而即可得出该不等式的解集．【解答】解：由，得，解得，所以该不等式的解集为．故答案为：．【点评】本题考查一元二次不等式的求解，考查学生的基本运算能力，属于基础题．13．【分析】求出的元素的个数，即可得出集合的真子集个数．【解答】解：，，，集合的真子集有个，故答案为：3．【点评】本题考查了集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．【分析】令，，则函数的零点有1个，即可得出答案．【解答】解：令，得，即，所以函数的零点有1个．故答案为：1．【点评】本题考查函数的零点，属于基础题．15．【分析】根据影响定义域的因素知，分母不为零，且被开方式非负，即，解此不等式组即可求得函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，须，解得且函数的定义域是，，．故答案为，，．【点评】此题是个基础题．考查函数定义域及其求法，注意影响函数定义域的因素有：分母不等于零，偶次方根的被开方式非负，对数的真数大于零等．16．【分析】在同一直角坐标系中，分别画出和的图象，由方程的解的个数，得与的交点个数为．【解答】解：在同一直角坐标系中，分别画出和的图象：可知方程解得个数为0或2或3或4，故答案为：0，2，3，4．【点评】本题考查函数的性质，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．17．【分析】由绝对值的意义和二次函数的单调性，可得所求增区间．【解答】解：函数，当时，，可得在，递增；当时，，可得在，递增．所以的递增区间为，，．故答案为：，和，．【点评】本题考查分段函数的单调区间的求法，以及二次函数的单调性，考查转化思想和运算能力，属于基础题．18．【分析】借助反函数的思想，用表示，注意到，故可以先解出，再利用函数的有界性求出函数值域．【解答】解：由，得，，解之得；故答案为：，．【点评】考查函数值域的求法，解决本题时易忽视函数的有界性，在数学中有很多问题看起来很相似，但解法有很大不同，要仔细区别，防止出错．19．【分析】根据充分不必要条件作答即可．【解答】解： “”是“”的充分不必要条件，即“”是“”的充分不必要条件，故答案为：，．【点评】本题属于简易逻辑中的易做题．20．【分析】设长方体长为，高为，则，再结合基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：设长方体长为，高为，则有，即，，当且仅当时，等号成立，，解得，，，当且仅当时，等号成立，故车厢的最大容积是，此时高是．故答案为：16，2．【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式是解本题的关键，属于基础题．21．【分析】将问题转化为求解的最小值和的最小值，然后利用基本不等式以及二次函数的性质分析求解即可．【解答】解：因为对，，，，使得，即，因为，，所以，当且仅当，即时取等号，所以，又，①当，即时，（1），则，解得，所以；②当，即时，，则，解得，所以；③当，即时，（3），则，解得，所以．综上所述，实数的取值范围为，．故答案为：，．【点评】本题考查了函数恒成立问题、存在性问题的求解，利用基本不等式求解最值的应用，二次函数图象与性质的应用，要掌握不等式恒成立问题与存在性问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，考查了分类讨论思想方法的运用，属于中档题．22．【分析】若，，，使得成立，则不是单调函数，结合二次函数和一次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下函数的单调性，综合讨论结果可得答案．【解答】解：由题意得，即在定义域内，不是单调的．分情况讨论：（1）若时，不是单调的，即对称轴在满足，解得：（2）时，是单调的，此时，为单调递增．最大值为（1）故当时，为单调递增，最小值为（1），因此在上单调增，不符条件．综合得：故实数的取值范围是故答案为：【点评】本题考查的知识点是函数的性质及应用，其中根据已知分析出函数不是单调函数，是解答的关键．三、解答题：本大题有5小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.23．【分析】（1）当时，，或，由此能求出结果．（2）时，，当时，，当时，，由此能求出实数的取值范围；（3）时，当时，，当时，或，由此能求出当时，实数的取值范围．【解答】解：（1）集合，．当时，，或，或，；（2），，当时，，解得，当时，，解得，综上，实数的取值范围是，；（3）时，当时，，解得，当时，或，解得或．当时，实数的取值范围是，．【点评】本题考查集合的运算，考查交集、并集、补集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．24．【分析】（1）根据表中数据，依次写出分段函数，即可求解．（2）根据（1）的函数，分类讨论，即可求解．【解答】解：（1）解：设用水量为，水费为元，当时，，当时，，当时，，故每月用水量和水费之间的函数关系为．（2）由（1）可得，当时，，不符合题意，舍去，当时，令，解得，符合题意，当时，，不符合题意，舍去，综上所述，此月此户居民的用水量为．【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握分段函数是解本题的关键，属于基础题．25．【分析】（1）求出函数的对称轴，分类讨论即可求出最小值；（2）方法一，分类讨论，再分离参数，根据函数的单调性即可求出；方法二：构造函数，则满足，解得即可．【解答】解：（1）函数的对称轴为，当时，函数在，上单调递增，则，当时，，当时，函数在，上单调递减，则（1），综上所述，；（2）方法一：当时，若不等式恒成立，，在，上恒成立，当时，此时，当时，，由于在，上为增函数，，即，当时，，由于在，上为增函数，，即，综上所述的取值范围为，．方法二：当时，若不等式恒成立，，在，上恒成立，即在，上恒成立，令，，（1），，（1），若，即时，（1），此时，则，解得，即若，即时，（1），此时（1），则，解得，即，综上所述的取值范围为，．【点评】本题考查二次函数闭区间的最值和单调性，分类讨论是解决问题的关键，属中档题．26．【分析】（1）由是定义在上的奇函数，得，即，又，解得，则可得的解析式和零点．（2）由函数的单调性定义，即可得出答案．（3）函数的区间为上单调递减，（4）由函数的性质，作出的图象，即可得出答案．【解答】解：（1）因为是定义在上的奇函数，所以，所以，又因为，解得，所以．当时，，当时，，所以只有一个零点0．（2）证明：设，则，因为，所以，，，所以，即，所以在上为增函数．（3）函数的区间为上单调递减，的图象如下：【点评】本题考查函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．27．【分析】（1）由，，可得，从而可求得的值，验证即可得结论；（2）①由（1）求得，，检验性质，即可得到结论；②分别证得和，从而可得．【解答】解：（1）已知集合，2，，集合，1，，由，，可得，即是方程的一个根，即，即，解得或．当时，方程为，解得或，此时，（不合题意，舍去）；当时，方程为，解得或，此时，符合题意．综上，．（2）①由（1）可知，1，2，，，1，2，，易得集合不满足性质，集合满足性质，则，，，，，．②与的大小关系为．证明如下：对于，根据定义知，，且，从而，如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立，故与也是的不同元素，可见中元素的个数不多于中元素的个数，即．对于，根据定义知，，且，从而，如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立，故与也是的不同元素，可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即．综上，．【点评】本题考查实数值、集合的求法，考查并集、交集、元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．