2021北京师大二附中高一（上）期中数学（教师版）

2021北京师大二附中高一（上）期中

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一.选择题（共10个小题，共40分）

1．（4分）若集合，，则等于　　

A． B． C． D．

2．（4分）若，，则下列不等式中必然成立的一个是　　

A． B． C． D．

3．（4分）设，，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

4．（4分）设集合，，，，则它们之间最准确的关系是　　

A． B． C． D．

5．（4分）若，，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．（4分）已知函数，若是奇函数，且（1），则　　

A． B． C．1 D．3

7．（4分）已知函数，则“”是“，使”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．（4分）若关于的不等式在区间，上有解，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．，

9．（4分）已知函数，若对任意的有恒成立，则实数的取值范围是　　

A． B．， C． D．，

10．（4分）定义全集的子集的特征函数对于任意的集合、，下列说法错误的是　　)

A．若，则，对于任意的成立 

B．，对于任意的成立 

C．，对于任意的成立 

D．若，则，对于任意的成立

二、填空题（共5小题，共25分）

11．（5分）已知集合，，若，则　　．

12．（5分）若实数，满足，则的最小值为　　．

13．（5分）若，则的取值范围是　　．

14．（5分）设，集合，；若，　　．

15．（5分）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如表：

那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 　　元．

三、解答题

16．（7分）已知集合，．

（Ⅰ）若，全集，求；

（Ⅱ）从条件①和条件②选择一个作为已知，求实数的取值范围．

条件①：若；

条件②：若．

17．（8分）已知函数，为常数），（1），（2）．

（1）求函数的解析式；

（2）用定义证明：函数在区间上是减函数．

18．（10分）设函数．

（1）求对于一切实数，恒成立的充要条件；

（2）求对于一切实数，恒成立的一个充分非必要条件．

19．（10分）已知函数，．

（1）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；

（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

20．（10分）设是定义在上的奇函数，且当时，．

（1）求的解析式；

（2）若时，方程仅有一实根或有两个相等的实根，求实数的取值范围．

21．（10分）对于正整数集合，，，，如果去掉其中任意一个元素，2，，之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．

（1）判断集合，2，3，4，是否是“和谐集”（不必写过程）；

（2）请写出一个只含有7个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”；

（3）当时，集合，，，，，求证：集合不是“和谐集”．

参考答案

一.选择题（共10个小题，共40分）

1．【分析】进行交集的运算即可．

【解答】解：，，

．

故选：．

【点评】本题考查了描述法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．

2．【分析】根据题意取特殊值即可判断，利用不等式的基本性质即可判断．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，若，，，，满足，，但不满足，错误，

对于，若，，，，满足，，但不满足，错误，

对于，若，则，又由，则，正确，

对于，若，，，，满足，，但不满足，错误，

故选：．

【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题．

3．【分析】由不等式的性质结合充分必要条件的判定得答案．

【解答】解：由，得，即，由，得，则，

“”是“”的充分不必要条件，

故选：．

【点评】本题考查充分必要条件的判定，考查不等式的性质，是基础题．

4．【分析】由集合与的元素即可判断两集合的包含关系．

【解答】解：由集合得，，

则，，，，，，

由集合得，，

则，，，，，

则，

故选：．

【点评】本题考查元素与集合的关系，属于容易题．

5．【分析】充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果

【解答】解：，，，

，，即，

若，，则，

但，

即推不出，

是的充分不必要条件

故选：．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，均值不等式，考查了推理能力与计算能力．

6．【分析】先根据（1）可求出（1），再根据是奇函数，即可得出（1）．

【解答】解：（1）（1）；

（1）；

是奇函数；

（1）．

故选：．

【点评】考查奇函数的定义，以及已知函数求值的方法．

7．【分析】通过，判断函数对应的不等式有解，说明充分性；不等式有解，说明的值不一定小于0，判断必要性即可．

【解答】解：函数，则“”时，函数与 有两个交点，所以“，使成立．

而“，使”即，△，即，不一定有，

综上函数，则“”是“，使”的充分不必要条件；

故选：．

【点评】本题考查充要条件的判断与应用，二次函数与二次不等式的解集的关系，考查计算能力．

8．【分析】把不等式化为，求出在区间，上的最大值，即可得出实数的取值范围．

【解答】解：由，，不等式可化为，即；

设，其中在区间，上单调递减，

所以有最大值为（1）；

所以实数的取值范围是．

故选：．

【点评】本题考查了不等式成立的应用问题，也考查了转化与求解能力，是基础题．

9．【分析】根据函数的解析式判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用参数分离法转化为求函数的最值即可．

【解答】解：，

则函数在定义域为增函数，

且，

则函数为奇函数，

则若对任意的有恒成立，

等价为对任意的有，

即恒成立，

即恒成立，

，，

则，

故选：．

【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的常用方法．

10．【分析】根据题中特征函数的定义，利用集合交集、并集和补集的运算法则，对四个选项中的运算加以验证，即可得到答案．

【解答】解：对于，因为，若，则，

因为，

，

而中可能有中的元素，

但中不可能有中的元素，

所以，

即对于任意的，都有成立，

故选项正确；

对于，因为，

当某个元素在中且在中，

由于它在中，故，

而且，可得，

故选项错误；

对于，，

，

故选项正确；

对于，因为，

结合，

所以，

即，

故选项正确．

故选：．

【点评】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．

二、填空题（共5小题，共25分）

11．【分析】根据元素与集合的关系进行计算即可．

【解答】解：集合，，

，

即或，

可得或

当时，违背集合的互异性，

故答案为：．

【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．

12．【分析】由已知可得，代入要求的式子，由基本不等式可得．

【解答】解：，

，

当且仅当，即时取等号，

故答案为：．

【点评】本题考查基本不等式，属基础题．

13．【分析】由不等式的基本性质求解即可．

【解答】解：因为，

所以，，

所以，

又因为，

所以的取值范围是．

故答案为：．

【点评】本题主要考查不等式的基本性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．

14．【分析】先化简集合，，再结合题中条件：“”推知集合中元素的特点即可解决．

【解答】解：，，

得：

或．

，

集合中只能有元素或，

或2

故答案为1或2．

【点评】本题主要考查了交、并、补集的混合运算、空集的含义，属于基础题．

15．【分析】若涂料总费用最少，只需大面积粉刷便宜的即可．

【解答】解：由题意得：，

故答案为：1464．

【点评】本题考查了简单的线性规划问题，是一道基础题．

三、解答题

16．【分析】（Ⅰ）先求出集合，，然后由并集的定义求出，再利用补集的定义求解即可；

（Ⅱ）若选条件①：利用，可得，然后由集合子集的定义求解即可；

若选条件②：，由集合交集以及空集的定义列式求解即可．

【解答】解：（Ⅰ）当时，，

又，

所以，

故；

（Ⅱ）若选条件①：由，可得，

则，解得，

故的取值范围为，．

若选条件②：

由，则或，

解得或，

故的取值范围为，，．

【点评】本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握集合交集、补集、并集、子集的定义，属于基础题．

17．【分析】（1）利用（1），（2），列出关于，的方程组，求出，的值，即可得到答案；

（2）直接利用函数单调性的定义证明即可．

【解答】（1）解：函数，为常数），（1），（2），

则，解得，，

所以；

（2）证明：令，

则，

因为，

所以，，，

故，

所以函数在区间上是减函数．

【点评】本题考查了函数解析式的求解，函数单调性的证明，要掌握利用函数单调性定义证明函数单调性的一般步骤，考查了逻辑推理能力，属于基础题．

18．【分析】（1）通过对二次项系数是否为0讨论的范围，当时结合二次函数的性质求出的取值范围，再取并可得其充要条件；

（2）取，利用充分不必要条件的定义，检验即可．

【解答】解：（1）恒成立，

①由，得或1；

当时，恒成立，适合题意；

当时，不恒成立，不适合题意；

②时，恒成立，须满足，解得或，

综上，的充要条件是：或；

（2）由（1）知，时，恒成立，

而时，不一定是1，

故是的充分不必要条件．

【点评】本题考查函数恒成立问题，着重考查充分必要条件的定义，考查运算求解能力，属于中档题．

19．【分析】（1）将方程变形，利用已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程有且仅有一个等于1的解或无解，从而可求实数的取值范围；

（2）将不等式分离参数，确定函数的值域，即可求得实数的取值范围．

【解答】解：（1）方程，即，变形得，

显然，已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程有且仅有一个等于1的解或无解，

．（6分）

（2）当时，不等式恒成立，即对恒成立，

①当时，显然成立，此时；

②当时，可变形为，

令

因为当时，，当时，，所以，故此时．

综合①②，得所求实数的取值范围是．（12分）

【点评】本题考查构成根的问题，考查分离参数法的运用，考查恒成立问题，正确变形是解题的关键．

20．【分析】（1）根据奇函数的性质，当时，，结合当时，，可得出时的解析式，进而得到答案；

（2）问题即为方程仅有一个负实数或有两个相等的负实数根，然后分类讨论即可得出结论．

【解答】解：（1）是定义在上的奇函数，

，

当时，，又当时，，

，则，

综上，；

（2）当时，，则方程即为，则该方程仅有一个负实数或有两个相等的负实数根，

当，即时，此时方程有一正根，一负根，符合题意；

当，即时，此时方程即为，其解为0或，不合题意；

当，即，此时方程两根同号，需满足，解得；

综上，实数的取值范围为．

【点评】本题考查利用函数奇偶性求函数解析式，考查二次方程根的分布问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．

21．【分析】（1）根据定义，判断集合，2，3，4，不是“和谐集”；

（2）写出集合，3，5，7，9，11，，利用定义证明即可；

（3）假设集合是“和谐集”，结合定义推出矛盾，即可得证．

【解答】解：（1）对于集合，2，3，4，，当去掉元素2时，剩余的所有元素之和为13，

不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合，

所以集合，2，3，4，不是“和谐集”．

（2）集合，3，5，7，9，11，是“和谐集”，证明如下：

当去掉元素1时，有；

当去掉元素3时，有；

当去掉元素5时，有；

当去掉元素7时，有；

当去掉元素9时，有；

当去掉元素11时，有；

当去掉元素13时，有．

所以集合，3，5，7，9，11，是“和谐集”．

（3）证明：假设集合是“和谐集”，

不妨设，必能将集合，，，分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，

则有①，或②，

也必能将集合，，，分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，

则有③，或④，

由①③，得，矛盾，

由①④，得，矛盾，

由②③，得，矛盾，

由②④，得，矛盾，

所以假设不成立，

故当时，集合一定不是“和谐集”．

【点评】本题考查新定义的认识与理解能力，考查反证法的应用，属于难题．