2021北京首都师大二附中高一（下）期末数学（教师版）

这是一份2021北京首都师大二附中高一（下）期末数学（教师版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021北京首师二附中高一（下）期末数    学一、选择题1．已知复数（其中为虚数单位），的共轭复数在复平面内对应的点位于　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若向量，，，则　　A． B． C． D．3．函数是　　A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数4．已知等腰三角形顶角的余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为　　A． B． C． D．5．设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为　　A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定6．在平面直角坐标系中，已知两点，，则的值是　　A． B． C． D．17．在边长为1的正方形中，向量，，则向量，的夹角为　　A． B． C． D．8．已知，则“”是“为纯虚数”的　　A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件9．已知为虚数单位，下列说法中正确的有　　个（1）若复数满足，则复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上；（2）若复数满足，则复数；（3）复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模；（4）复数对应的向量为，复数对应的向量为，若，则．A．1 B．2 C．3 D．410．在中，，分别为内角，所对的边，，，若有两解，则的取值范围是　　A．， B． C．， D．，二、填空题11．（1）设复数（其中为虚数单位），则的虚部是 　　．（2）已知复数满足，则的取值范围为 　　．（其中为虚数单位）12．在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，的面积为 　　．13．已知函数．（1）　　；（2）时，的最小值为 　　．14．如图，中，为中点，，，则　　．15．设当时，函数取得最大值，则　　．16．已知是平面上一点，，．①若，则　　；②，则的最大值为　　．三、解答题17．已知，，且，，求的值及角．18．已知函数．（1）求的最小正周期和单调递减区间；（2）设是锐角，且，求的值．19．在中，．（1）若，求；（2）求的最大值．20．在中．，．（1）求的值；（2）如图所示，在直角坐标系中，点与原点重合，边在轴上，设动点在以为圆心，为半径的劣弧上运动．求的最小值．
参考答案一、选择题1．【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及几何意义，即可求解．【解答】解：，，复数在复平面内对应的点位于第三象限．故选：．【点评】本题考查了共轭复数的概念，以及几何意义，属于基础题．2．【分析】根据题意，依次分析选项，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项；对于，，有，不成立，错误，对于，，，故，正确；对于，由的结论，，错误；对于，，则，，错误；故选：．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．3．【分析】利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式，求出周期，判定奇偶性．【解答】解：由，，且奇函数，即函数是奇函数．故选：．【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，函数奇偶性的判断，是基础题．4．【分析】设出三角形的底角，表示出三角形的顶角，利用等腰三角形顶角的余弦值等于，即可求得结论．【解答】解：设三角形底角为，则顶角为为三角形的内角故选：．【点评】本题考查二倍角的三角函数，考查学生的计算能力，属于基础题．5．【分析】由条件利用正弦定理可得，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得，可得，由此可得的形状．【解答】解：的内角，，所对的边分别为，，，，则由正弦定理可得，即，可得，故，故三角形为直角三角形，故选：．【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．6．【分析】根据向量模的坐标表示，把已知两个点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简，进而求出向量模．【解答】解：，，．故选：．【点评】本题考查了向量模的坐标运算，即把点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简求值．7．【分析】以为坐标原点，以为轴，以为轴，建立直角坐标系，根据向量的夹角的公式计算即可【解答】解：设向量，的夹角为，以为坐标原点，以为轴，以为轴，建立直角坐标系，，，，，向量，，，，，，，，，，，，，故选：．【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量的夹角公式，属于中档题．8．【分析】由充分必要条件的判断方法，结合复数为纯虚数的条件判断即可．【解答】解：①对于复数，若，不一定为纯虚数，可以为0，充分性不成立，②若为纯虚数，设，，，，必要性成立，是为纯虚数的必要非充分条件．故选：．【点评】本题考查复数的基本概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题．9．【分析】由复数模的几何意义判断（1）；设，代入，整理后利用复数相等的条件判断（2）；由复数模的概念即可判断（3）；把已知等式两边平方，求得，从而得到判断（4）．【解答】解：（1）若复数满足，则复数対应的点在以为圆心，为半径的圆上，故（1）错误；（2）设，由，得，解得，，，故错误；（3）由的长度叫做复数的模，可知复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模，故（3）正确；（4）复数对应的向量为，复数对应的向量为，若，则，两边平方可得，，，故（4）正确．说法正确的有2个．故选：．【点评】本题考查复数的模，复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．10．【分析】由三角形的有两个解的条件可得，的关系，进而求出的范围．【解答】解：因为三角形有两个解，所以满足，所以，故选：．【点评】本题考查三角形的解的情况，属于基础题二、填空题11．【分析】（1）直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再得到的虚部；（2）由已知可得在复平面内对应点的轨迹，再由的几何意义，即单位圆上的点到点的距离求解即可．【解答】解：（1），的虚部为1；（2）由，可得在复平面内对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，的几何意义为圆上的点到点的距离，则最小值为，最大值为．的取值范围为，．故答案为：（1）1；（2），．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．12．【分析】利用正余弦定理结合可得，再根据可得，再利用三角形面积公式可求得．【解答】解：因为，由正弦定理可得，由余弦定理可得，又，所以，因为，所以，所以，故．故答案为：．【点评】本题考查正余弦定理的在解三角形中的应用，考查三角形面积的求法，考查数学运算的核心素养，属于中档题．13．【分析】（1）把代入解析式计算；（2）利用二倍角公式和和差角公式化简解析式，再通过换元把问题转化为一元二次函数的最值．【解答】解：（1）．（2），令，当时，，．所以函数转化为，，开口向上，且对称轴为．所以当时，有最小值为．故答案为：．【点评】本题考查换元法求函数的最值，考查三角恒等变换，属于基础题．14．【分析】利用三角形法则以及平面向量的数量积的运算性质化简即可求解．【解答】解：由图可知，故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积的性质以及运算，涉及到向量垂直的性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．15．【分析】解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由时，函数取得最大值，得到，与联立即可求出的值．【解答】解：方法一：（其中，，时，函数取得最大值，，即，又，联立得，解得．方法二：（其中，，因为当时，取得最大值，所以，所以，所以．故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．16．【分析】根据向量的几何意义作出几何图形，得出各点的位置关系，从而得出答案．【解答】解：①，为的靠近的三等分点，，，，，，．②，位于的中垂线上，当为的中点时，取得最大值2．，．【点评】本题考查了平面向量的线性运算，结合向量的几何意义求解，属于中档题．三、解答题17．【分析】利用二倍角的正切可求得，再由两角和的正切即可求得的值及角．【解答】解：，，又，，，，，，．【点评】本题考查两角和与差的正切函数，着重考查二倍角的正切与两角和的正切公式的应用，属于中档题．18．【分析】化简解析式得，（1）进而可得的最小正周期为，令，，解得函数的单调递减区间．（2）由，，进而可得的值．【解答】解：，（1）的最小正周期为，令，解得，所以函数的单调递减区间为，，．（2）因为，则，，，则，则．【点评】本题考查三角函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．19．【分析】（1）利用正余弦定理化简可得答案；（2）利用三角函数的有界限即可求解最大值．【解答】解：（1）．余弦定理可得：即由，正弦定理可得：．（2），，则的最大值为．【点评】本题考查三角函数的有界性，考查转化思想以及计算能力20．【分析】（1）利用向量的三角形法则及数量积运算求解即可；（2）由题意可得与的夹角为，利用向量的数量积及基本不等式即可求解最值．【解答】解：（1）因为在中．，，所以．（2）因为动点在以为圆心，为半径的劣弧上运动，，所以，所以与的夹角为，，当且仅当时等号成立，此时，所以的最小值为．【点评】本题主要考查平面向量数量积的性质及运算，基本不等式在求最值中的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题。