2022北京通州高一（下）期末数学（教师版）

2022北京通州高一（下）期末

数    学

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知向量，，且，则　　

A． B． C．1 D．4

2．已知复数（其中是虚数单位），则在复平面内对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．某市6月前10天的空气质量指数为35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，则这组数据的第75百分位数是　　

A．85 B．85.5 C．86 D．98.5

4．如图，在长方体中，则下列结论正确的是　　

A．点平面 

B．直线平面 

C．直线与直线是相交直线 

D．直线与直线是异面直线

5．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：

“点数不大于3”， “点数大于3”， “点数大于5”；

“点数为奇数”；

“点数为”，其中，2，3，4，5，6．

下列结论正确的是　　

A． B． 

C．与互斥 D．与互为对立

6．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有1个白色球，3个黑色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球都是黑色球的概率是　　

A． B． C． D．

7．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是　　

A．若，，则 B．若，，则 

C．若，，则 D．若，，则

8．如图，在长方体中，，，则下列结论：

①直线与直线所成的角为；

②直线与平面所成的角为；

③平面与平面所成的二面角为；

④平面与平面所成的二面角为直二面角．

其中正确结论的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

9．如图，点是正六边形的中心，则下面结论正确的是　　

A． B． 

C． D．向量与能构成一组基底

10．在中，角，，所对的边分别为，，，，的角平分线交于点，，则　　

A． B． C． D．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．（5分）某单位共有职工200人，其中高级职称60人，中级职称120人，初级职称20人．现采用分层抽样方法从中抽取一个容量为40的样本，则从高级职称中抽取的人数为 　　．

12．（5分）已知（其中为虚数单位），，则　　；　　．

13．（5分）如图，在正方体中，，则四棱锥的表面积为 　　；若该正方体的顶点都在球的球面上，则球的体积为 　　．

14．（5分）小李同学一周的总开支分布如表所示，一周的食品开支如图所示，则小李同学一周的蔬菜开支占总开支的百分比约为 　   　．

15．（5分）如图，在正方体中，为的中点，为正方体棱的中点，则满足条件直线平面的点的个数是 　　．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（13分）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为一号和二号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果．

（Ⅰ）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；

（Ⅱ）求下列事件的概率：

“两个点数之和是5”；

“一号骰子的点数比二号骰子的点数大”．

17．（15分）如图，在正方体中，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求直线和平面所成的角．

18．（12分）如图，在三棱锥中，，，平面平面．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面．

19．（15分）已知点，，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若点满足，求的坐标；

（Ⅲ）若点满足，，且，求，的值．

20．（15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，过点的平面与棱，，分别交于点，，，，三点均不在棱的端点处）．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若平面，

（ⅰ）求的值；

（ⅱ）求三棱锥的体积．

21．（15分）小明同学与甲，乙二位同学进行一场乒乓球比赛，每局两人比赛，没有平局，一局决出胜负．已知每局比赛小明胜甲的概率为，小明胜乙的概率为，甲胜乙的概率为，比赛胜负间互不影响．规定先由其中2人进行第一局比赛，后每局胜者再与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为这次比赛的获胜者，比赛结束．因为小明是三人中水平最弱的，所以让小明决定第一局的两个比赛者（小明可以选定自己比赛，也可以选定甲、乙比赛）．

（Ⅰ）若小明选定第一局由甲、乙比赛，求“只进行三局，小明就成为获胜者”的概率；

（Ⅱ）请帮助小明进行第一局的决策，使得小明最终成为获胜者的概率最大，说明理由．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．【分析】由题意，利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得的值．

【解答】解：向量，，且，

，，

故选：．

【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．

2．【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．

【解答】解：，

在复平面内对应的点位于第四象限．

故选：．

【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．

3．【分析】根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．

【解答】解：将10个数据从小到大排列后，35，53，54，58，72，80，85，86，111，125，

，则这组数据的第75百分位数是第8个数是86．

故选：．

【点评】本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．

4．【分析】根据空间直线和平面的位置关系进行判断即可．

【解答】解：在长方体中，直线平面，则平面，故错误，

平面，

直线平面，故错误，

，，

直线与直线是不相交直线，是异面直线，故错误，

直线与直线是异面直线，故正确，

故选：．

【点评】本题主要考查空间直线与平面位置关系的判断，根据直线和平面的关系进行判断是解决本题的关键，是中档题．

5．【分析】根据事件关系的定义，由点数为，但点数为可判断选项；

根据事件的运算知；

再利用互斥与对立的定义判断选项、即可．

【解答】解：点数为，但点数为，故选项错误；

，故选项正确；

点数为，故选项错误；

与互斥但不对立，故选项错误；

故选：．

【点评】本题考查了事件关系的定义的应用，属于基础题．

6．【分析】求出基本事件总数和事件包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解．

【解答】解：设两个球都是黑色球为事件，

基本事件总数为，

事件包含的基本事件数为，

（A），

故选：．

【点评】本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题．

7．【分析】根据空间直线和平面平行和垂直的判定和性质定理进行判断即可．

【解答】解：．若，，则不一定成立，有可能是异面直线，故错误，

．根据直线平行的性质知，若，，则成立，

．若，，则或，故错误，

．若，，则只有当垂直两个平面的交线时，才成立，否则不成立，

故选：．

【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，根据平行和垂直的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题．

8．【分析】在△中，，可判断①；在△中，，可判断②；为二面角的平面角，求解要判断③；面面，可判断④．

【解答】解：在长方体中，有，

为直线与直线所成的角，

又，，在△中，，

，故①正确；

由平面，所以为直线与平面所成的角，

在△中，，

，故②正确；

，，为二面角的平面角，

由②知，，故③错误；

在长方体中，有，，

又，面，又面，

面面，

平面与平面所成的二面角为直二面角．故④正确．

故选：．

【点评】本题考查线面角，面面角的求法，属中档题．

9．【分析】由平面向量数量积的运算、共线向量及向量的加法运算，结合正六边形的性质逐一判断即可得解．

【解答】解：对于选项，在正六边形中，，则，即选项正确；

对于选项，在正六边形中，与不平行，则与不共线，即选项错误；

对于选项，，即选项错误；

对于选项，在正六边形中，，即，即向量与不能构成一组基底，即选项错误，

故选：．

【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了共线向量及向量的加法运算，属基础题．

10．【分析】由，及三角形面积公式化简即可得结论．

【解答】解：由题意可知，，

由角平分线性质和三角形面积公式得，

化简得，

故选：．

【点评】本题主要考查三角形中的几何计算，考查面积公式的应用，属于基础题．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．

【解答】解：由题意可知，采用分层抽样方法从中抽取一个容量为40的样本，

则从高级职称中抽取的人数为．

故答案为：12．

【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．

12．【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，求出，再结合复数模公式，即可求解．

【解答】解：，

则，

．

故答案为：2；．

【点评】本题主要考查复数的四则运算，复数相等的条件，以及复数模公式，属于基础题．

13．【分析】由四棱锥的结构特征求出各个面的面积作答，求出正方体外接球半径即可计算得解．

【解答】解：在正方体中，平面，平面，平面，

因此，在四棱锥中，，而，

所以四棱锥的表面积；

正方体外接球的直径是正方体的体对角线，

则球的半径，所以球的体积为．

故答案为：．

【点评】本题考查了四棱锥的表面积和正方体外接球体积的计算，属于中档题．

14．【分析】求出蔬菜开支为100元，占食品开支的，再由食品开支占总开支的60%，进而求出小李一星期的蔬菜开支占总开支的百分比．

【解答】解：由图可知，小李一星期的食品开支为20+40+100+80+60＝300元，

其中蔬菜开支为100元，占食品开支的，而食品开支占总开支的60%，

∴小李一星期的蔬菜开支点总开支的百分比为60%×＝20%．

故答案为：20%．

【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

15．【分析】由题意可知过点作出与平面平行的平面，该平面与正方体各棱的交点即为所求的点．

【解答】解：为正方体棱的中点，

由题意可取棱，，，，的中点，，，，，

由面面平行的判断定理显然可得面平面，

即可以取点，，，，中的任何一个都满足条件直线平面，

即满足条件直线平面的点的个数是5，

故答案为：5．

【点评】本题考查了线面平行和面面平行，是基础题．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．【分析】（Ⅰ）利用列举法列举即可．

（Ⅱ）求出基本事件总数和事件，包含的基本事件数，再利用古典概型的概率公式求解．

【解答】解：（Ⅰ）样本空间，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．

这个试验为古典概型．

（Ⅱ）基本事件总数为36，

事件包含的基本事件数为4个，即，，，，（A），

事件包含的基本事件数为15个，（B）．

【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，是基础题．

17．【分析】由即可得出平面；

证明，，可证平面；

连接交于，连接，证明平面可得为直线和平面所成的角，设正方体棱长为1，在△中求出．

【解答】证明：，平面，平面，

平面．

证明：在正方体中，可得平面，

又平面，，

由四边形是正方形，可得，

又，，平面，

平面；

解：连接交于，连接，

四边形是正方形，，

，，，

平面，

，

又，

平面，

为直线和平面所成的角，

设正方体棱长为1，则，，

，

，

直线和平面所成的角为．

【点评】本题考查线面平行线面垂直的证明，考查线面角的求法，属中档题．

18．【分析】（Ⅰ），，得平面，由此能证明．

（Ⅱ）过点作，垂足为，利用面面垂直的性质定理可得平面，进而得出．由平面，利用线面垂直的性质定理即可得出，利用线面垂直的判定定理即可证明结论．

【解答】（Ⅰ）证明：在三棱锥中，

，

，

，

平面，

平面，

平面，

平面，

；

（Ⅱ）证明：过点作，垂足为，

平面平面，

平面平面，

平面，

平面，

．

又，

又，

平面，

平面，

平面．

【点评】本题考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．

19．【分析】（Ⅰ）根据向量数量积的坐标运算求解即可．

（Ⅱ）根据向量线性运算的坐标表示求解即可．

（Ⅲ）根据向量数量积的坐标运算和求模公式，列出方程组求解即可．

【解答】解：（Ⅰ），，，

，，

．

（Ⅱ），，，，

的坐标为．

（Ⅲ）设，，，

则，或，

①当时，，，，，

，，

②当时，，，，，

，．

【点评】本题考查向量数量积的坐标运算，向量线性运算的坐标表示，向量的求模公式，属于中档题．

20．【分析】（Ⅰ）先用线面垂直的判定证明平面，可得平面平面．

（Ⅱ）由题意可得，再得是的中点，所以．

根据平面，可得，进一步可得，再求得到平面的距离，从而可得体积．

【解答】（Ⅰ）证明：因为平面，且平面，所以，

因为为正方形，所以，

又，且，平面，

所以平面，又平面，

所以平面平面．

解：（Ⅱ）连接，因为平面，所以，

由，及为正方形，可得，

因此，所以是的中点．所以．

由题意，可得，

从而可知为直角三角形，且，

又因为平面，可得，因此可得，

所以，即，所以，

设到平面的距离为，根据底面，

从而有，

所以．

【点评】本题考查了面面垂直的证明以及几何体体积的计算，属于中档题．

21．【分析】（Ⅰ）把“只进行三局，小明就成为获胜者”的事件分拆成两个互斥事件的和，再求出每个事件的概率即可计算作答．

（Ⅱ）按第一局比赛双方分成3种情况，分别计算出小明最终成为获胜者的概率，再比较大小作答．

【解答】解：（Ⅰ）第一局由甲、乙比赛，“只进行三局，小明就成为获胜者”的事件．

第一局甲胜，第二局小明胜，第三局小明胜的事件．

第一局乙胜，第二局小明胜，第三局小明胜的事件，事件与互斥，．

，，则有（A）．

所以“只进行三局，小明就成为获胜者”的概率是．

（Ⅱ）第一局小明与甲比赛，小明最终成为获胜者的事件，是以下3个互斥事件的和：

小明胜甲，小明胜乙的事件．

小明胜甲，乙胜小明，甲胜乙，小明胜甲的事件．

甲胜小明，乙胜甲，小明胜乙，小明胜甲的事件．

（B）．

第一局小明与乙比赛，小明最终成为获胜者的事件，是以下3个互斥事件的和：

小明胜乙，小明胜甲的事件．

小明胜乙，甲胜小明，乙胜甲，小明胜乙的事件．

乙胜小明，甲胜乙，小明胜甲，小明胜乙的事件．

（C）．

第一局由甲与乙比赛，小明最终成为获胜者，只能是小明连胜两局．

由（1）知小明最终成为获胜者的概率是，显然．

所以第一局小明与乙比赛，小明最终成为获胜者的概率最大．

【点评】本题主要考查相互独立事件，属于基础题．