2021北京四十三中高一（上）期中数学（教师版）

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2021北京四十三中高一（上）期中数    学班级             姓名               教育ID号试卷满分：150分  考试时间：120分钟第一部分（选择题  共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合，，那么集合等于（    ）A.  B.  C.  D. 2. 命题“，”的否定是A. ， B. ，C. ， D. ，3. 若，则下列不等式一定成立的是(    )A.  B.  C.  D. 4. 满足的集合的个数为（    ）A.  B.  C.  D. 5. 函数的定义域是(    )A.  B.  C.  D. 6. 下列函数中，在区间上为增函数是（    ）A.  B.  C.  D. 7. 下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ）A.  B.  C.  D. 8. 如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（    ）A  B.  C.  D. 9. 已知，则“”是“”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件10. 已知函数若关于的函数有且只有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 第二部分（非选择题  共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11. 已知方程的两根为，，则的值为______．12. 若 ，则的最小值为________________．13. 函数 ，则________；若则________．14. 已知函数为奇函数，且当时，，则_________.15. 二次不等式的解集是，则=___________.16. 函数满足下列性质：（）定义域为，值域为．（）图象关于对称．（）对任意，，且，都有．请写出函数一个解析式__________（只要写出一个即可）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17. 求下列不等式的解集：（1）；（2）；（3）．18. 求下列方程组的解集：（1）  ；（2）．19. 已知函数的定义域为集合A，．（1）求集合A；（2）若全集，，求；（3）若，求的取值范围．20. 已知全集，集合，．（1）当时，求，；（2）若，求实数的取值范围．21. 已知函数，其中．（1）当时，写出单调区间，并求的最小值；（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；（3）求关于的不等式的解集．22. 已知函数．（1）判断函数的奇偶性，并证明；（2）用函数单调性定义证明：在上为增函数；（3）求函数在区间上的最大值和最小值．
参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合，，那么集合等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】化简集合B，根据并集运算求解即可.【详解】因为，所以，故选：C【点睛】本题主要考查了并集的运算，属于容易题.2. 命题“，”的否定是A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】【详解】特称命题的否定是全称命题，改量词，且否定结论，故命题的否定是“”.本题选择C选项.3. 若，则下列不等式一定成立的是(    )A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质或取特殊值即可判断﹒【详解】若a＝0或b＝0，无意义，∴A错误；若a，b＜0，无意义，∴B错误；若，则，∴C错误；，则，∴D正确﹒故选：D﹒4. 满足的集合的个数为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用列举法求得集合的个数.【详解】由于，所以，共种可能.故选：C5. 函数的定义域是(    )A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】偶次开根，根号内为非负，据此列出不等式即可求得x的范围﹒【详解】或x≤－1，故选：B﹒6. 下列函数中，在区间上为增函数的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的单调性确定正确选项.【详解】A，在上递减，不合题意.B，开口向下，对称轴为，所以在区间上是增函数，正确.C，在上递减，不合题意.D，，在上递减，不合题意.故选：B7. 下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的值域和奇偶性确定正确选项.【详解】是非奇非偶函数，A错误，是偶函数，B错误，的值域为，C错误.的值域为，且为奇函数，D正确.故选：D8. 如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】二次函数与轴有两个交点,可知,求解即可.【详解】二次函数有两个不同的零点,则,解得或.故选:D.【点睛】本题考查二次函数的零点,考查学生的计算求解能力,属于基础题.9. 已知，则“”是“”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义，举特例判断可得；【详解】解：当，时，，但；当，时，，但；综上，“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D.【点睛】本题考查充分条件必要条件的判断，属于基础题.10. 已知函数若关于的函数有且只有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）A  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】函数零点的个数，即为函数与函数图象交点个数，结合函数图象可得实数的取值范围．【详解】因为关于的函数有且只有三个不同的零点，所以函数与函数图象有三个不同的交点，画出图象，如图：由图可知，当时，函数与函数图象有三个不同的交点，所以实数的取值范围是.故选：B【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.第二部分（非选择题  共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11. 已知方程的两根为，，则的值为______．【答案】7【解析】【分析】利用韦达定理即可求解.【详解】由韦达定理可知，，所以.故答案为：7.12. 若 ，则的最小值为________________．【答案】【解析】【分析】利用基本不等式求得最小值.【详解】，当且仅当时等号成立.故答案为：13. 函数 ，则________；若则________．【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】先求f(－2)，再求f(f(－2))即可；当f(x)＝3时，分x≤－1和x＞－1时进行讨论﹒【详解】，，又，当时，由得；当，时，有，得，舍．故x＝故答案为：14. 已知函数为奇函数，且当时，，则_________.【答案】【解析】【分析】根据函数为奇函数，由求解．【详解】因为函数为奇函数，且当时，，所以．故答案为：-215. 二次不等式的解集是，则=___________.【答案】【解析】【分析】由条件可得时方程的两个根，利用韦达定理建立方程解出即可.【详解】因为二次不等式的解集是所以时方程的两个根，所以解得，所以故答案为：16. 函数满足下列性质：（）定义域为，值域为．（）图象关于对称．（）对任意，，且，都有．请写出函数的一个解析式__________（只要写出一个即可）．【答案】【解析】【分析】根据二次函数的对称性、值域及单调性可得一个符合条件的函数式.【详解】由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式，此时对称轴为，开口向上，满足（），因为对任意，，且，都有，等价于在上单调减，∴，满足（），又，满足（），故答案为．【点睛】本题主要考查二次函数的对称性、二次函数的单调性以及二次函数的值域，意在考查综合运用所学知识，灵活解答问题的能力，考查了转化与划归思想、数形结合思想的应用，属于难题.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17. 求下列不等式的解集：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）    （2）或    （3）【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集.（2）根据绝对值不等式的解法求得不等式的解集.（3）根据分式不等式的解法求得不等式的解集.【小问1详解】依题意：，解集为.【小问2详解】依题意：或，或，解集为或.【小问3详解】依题意：,,,,解集为.18. 求下列方程组的解集：（1）  ；（2）．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用加减消元法求得正确结果.（2）利用代入消元法求得正确结果.【小问1详解】，①得：③，③②得：，代入①，，所以方程组的解集为.【小问2详解】由①得代入②，，，或，当时，，当时，，所以方程组的解集为.19. 已知函数的定义域为集合A，．（1）求集合A；（2）若全集，，求；（3）若，求的取值范围．【答案】（1）；    （2）；    （3）﹒【解析】【分析】(1)求出使f(x)有意义的x的范围即可；(2)先计算，再按交集的运算法则计算即可；(3)，据此即可求解a范围﹒【小问1详解】，，；【小问2详解】当时，，，；【小问3详解】，，，∴a求值范围是．20. 已知全集，集合，．（1）当时，求，；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；或    （2）【解析】【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得，.（2）根据列不等式组，由此求得的取值范围.【小问1详解】因为,所以或,当时，,所以,或【小问2详解】因为全集，所以集合．因为，所以，解得，所以．21. 已知函数，其中．（1）当时，写出单调区间，并求的最小值；（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；（3）求关于的不等式的解集．【答案】（1）单调递增区间；单调递减区间；最小值    （2）    （3）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称轴和开口方向求得单调区间以及最小值.（2）根据在区间上的单调性列不等式，由此求得的取值范围.（3）对进行分类讨论，由此求得不等式的解集.【小问1详解】当时，．开口向上，对称轴,单调递增区间,单调递减区间,所以，当时，取得最小值．【小问2详解】抛物线开口向上，对称轴，因为在上是减函数，，，所以取值范围是.【小问3详解】即．① 当时，的解集为；② 当时，的解集为；③ 当时，的解集为．22. 已知函数．（1）判断函数的奇偶性，并证明；（2）用函数单调性的定义证明：在上为增函数；（3）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）函数为奇函数；证明见解析    （2）证明见解析    （3）；【解析】【分析】（1）通过证明来证得为奇函数.（2）利用单调性的定义来证得在上为增函数.（3）根据的单调性来求得在区间上的最大值和最小值.【小问1详解】由已知，函数的定义域为．，都有，．所以函数为奇函数．【小问2详解】任取，且，则那么因为 ， 所以 ，，，所以 ，所以 ，所以 在上是增函数．【小问3详解】由第（1）（2）问可知函数在上是增函数，当时，的最小值为，当时，的最大值为.