2022北京延庆高一（下）期末数学

2022北京延庆高一（下）期末

数    学

2022.7

本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知集合，集合，则

（2）若复数满足，则的虚部为

（3）下列命题错误的是

（4）如图，是棱长都为的直平行六面体，且，则这个直平行六面体的表面积为

（5）已知，是两条直线，，是两个平面，则下列四个命题正确的有

（6）已知，是两条直线，是一个平面，且，那么“”是“”的

（7）设复数，在复平面内对应的点分别为，，，，则两点之间距离的最大值为

（8）如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为，上底面边长和侧棱长都为，则棱台的高为

（9）如图，公园里有一块边长为的等边三角形草坪（记为），图中把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上，如果要沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为

（10）如图，已知直三棱柱中，,则线段上的动点到直线的距离的最小值为

（A）                    （B）

（C）                       （D）

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

（11）函数的定义域为            ．

（12）已知一个棱长为的正方体的8个顶点都在一个球面上，则球的表面积为       ，体积为            ．

（13）已知正实数，满足，则         （填“”或“”）．

（14）已知在△中，是边上中点，，，则的取值范围是            ．

（15）如图，在棱长为的正方体中，为棱上的动点且不与重合，为线段的中点. 给出下列四个结论：

①三棱锥体积的最大值为；

②；

③三角形的面积不变；

④四棱锥是正四棱锥.

其中，所有正确结论的序号为            ．

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（16）（本小题14分）

已知中，，，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求的面积.

（17）（本小题15分）

如图，已知正方体的棱长为，，分别是，的中点.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积.

（18）（本小题16分）

已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调递增区间和图像的对称中心；

（Ⅱ）当时，求的值域；

（Ⅲ）求不等式的解集．

（19）（本小题14分）

已知中，.

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）若，，求.

（20）（本小题14分）

如图，在四棱锥中，已知底面是一个菱形，，

且，，平面.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求证：.

（21）（本小题12分）

已知数集具有性质对任意的，，使得成立．

（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；

（Ⅱ）求证：.