2021北京育英学校高一（下）期末数学（教师版）

2021北京育英学校高一（下）期末

数    学

一、选择题10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（4分）在复平面内，复数的共轭复数所对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．（4分）在中，若，，，则的大小为　　

A．3 B．4 C．5 D．6

3．（4分）若角的终边过点，则　　

A． B． C． D．

4．（4分）在中，，，，则　　

A． B．或 C． D．或

5．（4分）已知平面向量，满足，且，，则向量与的夹角为　　

A． B． C． D．

6．（4分）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则　　

A． B． C． D．

7．（4分）在中，已知，则此三角形是　　)

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．直角或等腰三角形

8．（4分）圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为，则表高（即的长）为　　

A． B． 

C． D．

9．（4分）设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

10．（4分）在平行四边形中，，，，若，分别是边，上的点，且满足，则的最大值为　　

A．2 B．4 C．5 D．6

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

11．（4分）若复数为纯虚数为虚数单位），则实数的值为　　．

12．（4分）已知向量，，，则为 　　

13．（4分）已知，则的值为 　　

14．（4分）已知函数，则　　；的最大值为 　　

15．（4分）已知中，点，，

若是直角，则　　

若是锐角三角形，则的取值范围是　　．

三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（8分）已知函数．

（1）求的最小正周期；

（2）求在区间上的最大值，并求出此时对应的的值．

17．（10分）在中，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，，求的面积．

18．（12分）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，，且，

（1）求角；

（2）若，判断的形状．

19．（10分）在中，角，，所对应的边分别为，，，时．

（1）若，求；

（2）记．

（ⅰ）当为何值时，使得有解；（写出满足条件的所有的值）

（ⅱ）当为何值时，为直角三角形；

（ⅲ）直接写出一个满足条件的值，使得有两解．

参考答案

一、选择题10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．【分析】先求出共轭复数，然后写出其对应的点，从而可得答案．

【解答】解：复数的共轭复数为，

对应的点为，

所以该点位于第四象限，

故选：．

【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．

2．【分析】可根据题意求出，然后根据正弦定理求出，进而得出，然后即可求出的值，然后根据余弦定理即可求出的大小．

【解答】解：在中，若，，，则，

根据正弦定理得，，解得，且，

，

，

在中，根据余弦定理得，，

．

故选：．

【点评】本题考查了正余弦定理，两角和的余弦公式，三角函数的诱导公式，考查了计算能力，属于中档题．

3．【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义求得，的值，然后展开二倍角的正弦求解．

【解答】解：角的终边过点，

．

，．

．

故选：．

【点评】本题考查三角函数值的求法，考查任意角的三角函数的定义，是基础题．

4．【分析】在中，利用正弦定理转化求解即可．

【解答】解：由，，，，则，

根据正弦定理得：，

为三角形的内角，或，

故选：．

【点评】此题考查了正弦定理以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

5．【分析】根据向量数量积的性质，得到，代入已知等式得．设与的夹角为，结合向量数量积的定义和，，算出，最后根据两个向量夹角的范围，可得与夹角的大小．

【解答】解：，

又，

，得，

设与的夹角为，

则，即，得

，，

故选：．

【点评】本题给出两个向量的模，并且在已知它们的和向量与其中一个向量数量积的情况下，求两个向量的夹角．着重考查了平面向量数量积的运算和两个向量夹角等知识，属于基础题．

6．【分析】根据平移变换法则求解解析式．

【解答】解：函数的图象向左平移个单位长度后，

可得；

故选：．

【点评】本题考查了函数的图象变换法则，属于基础题．

7．【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可求，结合角的范围及余弦函数的单调性即可得解，

【解答】解：在中，，

，可得：，

由正弦定理可得：，即：，

，，在单调递减，

，即三角形为等腰三角形．

故选：．

【点评】本题考查了正弦定理及三角函数恒等变换的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

8．【分析】先求出，然后利用正弦定理求出，再在中，求出．

【解答】解：由题可知：，

在中，由正弦定理可知：，即，

则，

又在中，，

所以，

故选：．

【点评】本题考查了解三角形，考查了学生数学建模思想，属于基础题．

9．【分析】“与的夹角为锐角” “”，“ ” “与的夹角为锐角”，由此能求出结果．

【解答】解：点，，不共线，

，，

当与的夹角为锐角时，，

“与的夹角为锐角” “”，

“” “与的夹角为锐角”，

设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的充分必要条件．

故选：．

【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．

10．【分析】设，建立如图所示的坐标系．，，，，

由，，可得，同理可得，再利用数量积运算性质和二次函数的单调性即可得出．

【解答】解：设，

建立如图所示的坐标系

，，，，

由，，

可得，

同理可得，

，

，的最大值是5，当且仅当、与点重合时取得最大值．

故选：．

【点评】本题考查了数量积运算性质和二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

11．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解值．

【解答】解：为纯虚数，

，解得．

故答案为：．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

12．【分析】根据题意，求出的坐标，进而由向量模的计算公式计算可得答案．

【解答】解：根据题意，向量，，，

则，，

则，

故答案为：．

【点评】本题考查向量模的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．

13．【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和万能公式的应用求出结果．

【解答】解：由于，

所以，，

所以，，

故．

故答案为：．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，万能公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

14．【分析】利用二倍角的余弦与配方法可得，从而可求得答案．

【解答】解：，

，

当时，取得最大值3，

故答案为：；3．

【点评】本题考查三角恒等变换及配方法的应用，考查余弦函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．

15．【分析】求出，，由是直角，则，由此能求出．

分别求出，，，，，，由是锐角三角形，得，由此能求出的取值范围．

【解答】解：中，点，，，

，，

是直角，

，

解得．

中，点，，，

，，，，，，

是锐角三角形，

，解得或．

的取值范围是，，．

故答案为：，，，．

【点评】本题考查向量的运算，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则的合理运用．

三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．【分析】（1）利用二倍角与辅助角公式可得，从而可求得的最小正周期；

（2），，利用正弦函数的单调性与最值可得答案．

【解答】解：（1），

的最小正周期；

（2），

，，

当，即时，取得最大值．

【点评】本题考查正弦函数的周期性与最值，考查二倍角与辅助角公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．

17．【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解，进而可求；

由余弦定理及基本不等式可求的范围，然后结合三角形的面积公式可求．

【解答】解：（Ⅰ）在中，由正弦定理，

因为，

所以，

因为，

所以，

所以，

因为，

所以，

（Ⅱ）因为，，由余弦定理，

可得，

所以，，

所以．

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．

18．【分析】（1）利用向量的垂直关系求得和的关系，根据两角和公式求得，进而求得．

（2）利用正弦定理求得把边的问题转化成角的正弦，然后利用两角和整理求得的值，进而求得，则利用三角形内角和求得．进而可判断出三角形的形状．

【解答】解：（1），

即有

，

（2），

，

得

当时，此时，为直角三角形；

当时，为直角三角形．

【点评】本题主要考查了三角形的形状的判断，正弦定理的应用和两角和公式的化简求值．考查了学生对三角函数基础知识的熟练掌握．

19．【分析】（1）利用余弦定理列式求解；（2）利用正弦定理，将表示成角的函数求值域；分为直角，为直角讨论；

中，，两点固定，点在运动，结合图象讨论．

【解答】解：（1）若，，，由余弦定理可得，

即，整理可得：，又

解得：；

（2），可得，

由正弦定理，

因为，所以，，故．

若为直角，则，所以；

若为直角，则，所以；

故的值为或．

结合图象，当点在线段，（不含端点）时，即当时，有两解，

此时．

故可取．

【点评】本题考查三角形解的个数问题，考查数形结合思想，属于中档题．