2020北京西城高一（下）期末数学（教师版）

2020北京西城高一（下）期末

数    学

一､选择题

1. 下列各角中，与角终边相同的是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 圆柱的母线长为，底面半径为，则圆柱的侧面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. （    ）

A.  B.  C.  D.

4. 设，且，则（    ）

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

5. 设，均为单位向量，且，则（    ）

A. 3 B.  C. 6 D. 9

6. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量，的夹角为（    ）

A. 45° B. 60° C. 90° D. 135°

8. 设，，且，则下列不等关系中一定成立的是（    ）

A  B.  C.  D.

9. 将函数的图象向右平移()个单位，得到函数的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个小棱锥和一个棱台.小棱锥的体积记为y，棱台的体积记为x，则y与x的函数图象为（    ）

A.  B.

C.  D.

二､填空题

11. 已知圆的半径为2，则的圆心角所对的弧长为______.

12. 在平面直角坐标系中，角和角均以为始边，它们终边关于x轴对称.若，则______.

13. 向量，满足，.若，则实数______.

14. 已知正方体的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则球的直径是______；球的表面积是______.

15. 已知函数给出下列三个结论：

①是偶函数；

②有且仅有3个零点；

③的值域是.

其中，正确结论的序号是______.

16. 设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为______.

三､解答题

17. 已知，且.

（1）求的值；

（2）求的值.

18. 如图，正三棱锥底面边长为2，侧棱长为3.

（1）求正三棱锥的表面积；

（2）求正三棱锥的体积.

19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.

（1）求的值；

（2）若，求的面积.

20. 已知函数.

（1）求的定义域；

（2）求在区间上的最大值；

（3）求的单调递减区间.

21. 如图，在正方体中，E为的中点.

（1）在图中作出平面和底面交线，并说明理由；

（2）平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比.

22. 如图，在扇形中，，半径，P为弧上一点.

（1）若，求值；

（2）求的最小值.

2020北京西城高一（下）期末数学

参考答案

一､选择题

1. 【答案】D

【解析】

【分析】

写出与终边相同角的集合，取k值得答案.

【详解】与角终边相同的角的集合为，

取，可得.

∴与角终边相同的是.

故选：D

【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.

2. 【答案】A

【解析】

【分析】

根据圆柱的侧面积公式计算即可.

【详解】圆柱的母线长为，底面半径为，

则圆柱的侧面积为.

故选：A

【点睛】本小题主要考查圆柱的侧面积公式，属于基础题.

3. 【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用诱导公式得答案.

【详解】依题意.

故选：B

【点睛】本小题主要考查诱导公式，属于基础题.

4. 【答案】A

【解析】

【分析】

由已知角及范围，结合特殊角的三角函数值即可求解.

【详解】因为，且，

则或.

故选：A

【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题.

5. 【答案】B

【解析】

【分析】

利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.

【详解】，均为单位向量，且，

则.

故选：B

【点睛】本小题主要考查向量模的运算，属于基础题.

6. 【答案】C

【解析】

【分析】

利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.

【详解】解：在区间上，，没有单调性，故排除A.

在区间上，，单调递减，故排除B.

在区间上，单调递增，且其最小正周期为，故C正确；

根据函数以为最小正周期，的周期为，可排除D.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角函数的性质，掌握三角函数的基本性质是解题的关键，属于基础题.

7. 【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量的坐标表示，求得的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．

【详解】由题意，可得，，

设向量，的夹角为，则，

又因为，所以．

故选：A.

【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

8. 【答案】C

【解析】

【分析】

根据正弦函数以及余弦函数在上的单调性求解即可.

【详解】因，，且，

而在上有增有减；故与大小关系不确定，

在上单调递减；若，则成立；

故选：C

【点睛】本题主要考查了利用正余弦函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题.

9. 【答案】C

【解析】

【分析】

由图可知，，根据函数图象的平移变化法则可知，于是推出，即或，，再结合，解之即可得的值.

【详解】由图可知，，

因为的图象向右平移个单位，得到函数的图象，所以，

所以，

所以或，，

解得或，，

因，所以.

故选：C

【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.

10. 【答案】A

【解析】

【分析】

设棱锥的体积为V，则，即y是关于x的一次函数，且单调递减，故而得解.

【详解】设棱锥的体积为V，则V为定值，

所以，即y是关于x的一次函数，且单调递减，

故选：A

【点睛】本小题主要考查函数图象，属于基础题.

二､填空题

11. 【答案】

【解析】

【分析】

由已知结合弧长公式即可直接求解.

【详解】由弧长公式可得.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查弧长公式，属于基础题.

12. 【答案】

【解析】

【分析】

由题意可得，由此能求出结果.

【详解】∵在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于x轴对称，

∴，

故答案为：

【点睛】本小题主要考查三角函数的对称性，属于基础题.

13. 【答案】1

【解析】

【分析】

根据平面向量数量积的运算法则，可列出关于λ的方程，解之即可.

【详解】解：∵，∴，

即，解得.

故答案为：1.

【点睛】本题考查了向量垂直求参数，考查了向量数量积的定义，属于基础题.

14. 【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

首先求出外接球的半径，进一步求出球的表面积.

【详解】解：正方体的八个顶点在同一个球面上，

若正方体的棱长是2，

设外接球的半径为r，

则，解得，

故球的直径为.

球的表面积为.

故答案为：；.

【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的表面积公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

15. 【答案】②③

【解析】

【分析】

判断函数的奇偶性判断①；求出函数的零点判断②；函数的值域判断③.

【详解】函数，

①由于，所以是非奇非偶函数，所以①不正确；

②，可得，，，所以函数有且仅有3个零点；所以②正确；

③函数，的值域是，正确；

正确结论的序号是：②③.

故答案为：②③.

【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、零点、值域.

16. 【答案】2

【解析】

【分析】

由题意可得的最小值为，可得，，解方程可得的最小值.

【详解】解：若对任意的实数x都成立，

可得的最小值为，

可得，，

即有，，

由，

可得的最小值为2，此时.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.

三､解答题

17. 【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由已知利用同角三角函数基本关系式求得，再由商的关系求得；

（2）直接利用二倍角的正弦公式、降次公式求解.

【详解】（1）∵，且，

∴，

则；

（2）∵，，

∴

.

【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式.

18. 【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）取的中点D，连接，利用勾股定理求得，可得三角形的面积，进一步可得正三棱锥的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥的表面积可求；

（2）连接，设O为正三角形的中心，则底面.求解，再由棱锥体积公式求解.

【详解】（1）取的中点D，连接，

在中，可得.

∴.

∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，

∴正三棱锥的侧面积是.

∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴.

则正三棱锥的表面积为；

（2）连接，设O为正三角形的中心，则底面.

且.

在中，.

∴正三棱锥的体积为.

【点睛】本小题主要考查锥体的表面积和体积的求法，属于中档题.

19. 【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）先根据求得的值，再由得到，根据两角和与差的公式可求得即可；

（2）由可求得的值，进而根据正弦定理可求得a，c的关系，再由可求出a，c的值，最后利用三角形的面积公式即得结果.

【详解】解：（1）因为，，所以.

由已知得.

所以.

（2）由（1）知，所以且.

由正弦定理得.又因为，所以，.

所以.

【点睛】本题考查了三角形的正弦定理和面积公式，考查了同角三角关系和两角和与差的正弦公式，属于中档题.

20. 【答案】（1）；（2）1；（3）.

【解析】

【分析】

（1）由分母不为零得到，即求解.

（2）利用二倍角公式和辅助角法，将函数转化为，再利用余弦函数的性质求解.

（3）由（2）知，利用余弦函数的性质，令 求解.

【详解】（1）因，即，

解得，

所以的定义域是

（2）因为，

，

又，

所以，

，

所以区间上的最大值是1；

（3）令 ，

解得 ，

 所以的单调递减区间.是

【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，二倍角公式，辅助角法以及三角函数的性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.

21. 【答案】（1）答案见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）在正方形中，直线与直线相交，设，连接，可证平面且平面，得到平面平面；

（2）设，连接，证明，则平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台.设正方体的棱长为2.求出棱台的体积，由正方体体积减去棱台体积可得另一部分几何体的体积作比得答案.

【详解】（1）在正方形中，直线与直线相交，

设，连接，

∵，平面，则平面，

∵，平面，∴平面.

∴平面平面.

（2）设，连接，

由E为的中点，得G为的中点，

∴，则平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台.

设正方体的棱长为2.

.

∴另一部分几何体的体积为.

∴两部分的体积比为

【点睛】本小题主要考查面与面位置关系，考查几何体体积的求法.

22. 【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）先通过倒角运算得出，，再在中，由余弦定理可求得，然后根据平面向量数量积的定义，代入数据进行运算即可得解；

（2）以O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，其中，结合平面向量数量积的坐标运算，用含有的式子表示出，再利用三角恒等变换公式和正弦函数的图象即可得解.

【详解】（1）当时，如图所示，

∵，∴，，∴，

在中，由余弦定理，得

，

∴，

又，

∴

（2）以O为原点，所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，

∵，，∴，

设，其中，

则

.

∵，∴，，

∴当，即时，取得最小值为.

【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，考查平面向量的数量积，考查余弦定理，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．